北师大版八年级数学上册各章知识点

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北师版八年级数学第1章勾股定理

一.知识归纳

1.勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为。，b,斜边为C,那么02+/=/

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较

短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了"勾

三，段四，弦五"形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的

平方和等于斜边的平方

2.勾股定理的证明

勾设定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后,只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法—：4SA+S正方形£松〃=5正方物8s，4xg"+S-〃)2=c2,化简可证•

D___________________

方法二:

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4XLb+=2"+d

2

大正方形面积为S=(a+b)2=a2+2ab+tr

所以/+〃=/

方法三：S梯形=g(a+〃)・(a+b),5梯形=电皿+5衡=21必+家，化简得证

3.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝

角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

4.勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在A4BC中,ZC=90°,则」=，？+从,b=y/c2_a2,〃=后一从

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

③可运用勾股定理解决一些实际问题

5.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长〃，b，。满足/+/=/,那么这个三角形是直角三角形，其中C为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过"数转化为形”来确

定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和/+〃与较长边的平方作比较，若它们

相等时，以。，b,C为三边的三角形是直角三角形；若/+从，时，以〃，b,。为三边的三角形是

钝角三角形；若/+从>°2，时，以。,C为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中〃，b，。及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长”,b.C

满足/+。2=从，那么以4,b，，为三边的三角形是直角三角形，但是人为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角

形是直角三角形

6.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，4,b,C为正整数时，

称4,b,C为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

③用含字母的代数式表示〃组勾股数：

«2-1,2/7,n2+1（2,〃为正整数）：

2〃+1,2〃2+2〃,2〃2+2〃+1（n为正整数）

m2-n1,2nm,ni2+n2（m>n,m,〃为正整数）

7.勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使

用勾股定理时，必须把握直角三角形的前是条件,了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用

勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求

解.

8••勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体

推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边

的平方比较而得到错误的结论.

9.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆

定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.

常见图形：

A

BD

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第二章实数

1.无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。

算术平方根定义如果一个非负数X的平方等于小即野=〃

那么这个非负处就叫做。的算术平方根，记为右,

算术平方根为非负数人之0

正数的平方根有2个，它们互为相反数

平方根4o的平方根是

负数没有平方根

2.无理数的表示,定义：如果一个数的示方等于小即1=小那么这个数就

叫做。的平方根，记为±筋

正数的立方根是正数

立方根4负数的立方根是负数

o的立方根是o

定义：如果一个数X的立方等于原即E=a,那么这个数X

就叫做4的立方根，记为必.

概念有理数和无理数统称实数

正数

有理数一

分类或彳0

无理数'

负数

3.实数及其相关概念

绝对值、相反数、倒数的意义同有理数

实数与数轴上的点是一一对应

实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则

运算规律相同。

一、实数的概念及分类

1、实数的分类

正有理数

有理数0有限小数与无限循环小数

负有理数正实数

正无理数实数＜

无理数无限不循环小数0

负无理数负实数

自然数（0,1,2,3・・・）

负整数（T-2,-3…）

有理数＜’正分数（1,2.・.）（整数,有限小数.无限循环小数）

实数.分数（小数）,23

负分数4，_|…）

无理数仁饕翁（无限不循环小数）

［负有理数

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如正，正等根号a（a为非完全平方数或非立方数）。

ji

（2）有特定意义的数，如圆周率Ji（Ji=3.14159265-）,或化简后含有兀的数，如一+8等；

3

（3）有特定结构的数,如0.1010010001…；0.585885888588885...（相邻两个5之间8的个数逐次

加1等；

（4）某些三角函数值，如sin60“等；

二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上

看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0,a=-b,反之亦

成立c

2、绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|^0）o零的绝对值是它本身，

也可看成它的相反数，若la=a,则a20；若|a|=-a,则aWO。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和7。零没有倒数。

4、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；

（2）要求记忆：V2=1.4146=1.7326=2.236

三、平方根、算数平方根和立方根

1.平方根和算术平方根：

（1）概念：如果戈2=。，那么X是。的平方根，记作：土右；读作“正、负根号

其中正叫做。的算术平方根，读作根号。。

（2）性质：①当。20时，G20：当〃V0时，夜无意义;

②（6『=〃；③"=同o（区分②、③）

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（3）开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

a>0（开平方的被开方数的条件）

注意y[a的双重非负性:

\[a>0（算术平方根的非负性）

2.立方根:

（1）概念：若丁二。，那么X是。的立方根（或三次方根），记作：网；

（2）性质：①=②（也）=a；③^/^=一妫

性质：一个正数有一个正的立方根：一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：右=-右，这说明三次艰号内的负号可以移到根号外面。

