北师大版初二年级下册册数学全册教案

北师大版八年级下册初中数学

全册资料汇编

教案（教学设计）

1等腰三角形

第1课时

【教学目标】

知识技能目标

1.理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理.

2.在证明过程中，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合

法证明等腰三角形的性质定理和判定定理.

3.熟悉证明的基本步骤和书写格式.

过程性目标

1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和

必要发展,发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力.

2.鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性,提高逻辑思维水平.

情感态度目标

1.启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证

关系.

2.培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.

【重点难点】

重点:探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法.

难点:明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.

【教学过程】

一、创设情境

提醒学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：

1.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.

3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).

5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS).

在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件:1.(推论)两角及其中一角的对边对应相等的两个

三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的公理进行证明2回忆全等三角形的性质.

有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但由于一个暑假的遗忘，可能部分学

生的表述未必严谨、规范，教学中注意提醒学生分析条件和结论，画出简图，写出已知和求证，

并规范地写出证明过程.

二、探究归纳

探究一:活动内容:在提问："等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通

过折纸活动验证这些性质吗?并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗?”的基础上，让学生经

历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等

腰三角形的性质，然后再以六人为一小组进行交流，互相弥补不足.

活动目的:通过折纸活动过程，获得有关命题的证明思路，并通过进一步的整理,再次感受证明

是探索的自然延伸和发展,熟悉证明的基本步骤和书写格式.

活动效果与注意事项:由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸操作,学生一般都能

得到有关等腰三角形的性质定理,当然，可能部分学生得到的定理并不全面，在学生小组的交

流中，通过同伴的互相补充，一般都可以得到所有的性质定理.在教学过程中，教师应注意小组

的巡视，提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得到"三线合一”.

探究二:活动内容:在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问,和学生一起完成以下两个性

质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明，其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课

件汇总各小组的结果以及具体证明方法，让学生明晰证明过程.

(1)等腰三角形的两底角相等.

⑵等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.

活动目的:和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程;明晰证明

过程，给学生一定的规范，起到一种引领作用;活动2则是前面命题的直接推论,力图让学生形

成拓广命题的意识，同时也是一个很好的巩固练习.

三、交流反思

1.具体有关性质定理.

2.通过折纸活动对获得的定理给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了

丰富的理论依据.

3.体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性.

4.通过这节课的学习，掌握探索的步骤:观察一归纳一猜想一证明;探索出等腰三角形的性质.

四、检测反馈

学生自主完成P4第2题：

如图，在4ABD中,AC1BD,垂足为C,AC=BC=CD.

⑴求证:△ABD是等腰三角形.

(2)求/BAD的度数.

五、布置作业B

P4习题1.1第1,2题.

六、板书设计

全等三角形的判定学生板演练

等腰三角形的性质

七、教学反思

本节关注学生已有活动经验的回顾过程,关注了“探索一发现一猜想一证明”的活动过

程，关注了学生的自主探究过程,学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果.

在具体活动中,如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡，具体各部分时间比例的

分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整.

第2课时

【教学目标】

知识技能目标

探索一发现一猜想一证明等腰三角形中相等的线段,进一步熟悉证明的基本步歌和书写格式,

体会证明的必要性.

过程性目标

1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和

必要发展,发展学生初步的演绎逻辑推理能力.

2.在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思

维能力，提高学生学习的主体性.

3.在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质:对称性，发展学生的几何直觉.

情感态度目标

1.鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲.

2.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.

【重点难点】

重点:经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形

的一些结论.

难点:能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.

【教学过程】

一、创设情境

内容:在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：

在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗？

你能证明你的结论吗?引入本课研究内容.

二、探究归纳

1.探究活动一

内容:在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等），观察其中有哪些相等的线

段，并尝试给出证明.

问:你可能得到哪些相等的线段？

你如何验证你的猜测？

你能证明你的猜测吗?试作图，写出已知、求证和证明过程；

还可以有哪些证明方法？

学生通过观察，归纳发现：

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中线相等.

2.探究活动二

内容:提醒学生在得到上面等腰三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质:等边

三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.

已知:在4ABC中,AB=BC=AC.

求证:/A=NB=NC=60".

