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文档简介

圆的方程

学习标

,能根据所给条件求圆的标准方程.

2.理解圆的一般方程及其特点,掌握圆的一般方程和标准方程的互化.

3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.

4.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程

口考点预釐

考点01圆的标准方程

r~

;考点。2圆的一般方程

考点03二元二次方程与圆

考点04点与圆的位置关系

程考点05圆的对称问题

考息她与圆有关的筑迹问翘

考点。7距离的最值(范围)

一、圆的标准方程

1.圆的定义:圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.

2.圆的标准方程:我们把方程"-〃)2+(»-8)2二/2称为圆心为(4,6),半径为「的圆的标准方程.

3.几种特殊位置的圆的标准方程

条件方程形式

过原点(x-a^+[y-b)'=a2+b2

22。

圆心在原点厂=r

(x-a)2+_y2=r2

圆心在X轴上

22

圆心在y轴上x十(y-8J=r

(x-a)2+y2=-

圆心在X轴上且过原点a

222

圆心在y轴上且过原点x+(y-h)=b

(x-tz)2+(y-/))2=Z>2

与X轴相切

2

与y轴相切(x-tz)+(y-6)2=力

二、点与圆的位置关系

点”(飞,打)与圆(工一〃)2+。一8)2=/的位置关系:

⑴点M(Xo,y())在圆外0(/-。)2+(%一6)2>广2;

⑵点”(》0,乂,)在圆上0(/一〃)2+(%-6)2=r2.

:3)点在圆内=(%-〃)2+(凡一方)2<r2.

三、圆上的点到定点的最大、最小距离

设圆心C到定点力的距离为d,圆的半径为,•,圆上的动点为产:

⑴若点/在圆外,则|尸川max="",l尸川mm=df;

:2)若点4在圆上,则I尸川max=2〃尸川min=°;

3)若点力在圆内,则|尸川a=d+LP*min=『一"•

综上,|PA|max=4+厂,|PZ|min=1d一川.

四、圆的一般方程

1.圆的一般方程

当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆.我们把方程

/+/+6+&+/=()叫做圆的一般方程.

2.对方程/十;;2+瓜+劭+/=。的说明

对方程/+/+5+&+=配方得jx+21+心+g]=DE2-4F加+炉一4尸与

/?()、O

\2[24

的大小关系对方程/+/+6+4+/=o图形的影响如下表:

条件图形

D2+£2-4F<0不表示任何图形

表示一个点卜?,一9

D2+E2-4F=0

D2+£12-4F>0表示以|一二~、一二为圆心,以一J。?+E.-4/为半径的圆

122)2

考点剖析

考点01圆的标准方程

1.圆心坐标为(-2,1),并经过点4(2,-2),则圆的标准方程为()

A.(x-2)2+(^-l)2=5B.(X+2)2+(^-1)2=5

C.(x+2)2+(.y+l)2=25D.(x+2)2+(^-l)2=25

【答案】D

【分析】假设圆的标准方程,代入点A坐标即可得到结果.

【详解】由题意可设圆的标准方程为:(,v+2)2+(y-l)2=r2,

,产=(2+2)?+(-2-U=25,•圆的标准方程为:(x+2)2+(y-l)2=25.

故选:D.

2.(多选)若圆上的点(2,1)关于直线x+y=O的对称点仍在圆上,且圆的半径为石,则圆的标准方程可能

是()

A.x2+y2=5B.(^-1)2+/=5C.x2+(^+l)2=5D.(x-1)2+(y+l)2=5

【答案】AD

【分析】由题意可知圆心在直线x+y=0上,设圆心坐标为S,-a),由(2-a『+(l+a)2=5求得。=0或。=1,

再根据圆的标准方程即可求解.

【详解】•・•圆上的点(2,1)关于宣线x+y=O的对称点仍在圆上,,圆心在直线x+y=O上.

设圆心坐标为(。,一。),则由(2-々J+(1+白)2=5,解得q=o或〃=1,

・••圆的标准方程为(x—1)2+(y+l)2=5或9+炉=5.

故选:AD.

3.已知点工(-2,1),Z?(O,-3),则以线段/IS为直径的圆的方程为.

【答案】(x+l)2+(y+l)2=5

【分析】求出圆心坐标和半径可得答案.

【详解】圆心坐标为(T—1),/="+16=26

以线段48为直径的圆的方程为(x+if+(y+1)2=5.