区分：平方根、立方根的性质

根源：开平方是平方的逆运算；开立方是立方的逆运算。正数和负数的平方后为正，所以，只有非

负数才可以开平方，因此一个非0正数开平方后有2个：而任何数的立方后的符号与原数的

符号一致，所以，任何数都可以开立方，一个数开立方后只有1个，符号与原数的符号也一

致。

四、实数大小的比较

1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右

边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表

示的数大。

2、实数大小比较的儿种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

a-b>0<^>a>b,a-b=boa=b,a-b<0<^>a<b

(3)求商比较法：设a、b是两正实数，->1<=>«>==

bbb

(4)绝对值比较法：设a、b是两负实数，则

(5)平方法：

①设«>0,/?>0,则cr>tT<^a>b

②设a<0,b<0,贝ija~>h2

③同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。

3[7

如：比较里与3.4；38与底

2

1

(6)倒数法：设。>0力>0，则。设。<0,匕<0,则。

aba匕

规律：同号取倒(数)反向

五、算术平方根有关计算(二次根式)

1、含有二次根号“、厂”；被开方数。必须是非负数，即：中4之0。

2、性质：

(1)非负性>o

(2)(G)2=a(a>0)((右)2中前提，被开方数«>0)

(3)行=同=["'("2°)(中隐含被开方数绪之o)

门[-a3<0)

(4)4ab•4b(a>0,/?>0)；(N0,bN0))(前提根号要有意义)

(5)监专(心0力>0)；(^=J|(a>0,Z>>0))(前提式子和根号要有意义，)

拓展：三个重要非负数：^2>0,|^|>0,^>0.注意：非负数之和为0=它们都是0.

3、运算结果若含有“石”形式，必须满足：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中

不含能开得尽方的因数或因式

六、实数的运算

(1)六种运算：力口、减、乘、除、乘方、开方

(2)实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

(3)运算律

加法交换律a+b=b+a

加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律ab=ba

乘法结合律(ab)c=a(bc)

乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac

(4)与实数有关的概念：在实数范闱内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致;

在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实

数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。

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第三章位置的确定

一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

二、平面直角坐标系及有关概念

1、平面直角坐标系

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做X轴或

横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的

公共原点。称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

2、为了便于描述坐标平面内点的位置，物坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个郎平，分别叫做第一象

限、第二象限、第三象限、第四象限。

--------------->

0x

三四

注意：X轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何T象限。

3、点的坐标的概念

对于平面内任意一点H过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a,b分别叫做

点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标。p

,……b

点的坐标用（a,b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间:

a0

有“：分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数7寸，

当aw人时，（a,b）和（b,a）是两个不同点的坐标。

平面内点的与有序实数对是一对应的。

4、不同位置的点的坐标的特征

（11各象限内点的坐标的特征

（结合图形，过点P分别x轴、y粕向作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数x,），在坐标轴的正向为

正，负向为负）

点A（xi9y）在第一象限=>百>0,y]>0

点B(X2,y2)在第二象限<=>x2<0,y2>0

点C(A\,y。在第三象限u>fvO,y,vO

点。(工4,乂)在第四象限o*4>°，Mv0

{2}坐标轴上的点的特征3(0面

点P(x,y)在x轴上<=>y=0,x为任意实数C(x3,0)°|A(xbO)

Q(0,4)

点P(x,y)在y轴上<=>x=(),y为任意实数

点P(x,y)既在X轴上，又在y轴上ox,y同时为零,即点P坐标为(0,0)即原点

(31两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上ox与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上=x与y互为相反数

{4}和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

(5)关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

①点P与点P,关于x轴对称(上下)=横坐标相等，纵坐标互为相反数，尸

即点P(x,y)关于x轴的对称点为P(x,-y)

②点P与点P'关于y轴对称(左右)。纵坐标相等，横坐标互为相反数，

尸(卬)

即点P(x,y)关于y轴的对称点为P'(-x,y)?-----

③点P与点P'关于原点对称o横、纵坐标均互为相反数，*

即点P(x,y)关于原点的对称点为尸(-x,-y)

规律：

关于谁对称谁不变，另一个变相反；

关于原点对称，两个分别变相反。

（6）、点到坐标轴及原点的距离（结合图形理解）

点P（x,y）到坐标轴及原点的距离：

（1）点P（x,y）到x轴的距离等于M

（2）点P（x,y）到y轴的距离等于国

（3）点P（x,y）到原点的距离等于J?（由勾股定理可得）

三、坐标变化与图形变化的规律：

坐标（X,y）的变化图形的变化

xxa或yxa被横向或纵向拉长（压缩）为原来的a倍

xxa,yxa放大（缩小）为原来的a倍

xx(-1)或yx(-1)关于y轴或x轴对称

xx(-1),yx(-1)关于原点成中心对称

x±a或y士。，其中。＞0沿x轴（-）左（+）右或y轴（+）上（-）

下平移a个单位

x±a,y±a，其中〃>0沿x轴（-）左（+）右平移a个单位，再沿v

轴（+）上（一）下平移a个单

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第四章一次函数

一、函数：

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么

我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

二、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

一般从整式(取全体实数)，分式(分母不为01二次根式(偶次根式)(被开方数为非负数\实际

意义几方面考虑。

三、函数的三种表示法及其优缺点

(1)关系式(解析)法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫

做关系式(解析)法。

(2)列君去

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

(3)图象法

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

四、由函数关系式画其图像的一般步骤

(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

五、正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，若两个变量X,y间的关系可以表示成y=kx+b（k,b为常数，kw0）的形式，则称y是