证明:在△ABC中,rABMAC,

・•.NB=/C（等边对等角）.

同理:NC=NA,；./人=/8=/（2（等量代换）.

又•.・NA+NB+/C=180°（三角形内角和定理），

ZA=ZB=ZC=60.

活动效果:学生一般都能得到这些定理的证明,能规范地写出“等边三角形三个内角都相等并

且每个内角都等于60°”的证明过程.

三、交流反思

1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤:观察一归纳一猜想一证明.

2.通过本节课探索出等腰三角形的性质及推论.

四、检测反馈

1.等边三角形练习:

如图，已知AABC和4BDE都是等边三角形.

求证:AE=CD.

2.等腰三角形特殊线段的应用:

如图，在△ABC中，若AB=AC,ZA=40°,O点是△ABC的角平分线BD与高线CE的交点，则Z

DOC的度数为

五、布置作业

1.已知:如图，在△ABC中,AB=AC,BD,CE是aABC的角平分线.

求证:BD=CE.

2.证明：等腰三角形两腰上的高相等.

六、板书设计

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等边三角形的

等腰三角形腰上的高相等；

性质

等腰三角形腰上的中线相等.

七、教学反思

本节课关注了问题的变式与拓广,实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因

而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进行适度的调

整，因为学生先前这样的经验较少，因而对一些班级学生而言，完成全部这些教学任务,可能时

间偏紧,为此，教学中可以适当减少一些内容，将部分内容延伸到课外,当然，也可以设计为两个

课时，将研究过程进一步展开.

第3课时

【教学目标】

知识技能目标

1.探索等腰三角形的判定定理.

2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.

3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.

过程性目标

在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思

维能力，提高学生学习的主体性.

情感态度目标

鼓励学生积极参与教学活动，激发学生的好奇心和求知欲.

【重点难点】

重点:理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.

难点:灵活应用等腰三角形的性质和判定定理.

【教学过程】

一、创设情境

活动过程:通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路,要求学生独立思考后再进

行交流.

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？

问题2.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗?如果一个三角形有两个角相等，那么这

两个角所对的边也相等吗？

二、探究归纳

探究一：教师：”等边对等角“，反过来成立吗?也就是:有两个角相等的三角形是等腰」

三角形吗？/\

［学生］如图，在4ABC中,NB=/C,要想证明AB=AC,只要构造两个全等的三角形，使/

-----------

AB与AC成为对应边就可以了.

探究二:导出反证法：

小明说:在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结

论成立吗?如果成立，你能证明它吗？

我们来看一位同学的想法：

如图，在4ABC中，已知/BK/C,此时AB与AC要么相等,要么不相等.

A

假设AB=AC,那么根据“等边对等角“定理可得/C=/B,但已知条件是/BK/C./

C=NB”与已知条件“NBK/C”相矛盾，因此ABMAC./

你能理解他的推理过程吗？

反证法的定义是先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知

条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种方法，我们把它叫

做反证法.

三.、交流反思

(1)本节课学习了哪些内容？

⑵等腰三角形的判定方法有哪几种？

(3)结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别与联系.

(4)举例谈谈用反证法证明的基本思路.

四、检测反馈

1.如图,BD平分NCBA,CD平分/ACB,且MN//BC,设AB=12,AC=18,求AAMN的周长.

A

2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发，将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸

片，问此时的等腰三角形的顶角的度数？

五、布置作业

已知:如图,/CAE是4ABC的外角,AD//BC且/1=/2.

求证:AB=AC.

六、板书设计

等腰三角形的判定：

有两个角相等的三角形是等腰三角反证法

形

七、教学反思

本节课关注了问题的变式与拓广,实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因

而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进行适度的调

整，因为学生先前这样的经验较少，因而对一些班级学生而言，完成全部这些教学任务,可能时

间偏紧.

第4课时

【教学目标】

知识技能目标

1.理解等边三角形的判别条件及其证明.

2.理解含有30°角的直角三角形的性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.

过程性目标

1.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.

2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程,发展合情推理能力和

初步的演绎推理的能力.

情感态度目标

积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.

【重点难点】

重点:等边三角形判定定理.