故答案为:(X+if+3+17=5.

4.圆(工+4+⑶一百『二/①工。)的圆心为,半径长为.

【答案】(-1,x/3)|。|

【分析】由圆的标准方程即可得解.

【详解】由圆的标准方程知,圆心为(-1,5),半径,=|。|.

故答案为:(一1,6),|。|.

5.已知圆。的圆心在y轴上,且经过力(4,4),8(-4,0)两点,求圆。的标准方程.

【答案】k+&-2)2=20.

【分析】根据给定条件,求出线段43的中垂线与y轴的交点坐标,即可求解作答.

【详解】点44,4),伙-4,0),则线段18的中点坐标为(0,2),显然线段48的中垂线过点(0,2),

BVor/n

而点(0,2)在轴上,因此圆C的圆心坐标为(0,2),半径、=|8。|="2+2?=26,

所以圆C的标准方程为x2+(y-2)2=20.

6.“8C的三个顶点的坐标分别为力(1,0),8(3,0),C(3,4),求的外接圆的方程.

【答案】(x-2y+(j,-2)2=5

【分析】利用待定系数法或几何法求解即可.

【详解】解法一(待定系数法)

设所求圆的标准方程为(X-。)2+(尸6)2=/,

2

+/=r,4=2,

则,(3-4)2+从=/,解得.6=2,

(3-a)2+(4-Z>)2=r2,r=JJ,

所以外接圆的方程为(X-2)2+("2)2=5.

解法二(几何法)

\AB\=2]BC\=^\AC\=J(37)2+。―0)2=2瓦

易知,是直角三角形,£)8=90°,

所以圆心是斜边4C的中点(2,2),半径是斜边长的一半,即〃=石,

所以外接圆的方程为(x-2)2+("2)2=5.

7.求满足下列条件的圆的标准方程:

⑴经过点尸(5,1),圆心为点。(8,-3);

(2)经过点尸(4,2),。(-6,-2),且圆心在y轴上.

【答案】⑴(x-8)2+(y+3『=25

【分析】(1)求出|。尸|即圆的半径,再根据圆心坐标,即可得到圆的方程;

(2)利用待定系数法即可求解.

【详解】(1)圆的半径长为r=|C尸|=J(5-8>+(1+3>=5,圆心为点。(8,-3),

所以圆的方程为(x-8)2+(y+3『=25.

(2)设所求圆的方程是/+(丁-»2=产,

因为点P,。在所求圆上,依题意得

145

16+{2-牙=/,丁,

136+(-2-6)2=/,解符

考点02圆的一般方程

8.若圆炉+/一2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=O的距离为立,则实数”的值为()

2

A.0或2B.0或-2

C.0或gD.-2或2

【答案】A

【分析】将圆的方程化为标准方程得出圆心2),进而表示出圆心到直线的距离,结合已知条件,列出

关系式,求解即可得出答案.

【详解】将圆的方程化为标准方程为:(x-l『+(y-2)2=5,

所以,圆心为C(l,2),半径一石.

因为圆心C。,2)到直线的距离为冬

所以,吐消=孚,g|J|a-l|=l,

V2211

所以0-1=±1,所以。=0或a=2.

故选:A.

9.过坐标原点,且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为()

A.x2+y2-2x-3y=OB.x2+y2+2x-3y=Q

C.x2+y2-2x+3y=0D.x2+y2+2x+3y=0

【答案】A

【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程,将三个点的坐标代入得到方程组,求出圆的方程.

【详解】设圆的方程为/+步+m+砂+产=0,(a+6-4尸>0),

由题意知,圆过点(0,0),(2,0)和(0,3),

F=0D=-2

所以4+20+尸=0,解得,E=-3,

9+3E+产=0F=O

所以所求圆的方程为2x-3y=0.

故选:A

10.过三点力(4,—2),80,4)的圆的一般方程为()

A.x2+y2+lx-3y+2=0B.x2+y2+7x+3,y+2=0

C.x?+/-7工+3丁+2=0D.x2+y2-7x-31y+2=0

【答案】D

【分析】设出圆的一般方程,代入点坐标,计算得到答案.

【详解】设圆的方程为丁+/+6+切+尸=0,将4B,C三点的坐标代入方程,

D-E+F=-2。=-7

整理可得«Z)+4E+F=-17解得.£=-3,

4O—2E+/=一20F=2

故所求的圆的一般方程为/十9一7、一3尸2=0,

故选:D.