x的一次函数（x为自变量，v为因变量b

特别地，当一次函数y=晨+6中的b=0时（即），=H）（k为常数，k。0）,称y是x的正比例函

数。

2、一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

①、一次函数y=kx+b的图像是经过点（0,b）的直线；正比例函数y二履的图像是经过原

点（0,0）的直线。

②、由于一次函数），=米+人的图象是一条直线，所以一次函数>'=云+匕的图象也称为直线

y-kx+b。

③、由于两点确定一条直线，因此在画一次函数），=履+〃的图象时，只期出：与x轴的交点（令

y=0,求出工=一0）,与），轴的交点（令x=0,求出y=人），即（（0,Z?）,（--,0）两点即可，

画正比例函数），=履的图象时，只要描出点（0,0）,（1,k）即可。

④、k的正负决定直线的倾斜方向，IM的大小决定直线的倾斜程度,即网越大，直线与X轴相交的

锐角度数越大（直线陡），阳越小，直线与工轴的相交的锐角度数越小（直线缓\

⑤、。的正负决定直线与）:轴交点的位置。

当b>0时，直线与），轴的交于正半轴上。当bv0时，直线与），轴交于负半轴上。

当6=0时，直线经过原点，是正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。

4、一次函数、正比例函数的图象和性质。

当攵>0时，），随x的增大而增大，图象从左到右呈上升趋势；

当《<0时，），随x的增大而减小，图象从左到右呈下降趋势。

函数图象性质

一次函数(1)当%>0时，］，随A•的增大而增

y=kx+b大,图象必经过一三象限。

①6>0时，过一二三象限

②〃=°时，只过一三象限

③〃<0时，过一三四象限时

(2)当人<0时，)，随K的增大而减

小，图象必过二四象限。

①人>。时，过一二四象限

②修)时，只过二四象限

③6<°时，过二三四象限

正比例函数图象过原点

y=kx⑴当2>0时，y随工的增大而增大,

图象必过一三象限

⑵当％<0时，y随工的增大而减小,

图象必过二四象限。

5、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式"点(k工0)中的常数k。确定一个一次函数,

需要确定一次函数定义式y=kx+b(k^O)中的常数k和be解这类问题的一般方法是待定系数法。

(1)确定正比例函数及一次函数表达式的条件

①由于正比例函数y=kx(k*0)中只有一个待定系数k,故只需一个条件(如一对x,)，的值或一个点)

就可求得〃的值。

②由于一次函数丁二日+伙2工0)中有两个待定系数女⑦，需要两个独立的条件确定两个关于攵力的方

程，求得太〃的值，这两个条件通常是两个点或两对乂)，的值。

（2）待定系数法

先设式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出式子的方法叫做待定系数法。

（3）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤

①设函数表达式为y=H+6。

②将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（方程组I

③求出2与b的值，得函数表达式。

6、一次函数与一元一次方程的关系：

任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=O（k、b为常数,k#0）的形式.而一次函数解析式

形式正是y=kx+b（k、b为常数，kwO）.当函数值y=0时，即kx+b=O就与一元一次方程完全相同.

结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=O（k、b为常数，"0）的形式.所以解一元一次方

程可以转化为：当一次函数值y=0时，求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.

7、一次函数），=依+〃的图象与坐标轴交点求法：

与工轴的交点：令y=0,求出工=一乡，得（-2,0）；

与y轴的交点：令x=0,求出y=b,得（0,〃）

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第五章二元一次方程组

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。

4二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法

（无论是代入消元法还是加减消元法，其目的都是将“二元一次方程"变为"一元一次方程"，所谓之

"消元"）

6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：

（1）一次函数与二元一次方程的关系：

每个二元一次方程都可以看成一次函数，直线y=kx+b上任意一点的坐标（八〃）都是它所对应的二元

X~l/j

一次方程底一y+人=0的解"

y=n

（2）一次函数与二元一次方程组的关系：

求二元一次方程组的解，可看成求两个一次函数图象的交点。

二元一次方程组+=q的解F=’"可看作两个一次函数y=+?

a2x+b2y=c2=〃4仇

和），二-答X+詈的图象的交点（根,〃）。反之,可以通过求二元一次方程组的解，求出两个一次函数图

b2A

象的交点

当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明

相应的二元一次方程组无解。

7、在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：

①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x或y;但也有时也须根据已知条件及等量关系

等诸多方面考虑）；

②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方

程工

8、处理问题的过程可以进一步概括为：

问题与空一方程（组）求解

一解答

抽象检验

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第六章数据的分析

1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数、众数、中位数

2、平均数

（1）平均数：T殳地，对于n个数占了2,…，与，我们把」口+々+••+%