含30°角的直角三角形的性质定理.

难点:含30'角的直角三角形性质定理的探索与证明.

引导学生全面、周到地思考问题.

【教学过程】

―、创设情境

活动内容:教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题:等边三角形

作为一种特殊的等腰三角形,具有哪些性质呢?又如何判别一个三角形是等边三角形呢?从而

引入新课.

二、探究归纳

探究一:学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时

要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：

性质判定的条件

等边对等角等角对等边

等腰三“三线合一”即等腰三角形顶

有一角是60°的等腰三角形

角形角的平分线、底边上的中线、

是等边三角形

（含等边高互相重合

三角形）等边三角形三个角都相等，且三个角都相等的三角形是等

每个角都是60°边三角形

学生探究出：

1.顶角是60°的等腰三角形是等边三角形.

2.底角是60°的等腰三角形是等边三角形.

3.三个角都相等的三角形是等边三角形.

4.三条边都相等的三角形是等边三角形.

探究二:教师直接提出问题：

1.将等边三角形沿对称轴能剪成两个什么特殊的三角形？

2.你能猜测这个含30°角的直角三角形有哪些性质吗？

学生发现结论:在直角三角形中，如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一

半.

三、交流反思

让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论,以及解决问题的方法和蕴含其中的

思想，如分类讨论思想、逆向思维等.

四、检测反馈

等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高CD的长.

解:/ABC=/ACB=15°,

ZDAC=ZABC+ZACB=15°+15°=30°,

11

；.CD=2AC=2x2a=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜

边的一半）.

五、布置作业

P12习题1.4第1,2题

六、板书设计

等边三角形的判定

1.含30"角的直角

学生板演

2.三角形的性质

3.

七、教学反思

本节课，难点在于探究两个定理:“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么

这条直角边所对的锐角等于30°”和"在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一

半”，由于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点,因而，课堂上学生思维非常灵活，

方法多样，取得较好的效果.

课题直角三角形（第一课时）课型新授课

1.知识目标：（1）掌握直角三•角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，

并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。（2）结合具体例子了解逆命题的概^念，会识别

教学

两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.

目标

2.能力目标：（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初

步的符号感，发展抽象思维.（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力.

重点：①了解勾股定理及其逆定理的证明方法.②结合具体例子了解逆命题的概念，识

重点

别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.

难点

难点：勾股定理及其逆定理的证明方法.

学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验课时

1课时

准备用）；安排

教学过程与教学内”容教学方法与学法

1:创设情境，引入新课

通过问题1,让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性

质。

［问题1］一个直甭三角形房梁如图所示，其中BC1AC,

ZBAC=30",AB=10cm,CB,1AB,B^IAC,,垂足分别是耳、.Ct,

那么BC的长是多少？BQ】呢？

解：在RtZ\ABC中，ZCAB=30°,AB=10cm,

11让学生在回顾的基础上，

，BC=;AB=QX10=5cm.

自主地寻求命题的证明

•.'CB.IAB,ZB4-ZBCB,=90°

又NA+/B=90°

ZBCB,=ZA=30°

115

在Rt^ACBi中，BB,=-BC=-X5=-cm=2.5cm.

.•.ABl=AB=BB,=10—2.5=7.5（cm）.

，在RtZ\GAB|中，ZA=30°

11

=5AB［=5X7.5=3.75（cm）.

解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的"30"角的直角三角

形的性■■质由此提问：“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?”从而

引入勾股定理及其证明。

教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用

公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗？

请同学们打开课本P18,阅读“读一读”，了解一下利用教科书给

出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法.

2:讲述新课

阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第

一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读.

(1).勾股定理及其逆定理的证明.

已知：如图，在AABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求证：a2+b2=c2.

证明：延长CB至D,使BD=b,作NEBD=/A,并取BE=c,连

接ED、AE(如图)，则4ABC四Z\BED.

ZBDE=905,ED=a(全等三角形的对应角相

A

等，对应边相等).\

二四边形ACDE是直角梯形.\

•1S梯形AQDE=5(a+b)(a+b)=-(a+b)2.1\

/.ZABE=180°-(/ABC+ZEBD)=180°—CB

90°=90°,

AB=BE.