11.已知圆C:x2+_/+2x-4y+a=0的半径为3,则。=.

【答案】-4

【分析】化简圆的方程为圆的标准方程,根据题意列出方程,即可求解.

【详解】将圆(7:/+/+2%一4旷+〃=0的方程转化为(x+1)?+(卜一2『=5—a,

因为圆C的半径为3,所以5-。=9,即。=T.

故答案为:—4.

12.若/是经过点P(T0)和圆.丫2+步+4工一2乃3=0的圆心的直线,则/在y轴上的截距是

【答案】-1

【分析】将圆的方程化为标准方程得出圆心,进而根据直线的两点式方程,化简即可得出答案.

【详解】将圆化为标准方程可得,(x+2):+(y-1)2=2,所以圆心为。(-2,1)

代入直线/的两点式方程匕==?=2,整理可得尸7-1.

x+11+1

所以,/在V轴上的截距是-1.

故答案为:-1.

13.圆心在》轴上,经过点(3,1)且与x轴相切的圆的方程是.

【答案】F+y270y=0

【分析】先设出圆的标准方程,再利用条件建立方程求出参数即可求出结果.

【详解】由题意,设圆的方程为』+3+。)2=42,因为圆经过点(3,1),

所以把点(3,1)代入圆的方程,得33+(l+a)2j2,整理得2〃=-10,・・・。=—5,

所以圆的方程为炉+0-5)2=(-5>,即d+y2Toy=0,

故答案为:x2+y2-\0y=0.

14.已知4(1,2),8(0,1),C(7,-6),Q(4,3),判断这四点是否在同一个圆上.

【答案】4B,C,。四点在同一个圆上

【分析】方法一:根据题意可知:A,B,C三点不共线,利用圆的一般方程求过4,B,C三点的圆的方程,

代入点0(4,3)检验即可:方法二:根据题意可知48/8C,则力C是过4B,C三点的圆的直径,进而可

得圆心加(4,-2)和半径;|4。|=5,进而求|DM|检验即可.

【详解】方法一:线段48,8C的斜率分别是3=1,⑥c=7,得工原c,即4,B,C三点不共线,

设4B,C三点的圆的方程为/+/+6+切+/=(),

O+2E+厂+5=0p=-8

因为人B,C三点在圆上,所以•£+产+1=0,解得<E=4,

7O-6E+产+85=0[F=-5

所以过48,。三点的圆的方程为x2+yJ以+4y-5=0,

将点D的坐标(4,3)代入圆的方程得4?+3?-8x4+4x3-5=0,即点D在圆上,

故4,B,C,。四点在同一个圆上.

方法二:因为KsxZscU'j_rxT-=一1,则_Z8C.

所以4C是过4,B,。三点的圆的直径,故圆的半径为:yq=J(l_7)2+(2+6)2=5,

可知线段AC的中点“(4,一2)即为圆心,则|DM|=,(4-4)2+(3+2)2=5=14cl,

可得点。在圆M上,所以4B,C,。四点在同一个圆上.

考点03二元二次方程与圆

15."a<1”是“方程2/+2y2+2ax+6y+5。=0表示圆”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据二元二次方程/+V+Ox+⑶+尸=0表示圆的充要条件是。?+£一4/>0可得答案.

【详解】因为方程2/+2/+2。4+6歹+5口=0,即x2+/+ax+3y+等=0表示圆,

等价于/+9-10。>(),解得。>9或a<I.

故“a<1”是“方程2/+2/+2QX+6y+5。=0表示圆”的充分不必要条件.

故选:A

16.(多选)已知方程/+/+2彳一〃?=0,下列叙述正确的是()

A.方程表示的是圆

B.方程表示的圆的圆心在x轴上

C.方程表示的圆的圆心在歹轴上

D.当加=0时,方程表示以(-1,0)为圆心,半径为1的圆

【答案】BD

【分析】根据圆的一般方程的条件,对各个选项进行逐一判断.

【详解】对于选项A:因为0=2,£=0,F=-m,

由方程表示圆的条件得。2+七2一4户>o,即22-02-4(_加)>0,解得机>7,

所以只自当时才表示圆,故A错误;

DE

对于选项B、C:因为一人=-1,--=0,

22

若方程表示圆,圆心坐标为C(-L0),圆心在x轴上,故B正确,C错误;

对于选项D:当m=0时,半径,4=7二LJF寿二W=l,故D正确;

22

故选:BD.