1

/.SAABE=2C?A

•/S梯形ACDE=\E

SAABE+S/XABC+SABED，\

101011h_____A

(a+b)2=2c+2ab+2CaBD

ab,

111

即5a2+ab+-b2=~c2+ab,

.■.a2+b2=c2

教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结

论，并强调.具体如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于.斜

边的平方.

反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方

时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三甭形”的结论.你

能证明此结论吗？

师生共同来完成.

已发P：如图：在AABC中，AB2+AC2

=BC2

求证：4ABC是直角三角形.

分析：要从边的关系，推出NA=90°

是不容易的，如果能借助于aABC与一个

直角三角形全等，而得到NA与对应角（构造的三角形的直角）相等，可证.

证明：作RtZ\A'B'C'，彳更NA'=90°,A'B'=AB,A'C'、

AC（如图），

则A'B':+A'C'"勾股定理）.

•.AB2+AC2=BC2,A'B'=AB,A'C*W

.­.BC2=BrCz2/

.-.BC=B，C'/

C

.-.△ABC^AA，B'C'（SSS）

ZA=ZA"=90"（全等三角形的对应角相等）.

因此，AABC是直角三角形.

.总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，

那么这个三角形是直角三角形.

（2）.互逆命题和互逆定理.

观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的

学习中还有类似的命题吗？

通过观察，学生会发现：

上面两个定.理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二

个定理的结论，结论是第二个定理的条件.

这样的情况，在前面也曾遇到过.例如“两直线平行，内错角相等”，

交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”.又如“在直角

三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边就等于斜边的

一半”.交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条

直角边等于,斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”。

3：议一议

观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导

下得出命题与逆命题的区别与联系。

让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清

晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；

那么……"的形式，以及能够写出一个命题的逆命题。

活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，

要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观

察下面三组命题：

如果两个角是对顶角，那么它们相等.

如果两个角相等，那么它们是对顶角.

如果小明患了肺炎，那么他一定发烧.

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.

三角形中相等的边所对的角相等.

三角形中相等的角所对的边相等.

上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流.

不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命

题的结论是第一个命题的条件.

在两个命题中，如果'命题条件和结论分别是另一个命题的结论

和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题

的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题.

再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每

组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题.请同学们判断每组原命

题的真假.逆命题呢？

在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题.

在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题.

在第三组中，原命题和逆命题都是真命题.

由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题.

4:想一想

要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把

结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题.

请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的

逆命题吗?它们都是真命题吗？

从而引导学生思考：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗？并

通过具体的实例说明。

如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称

它们为互逆定理.

其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理.

能举例说出我们已学过的互逆定理？

如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线,平行，内错角相等“

与“内错角相等，两直线平行”.“全等三角形对应边相等”和“三边对

应相等的三角形全等"、“等边对等角”和“等角对等边”等.

5:随堂练习

说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假j

⑴四边形是多边形；

⑵两直线平行，内旁内角互补；

⑶如果ab=O,那么a=0,b=0

［分析］互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困

难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题

较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一

定困难.可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题.

解：⑴多边形是四边形.原命题是真命题，而逆命题是假命题.

(2)同旁内角互补，两直线平行.原命题与逆命题同为正.

⑶如果a=0,6=0,那么ab=0.原命题是假命题，而逆命题是真

命题.

6:课时小结

这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生

活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成

立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能

力.

7:课后作业

习题1.5第1、2、3、4题

1、勾股定理及逆定理的证明。

板2、互逆命题：

书

课题直角三角形（第二课时）课型新授课

1.知识目标：①能够证明直角三角形全等的"HL”的判定定理，进一步理解证明的必

教学

要性②利用"HL''定理解决实际问题

目标

2.能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力

重点重点：探索证明等腰三角形性质定理的.思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；

难点难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

教具学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验课时

1课时

准备用）；安排

教学过程与教学内容教学方法与学法

1:复习提问

1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？

2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同,学

们相互交流。

3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其

中一个角是直角呢？请证明，你的结论。

我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底.边上的中线或

顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。让学生在回顾的基础

那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明”等边对等角”.