17.(多选)已知曲线C:4t2+3y2+ox+阶+尸=。()

A.若4=8=1,则。是圆

B.若A=BrO,D2+E2-4AF>0,贝IJC是圆

C.若4=8=0,D2+£:2>0,则C是直线

D.若5=0.则。是直线

【答案】BC

【分析】根据圆的一般方程对选项一一判断即可.

【详解】对于A,当4=6=1时,C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,

若。2+尸_4户>0,则C是圆;

若+E?_4尸=0,则C是点(一,,一J卜

若。2+炉_4"<0,则C不存在.故A错误.

对于B,当4=8工0时,C:Ar+Ay2+Dx+£>+F=0,且加十炉一工厂>0,

则C是圆,故B正确.

对于C,当N=8=0时,。:①+£>+尸=0,且。2+七2>。,则。是宜线,故c正确.

对于D,当8=0时,C://+5+£),+尸=0,

若E=0,则C:4/+Ox+/=0表示一元二次方程,

若EHO,则C:4c2+6+切+尸=0表示抛物线,故D错误.

故选:BC

18.若2/+("/+,9/+27nx+m=0表示圆,则实数机的值为.

【答案】-2

【分析】依题意可得川+〃?=2,解得〃?,再代入检验.

【详解】因为2/+(加2+〃。,2+26x+m=o表示圆,所以〃/+桃=2,

解得m=1或/H=-2,

当m=1时方程2/+2/+2彳+1=0,即(H+;j+y2=_;,不表示任何图形,故舍去;

当m=-2时方程2/+2歹2一4》-2=0,HP(x-1)2+/=2,表示以(1,0)为圆心,血为半径的圆,符合题意;

故答案为:-2

19.已知关于x,y的二元二次方程/+>/-2«+3卜+2(1-42卜+1&4+9=。,当f为时,方程表

示的圆的半径最大.

【答案】|

2

【分析】变换得到0-(/+3)了+[尸0-4制2=一7『+&+1,得到-*<1,r=-7p-|y+y,得到

答案.

[详解]x2+y2-2(t+3)x+2(\-4t2}+⑹4+9=0

BP[x-(/+3)J+[y+(l-4r2)J=(f+3?dI,)2-161-9=7/+6/+1,

一7/+6/+1>0,解得一

设圆的半径为r,则r2=-It2+6/+1=-7^-|y+^,

所以当f亨信』时,心小所以“孚.

故答案为:y.

20.已知m为实数,方程(m+2)x2+m2y2+8x+4y+5〃?=0表示圆,则实数阳的值为.

【答案】-1

【分析】先依据题给条件列出关于实数m的方程,解之即可求得实数m的值

【详解】•/(w+2)x2+m2y4-8x+4y+5m=0表示圆,

Am+2=m2»?n=-l,m=2,

当帆=-1时,原方程化为V+/+8x+4y-5=0

即:卜+4)2+(尸2)2=25,符合题意,

当阳=2时,原方程化为/+产+微+>李=0

即:n+iy+(y+;J=—;,不是圆的方程,・•・〃?=2不合题意,

故答案为:-1

21.下列方程是否表示圆,若表示圆,写出圆心坐标和半径.

(1)2寸+/一7旷+5=0;

(2)x2-xy+y2+6r+7j=0:

(3)X2+/-X=0;

(4)x2-i-y2+2ax+a2=0("0).

【答案】(1)方程不表示圆

(2)方程不表示圆

(3)方程表示圆,圆心坐标为(g,0),半径3

(4)方程不表示圆

【分析】根据圆的一般方程的条件,对各个题进行逐一判断.

【详解】(1)2/+72-77+5=0中f与丁的系数不相同,故原方程不表示圆.

(2)一个+,2+&+7y=0中含有V项,故原方程不表示圆.

(3)方法一:因为。2十七2_4尸所以方程表示圆,

所以圆心坐标为[-g),即半径尸=;'析2+£2-4.=3;

方法二:方程/+/—X=o可化为+V=(;],

所以方程表示以(3,0)为圆心,:为半径的圆.

(4)因为0=2。,E=0,尸=/,则加+炉一4尸=4/一4/=0,

所以方程不表示圆.

考点04点与圆的位置关系

22.若点(2,1)在圆/+/一工+》+。=0的外部,则。的取值范围是()

【答案】C

【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.

【详解】依题意,方程/+R2一工+丁+〃=0可以表示圆,则(一仔+/_而>(),得

由点(2,1)在圆/-x+y+a=0的外部可知:2?+F一2+1+a>0,得a>-4.

故-4<"L

2

故选:C

23.若点(1,1)在圆/+/+丫+e+1=0内,则实数。的取值范围为.

【答案】(F,-4)

【分析】由关于x,N的二次方程表示圆可得百或a<-石,又由点(U)在圆内可得〃<-4,取交集即可.

【详解】解:由题可知「+/一4xl>0,

解得石或”-百,

又因为点(1,1)在圆内,所以F+F+i+a+ivO,

解得。<-4.

所以实数。的取值范围为(口,-4).

故答案为:(YO,-4).

24.若坐标原点O在方程/+了2-%+严加=o所表示的圆的外部,则实数小的取值范围为.

【答案】(o')

【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件以及点与圆的位置关系列不等式,即可得实数的取值范围.

【详解】因为。2+炉_4尸>0,则(一1)2+/一4〃?>0,解得〃?<g:

又因为点。(0,0)在圆的外部,则0+0-0+0+m>0,解得m>0:

所以实数加的取值范围为(og).

故答案为:(o').

25.若点(覃)在圆/+/+X+即+1=0外,则实数。的取值范围是.

【答案】(-4,-位)

【分析】由题意可得关于。的不等式,求解得答案.

【详解】••,点(i,i)在圆/+/+工+砂+1=。夕卜,

/.I2+a2-4x1>0,且F+F+i+a+i>o,

解得-4<a<-y/3或4>6.

实数。的取值范围为(T-62(百*)•

故答案为:(f—心).

考点05圆的对称问题

26.已知半径为3的圆C的圆心与点尸(-2,1)关于直线x-y+l=0对称,则圆C的标准方程为()

A.(x+l)2+(y-l)2=9B.(x-l)2+(y-l)2=81

C..r2+(^+l)2=9D.x2+y2=9

【答案】C

【分析】设出圆心坐标,根据对称关系列出方程组,求出圆心坐标,结合半径为3,即可求解.

【详解】设圆心坐标。(〃力),由圆心C与点尸关于直线,=》+1对称,

得到直线。尸与y=x+i垂直,

结合J=x+1的斜率为I,得直线CP的斜率为-1,

I_A

所以「=化简得。+力+1=0①

-2-42

再由CP的中点在直线y=x+i上,亨+1,化简得4—〃—1=0②

联立①©,可得〃=0,b=—1,

所以圆心C的坐标为(0,-1),

所以半径为3的圆C的标准方程为f+(y+l)2=9.

故选:C

27.已知圆G:/+/+2x-2八1=0,圆C:与圆G关于直线x-y-l=0对称,则圆C2的方程为()

A.x2+y2-4x+4y+7=0B.x2+y2-4x-4^+7=0

C.x2+y2+4x+4^+7=0D.x2+y2+4x-4y+l=0

【答案】A

【分析】先求得圆G的圆心坐标G(T,1)和半径r=l,再求得关于x-y-l=0的对称点。2(2,-2),

得到圆G的圆心坐标,进而求得圆G的方程.

【详解】由题意知,圆G的圆心与G关于直线%一丁-1=0对称,且两圆半径相等,

2222

因为圆G:x+y+2x-2y+l=0,即Ct:(x+l)+(y-l)=1,

所以圆心G(TJ),半径为〃=1,

设圆关于直线x-y-i=o对称点为。2(叫〃),

-------------1=0

则2,2,解得”=2,〃=-2,即。2(2,-2),

n-\,,

m+\

所以圆。2的方程为。2:(%-2)2+3+2)2=1,即工2+/一41+4卜+7=0.

故选:A.

28.已知圆C与圆产+/一27=0关于直线t->-2=0对称,则圆。的方程是()

A.(x+l)2+/=lB.(x-3)2+(y+2)2=\

C.(X+3)2+(^-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=l

【答案】B

【分析】设所求圆的圆心C(db),根据点关于直线的对称得到关于a,b的方程,解出即可.

22

【详解】将圆f-2、=0化成标准形式得x+(y-l)=l,

所以已知圆的圆心为(0,1),半径〃=1.