上，自主地寻求命题的证

要求学生完成，一位学生的过程如下：

明

已知：在△ABC中，AB=AC.

求证：ZB=ZC.

证明：过A作ADJ„BC,垂足为C,

ZADB=ZADC=90°

又「AB二AC,AD=AD,

.-.△ABD^AACD.

.,.ZB=ZC（全等三角形的对应角相等）

在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点

在于“在证明△ABD9Z\ACD时，用了“两边及其中一边的对角对相等

的两个三角形全等".而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，

如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的.可以

画图说明.(如图所示在ABD和4ABC中，AB=AB,ZB=ZB,AC=AD,

但aABD与AABC不全等)”.

也有学生认同上述的证明。

教师顺水推舟，询问能否证明：“在两个直角三角形中，直角所对的

边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.”，从而引入新

课。

2:引入新课

(1).“HL”定理.由师生共析完成

已知：在RtAABC和RtAA(B'C'中，ZC=ZC，=90°,

AB=A'B',BC=B'C'.

求证：

RtAABC^RtAA，B，C'夕分

证明：在RtAABC中，AC=AB2//

一BC2(勾股定理).//

又：在RtAA'B'C'中，A'C//

=A'C'=A'B'2-B'C'2(勾股定理).誉--------生--------%，

AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C.

RtAABC^RtAA'B'C(SSS).

教师用多媒体演示：

定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

这一定理可以简单地用“斜边、直角边"或"HL”，表示.

，从而肯定了第一位同学通过作底

边的高证明两个三角形全等，从而得到

“等边对等角”的证法是正确的.

练习：判断下列命题的真假，并说

明理由:AD

(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;

（2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；

（3）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形

全等.

对于（1）、（2）、（3）一般可顺利通过，这里教师将讲解的重心放在

了问题（4）,学生感觉是真命题，一时有无法直接利用已知的定理支持，

教师引导学生证明.

已知：RAABC^RtAA'B'C,ZC=ZC'=90，,BC=B'C',BD、B'D'

分别是AC、AC）边上的中线且BD—B'D（如图）.

求证：RtAABC^RtAA'B'C.

AA'

证明：在RtABDC和中，/IA

：BD=BD,BC=BC/JD，

」.RtZXBDC/RtZ\B'D'C'（HL定理）.N_JN_J,

BCBC

CD=C'D'.

又,；AC=2CD,A'C'=2C'D',：.AC=A'C.

：.在RtAABC和RtAA'B'C'f,

•.BC=B'C',ZC=ZC'=90°,AC=A'C,

RtAABC^CORtAA'B'C（SAS）.

通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，

教师最后再总结。

3:做一微

问题你能用三角尺平分一个已知角吗？请同学们用手中的三角

尺操作完成，并在小组内交流，用自己的语言清楚表达自己的想法.

（设计做一做的目的为了让学生体会数学结论在实际中的应用，教

学中就要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将

推理证明过程写出来。）

4：议一议

如图，已知/ACB=/BDA=90°,要使AACB9BDA,还需要什么

条件?把它们分别写出来.

这是一个,开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已

学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学

之间的交流，获得各种「不同的答案.

（教师一定要提供时间和空间，让同学们认真思考，勇于向困难提出

挑战）

5：例题学习

CD=CD.ZACB=ZA'

C'B'.

求证：AABC色△A'B'C'.

分析：要证△ABC9Z\ABC,由已知中找到条件：一组边AC=A9,

一组角NACB=/A'C'B'.如果寻求/A=/A',就可用ASA证明全等；也

可以寻求么NB=/B',这样就有AAS;还可寻求BC=B'C',那么就可根

据SAS.……注意到题目中，通有CD、CD是三角形的高，CD=C'D'.观

察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的

条件，可证的RtaADCSRtaA'DJC,因此证明NA=/A'就可行.

证明：-.CD.CD'分别是△ABCZ\A'B'C的高（已知），

ZADC=ZA'D'C-90°.

在RtAADC和RtZ\ATXC中，

AC=A'C（已次"），「

CD=CD（已知），

RtAADC^RtAA'D'C（HL）.

ZA=ZA',（全等三角形的对应角相等）.