因为圆C与圆d+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,

所以圆C的圆心C与点(0,1)关于直线“-卜-2=0对称,半径也为1,

\-b,

设C(%“可得-?-一-〃-=-,解得f/77-30,

''O+41+bc八b=-2

2=0

22

所以C(3,-2),圆C的方程是(X-3)2+》+2)2=1,

故选:B

29.已知圆«:a—2)2+3-1)2=9和直线/:工-),+1=0.若圆。2与圆。]关于直线/对称,则圆。2的方程为

()

A.(x-3)2+y2=9B.x2+(j-3)2=9

C.(X-2)2+(^-3)2=9D.(X-3)2+(J,-2)2=9

【答案】B

【分析】求出圆。1的圆心关于直线/的对称点,即为圆。2的圆心坐标,进而可得圆。2的方程.

【详解】圆。2与圆Q关于直线/对称,贝!圆心a(2,l)与圆q(a,b)关于/:x-y+l=0对称

2+a1+6

1----F+A("6+3=0

可得广2,化简得A,八,解得a=0,6=3

0-1,a+b-3=0

-2

又两圆半径相等,故圆。2的方程为犬+(),-3)2=9

故选:B

30.点M、N在圆。:/+/+26+2叩-4=0上,且“、N两点关于直线x-y+l=0对称,则圆。的半径

()

A.最大值为农B.最小值为立C.最小值为迫D.最大值为辿

2222

【答案】C

【分析】将圆的一般方程化为标准方程,得出圆心坐标和半径的表达式,利用已知条件,得到圆心在直线

上,结合二次函数的性质即可求解.

【详解】由£+/+2履+2〃少一4=0,得(x+A)2+(丁+my=炉+〃,+4,

所以圆心C为(-〃,-机),半径为r=J/+相2+4,

由题意可得直线工一》+1=0经过圆心

故有一%+〃i+l=0,即女=〃?+1,

所以半径为r=>]k2+m2+4=^(w+1)2+m2+4=>~~,

当旭=-!时,圆。的半径的最小值为些.

22

故选:C.

31.如果圆f+y2+°x+a+/=0(。2+£_4/>0)关于直线y=X对称,则有()

A.D+E=0B.D=E

C.D=FD.E=F

【答案】B

【分析】圆心在直线v=x上,代入计算得到答案.

ED

【详解】由圆的对称性知,圆心在直线y=x上,故有-与=-=,^D=E.

22

故选:B

32.(多选)已知圆/+y2+2x—4y+l=0关于直线2ax-如+2=0(a,beR)对称,则下列结论正确的是()

A.圆f+y2+2x-4y+\=0的圆心是(一1,2)

B.圆/+/+2%-4),+1=0的半径是2

C.a+b=\

D.M的取值范围是(y©,:

【答案】ABCD

【分析】将圆的方程化为标准方程,即可得出A、B;根据已知可知圆心在直线上,代入即可得出C;根据

C的结论得6=1-%代入根据二次函数的性质,即可得出D项.

【详解】对于A、B,将圆的方程化为标准方程可得(x+l『+(歹-2)2=4,

所以,圆心为(-1,2),半径为2,故A、B正确;

对于C项,由己知可得,直线2依-如+2=0经过圆心,

所以2QX(—1)—26+2=0,整理可得。+方=1,故C项正确;

X寸十D项,由C知6=1—。,切1•以。6=。(1一4)+3L

44

所以时的取值范围是,故D项正确.

故选:ABCD.

考点06与圆有关的轨迹问题

33.已知力、8是空间中的两个定点,若为正三角形,则点尸的轨迹为()

A.两个点B.一个圆C.一个平面D.一个球面

【答案】B

【分析】先确定48两个定点的坐标,根据题意可知|48|=|尸力|=|尸8|,利用两点间的距离公式求出点尸

坐标的变化规律即可.

【详解】设点力坐标为亿0,0),点8坐标为(w,0,0),则|”|=2c

因为△玄4为正三角形,所以以川=|/M|=|P5|=2c,

设点P坐标为(x/,z),|PJ|=\PB\=>yj(x-c)2+y2+z2=yj(x+c)2+y2+z2=>x=0,

网=y/(x-c)2+y2+z2=2c=>y2+z2=3c2,

综上可得点尸的轨迹为一个圆.

故选:B

34.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A、4的距离之

比为定值4(4>0且Awl)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简

称阿氏圆,在平面直角坐标系”/中,2(-2,0)、4(2,0),点产满足最=3,则苏.丽的最小值

为.

【答案】-3

【分析】设点尸(苍田,利用已知条件求出点P的轨迹方程,利用平面向量数量积的运算性质可得出

P3-PF=|PO|2-4,求叫囱的最小值,即可得出京.方的最小值.

PH—3〒包叵2『十』

【详解】设点尸(x,y),由画"可得而整理可得/+/-5工+4=0,

化为标准方程可得(x-gj+/=',

所以,PAPB=(pd+aij^d+OBj=^d+OA)^d-OA.忸,轲(

=|可-4,

记圆心为〃住0),当点尸为线段与圆(x-旬+/='的交点时,

।可取最小值,此时,।阿-

所以,苏•丽=附卜421-4=-3.

故答案为:-3.

35.已知线段48的端点3的坐标为(8,6),端点4在圆C:V+/+以=。上运动,求线段4台的中点尸的

轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.

【答案】(X-3)2+(尸3>=1,点尸的轨迹是以(3,3)为圆心,1为半径的圆

=2x-8

【分析】设点尸(X/),点力(兀/0),由中点坐标公式可得代入圆。的方程,整理即可得出

%=2k6.

(x-37+(y—3)2=1,即可得出答案.

【详解】设点。的坐标为(x,y),点力的坐标为(・%,%),

又8(8,6),且尸为线段48的中点,

X。=2x-8

所以则《

Jo=2y_6

因为点4在圆C:/+/+4X=0上运动,即有片+尤+4%=0,

代入可得,(2x-8)2+(2y-6)2+4x(2x-8)=0.

2

整理可得X+/-6X-6^+17=0,化为标准方程可得(x-3『+(y-3f=1.

所以,中点尸的轨迹方程为(>3)2+(>-3)2=1,

该轨迹为以(3,3)为圆心,1为半径的圆.

36.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题:在平面上给定不同两

\PA\,

点4、B,动点尸满足身=义(其中2是正常数,且2"),则尸的轨迹是一个圆,这个圆称之为“阿波罗

尼斯圆”.若H回=6且义=2,则该圆的半径为

【答案】4

【分析】根据给定条件,建立平面直角坐标系求出圆的方程作答.

【详解】以点4为原点,射线A4为x轴非负半轴建立平面直角坐标系,如图,

则4(6,0),设尸(4/),由|尸川=2|尸8|,得而二祈了=2历了,

化简整理得(X+2)2+/=16,因此点尸的轨迹是以(-2,0)为圆心,4为半径的圆,

所以该圆的半径为4.

故答案为:4

37.已知点M与两个定点40,0),见3,2)的距离比值为:,求点M的轨迹.

【答案】轨迹是圆心为半径为述的圆.

(44)4

【分析】设“(XJ),根据题意结合两点间距离公式运算求解.

/、1J(x-l)2+y21

【详解】设Mx/是满足条件的任意一点,由题意知焉=[,即/,广小

MB\3屏_3)2+3-2)23

两边平方并化简得公+歹2-]%+:j一〈=0,配方得(、-3丫+(]_丫=2,

2224)I4;8

故所求轨迹是圆心为半径为短的圆.

【44J4

38.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义:平面内,到两个定点

距离之比值为常数以2>0,2*1)的点的轨迹是圆,我们称之为阿波罗尼奥斯圆.已知点P到4-2,0)的距离

是点尸到8(1,0)的距离的2倍.求点尸的轨迹方程;

【答案】(X-2)2+/=4;

【分析】

设点尸伍力,根据题意得|尸力|二2|尸邳,利用两点之间的距离公式化简整理,即可求解.

【详解】

解:设点尸(x,y),

点P到4-2,0)的距离是点P到5(1,0)的距离的2倍,可得附|=2B却,

因J(x+2『+/=2yj(x-\)2+y2»整理得(x-2)2+V=4,

所以点P的轨迹方程为(x-2)2+_/=4;

考点07距离的最值(范围)

39.已知点力(8,-6)与圆C:/+y2=25,P是圆C上任意一点,则的最个值是

【答案】5

【分析】先判断点A在圆外,然后可得|4P|的最小值为|4C|

【详解】圆。:/+产=25的圆心为C(0,0),半径「=5,

因为卜C|=J(8-oy+(-6—0>=10>5,所以点A在圆外,

所以|/?|的最小值为|力[一〃=10-5=5,

故答案为:5

40.已知圆0:/+/=16,点P(l,2),M、N为圆。上两个不同的点,且两.而=0若丽=丽+丽,则园

的最小值为.

【答案】3+-加I-亚+36

【分析】根据几何关系确定点S的轨迹方程,从而根据点到圆上动点距离最值的求解方法求解即可.

【详解】解法1:如图,因为丽・丽=0,所以故四边形PMQV为矩形,

所以|OS「=|OM『-网2制6闷2,

又&PMN为直角三角形,所以|网=|尸S|,故10sl2=16-|内「①,

22

设S(x,刃,则由①可得X+/=16-[(X-1)+(J-2)2],

2

整理得:(x-iy+(y-i)=^-,

从而点S的轨迹为以“;,i)为圆心,手为半径的圆,

显然点尸在该圆内部,所以仍比加=苧-|PT卜乎-',

因为园=2网,所以|而工=3石-石;

解法2:如图,因为丽・丽=0,所以PM1PN,

故四边形PA/QV为矩形,由矩形性质,|0河|2+|。甘=|。邛+|。江,

所以16+16=5+|0°『,从而|困=36,

故0点的轨迹是以。为圆心,3百为半径的圆,

显然点尸在该圆内,所以1ML=3石T"l=36一石.

故答案为:3百-&•

41.点产(-3,1)在动直线皿4-1)+〃3-1)=0上的投影为点“,若点N(3,3),那么|MV|的最小值为.

【答案】2石一2

【分析】易知直线〃心—D+〃(y—1)=0过定点力(草),再由P(-3,I)在动直线皿x—l)+〃(y—1)=0上的投影为

点M,得到尸进而得到M的轨迹是以产,力为直径的圆求解.

【详解】解:因为直线〃?+1)=0过定点4(1,1),且PM_L4W,

所以”的轨迹是以尸,彳为直径的圆,且圆心为半径R=2,

所以|WV|min=|CM—R=J(3_(T)y+22-2=2右一2,

故答案为:2石-2.

42.已知圆C:(X-2)2+/=4,点P(J+2),若圆C上存在两点4、B,使得a+2而=3而,则/的取值

范围是.

【答案】[-2,2]

【分析】由题可得方=3而,进而可得点尸到圆上的点的最小距离应小于或等于半径,即可求解.

【详解】由题意可得圆心。(2,0),半径y=2,

因为点P(y+2),所以点P在直线y=x+2上,

由方+29=3方,可得方一丽=3万一3无,即方=3而,

若圆C上存在两点48使得苏=3万,即|P8|二g|相|wgx2〃=〃=2,

则点P到圆上的点的最小距离应小于或等于半径,

则有"(.2)2+(>+2-0)2c

解得-2WY2,

故答案为:卜2,2].

43.已知实数满足/+/+4丫+2卜+4=0,则(x-l)2+(y-3)2的最大值为.

【答案】36

【分析】根据点和圆的位置关系求得正确答案.

【详解】由%2+卜2+4工+2尸4=0得(x+2『+(y+l『=l,

所以点(xj)是以%(-2,-1)为圆心,半径为1上的圆上的点,

(x-以+5-3)2表示点(X/)与点5(1,3)两点间距离的平方,

|第=力。42=5,所以(X-1)?+(y-3『的最大值为(5+1『=36.

故答案为:36

44.过点。(一5,0)作直线(1+2加)%-(加+1»-4〃-3=0(m£灯的垂线,垂足为M,已知点N(3/1),则性必

的最大值为.

【答总13+质/师+13

【分析】根据直线过定点的求法可求得直线所过定点。(1,-2),可知"点轨迹为圆,并求得圆的方程;根

据圆上点到直线距离最大值的求法可求得结果.

【详解】直线方程可化为:(21一尸4)m+—=0,

\2x-y-4=0[x=\/、

由得:'直线恒过定点。(「2),

・•・PM与直线垂直,垂足为二间点轨迹是以产。为直径的圆,

则圆心C(-2,-l),半径一“一5一1『+(0+2):=屈,

2

...|MN|max=|CN|+r=7(3+2)2+(11+1)2+V10=13+Vi0.

故答案为:13+Jii.

@精准球习

基础过关练

21

1.若直线:"+l=0(a>

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