在AABC和△AEC中，

/A=/A'（已证），

AC=A'C'（已知）,

NACB=/A'C'B'（已知），

AABC^AA'B'C（ASA）.

6：课时小结

本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两

个三角形不一定全等.而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等

的，从而得出判定直角三•角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理

安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方

法，而且发展了同学们演绎推理的能力.同学们这一节课的表现，很值

得继续发扬广大.

7：课后作业

习题1.6第3、4、5题

1、作等腰三角形底边的高来证明”等边对等角”

板2、判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理

3、例题讲解

书4、随堂练习

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3线段的垂直平分线

一、教学目标

1.知识与技能

(1)要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些

问题；

(2)能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理.

2.过程与方法

(1)经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力；

(2)体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神；

(3)学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

3.情感态度及价值观

(1)积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；

(2)在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

二、教学重点、难点

重点：能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论.

难点：(1)写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它.

(2)用尺规作线段垂直平分线.

三、教具准备

教师准备：课件.

学生准备：练习本.

四、教学过程

1.创设现实情境，引入新课

教师用多媒体演示：

如图3-1,4、8表示两个仓库，要在4、8一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距

离相等，码头应建在什么位置？

'B

图3-1

［生］码头应建在线段的垂直平分线与在8一侧的河岸边的交点上.

［师］同学们认同他的看法吗？

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［生］认同.

［师］认为对的说说你的理由是什么呢？

［生］（回忆定理）我们以前曾学过线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段

两个端点的距离相等.所以在这个问题中，要求在“月、6一侧的河岸边建造一个码头，使

它到两个仓库的距离相等"利用此性质就能完成.

［师］这位同学分析得很好，我们在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其

中线段的垂直平分线就是它的对称轴.我们曾经像这样利用折纸的方法得到“线段垂直平分

线上的点到线段两个端点的距离相等“这一简单事实，但是用这种观察的方式是很难说服别

人的，你能用公理或学过的定理来证明这一结论吗？

教师演示线段垂直平分线的性质：

定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

2.讲述新课

【第一部分】线段垂直平分线的性质定理.

［师］我们得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学

过的定理推理、证明它.那么如何证明呢？

［师］（引导）

问题一：①要证"线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等“，可线段垂直平分线

上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？

（强调）我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有

相同的性质.（开始让学生有这样的教学思想）

②你能根据定理画图并写出已知和求证吗？

③谁能帮老师分析一下证明思路？

［生］（思考回答）

【师生共析］

已知：如图3-2,直线垂足是C,S-AC=BC,P是MN上的悬.

求证：PA=PB.

图3-2

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分析：要想证明尸4=尸8,可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等.

证明：'：MNLAB,

:"PCA=LPCB=90°.

：AC=BC,PC=PC,

：.XPCA/△PO?（SAS）.

.•.%=P3（全等三角形的对应边相等）.

【第二部分】线段垂直平分线的判定定理.

教师用多媒体完整演示证明过程.同时，用多媒体呈现：

想一想：

你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？

［师］（引导、并提问两学生）

问题二：①这个命题是否属于"如果……，那么……”的形式？

②你能分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……，那么……”的形式吗？

③最后再把它的逆命题写出来.

［生司（思考分析）原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点"，结论是“这个点到

线段两个端点的距离相等”.

［师1有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来.

［生必如果有一个点到线段两个瑞点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.

［师］很好，能否把它描述得更简捷呢？

［生均到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

［师］非常好！当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假.若为真，则需证明它；若为假，

则需用反例说明.请同学们类比原命题自己独立写出已知、求证.

（给学生思考时间）

已知：线段48,点〃是平面内一点且24=%.

求证：点夕在48的垂直平分线上.

（分组讨论，鼓励学生多想证明方法，并派代表上黑板写写本组的证明过程）

［师］看学生的具体情况，做适当的引导.

证明：（证法一）过点P作已知线段的垂线尸C,如图3-3.

：PA=PB,PC=PC,

RtA/MC^RtAP56（HL）.

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：.AC=BC,即点域/18的垂直平分线上.

（证法二）取/13的中点C,过/<?作直线，如图3-4.

：AP=BP,PC=PC,AC=CB,

「.△4〃/△8PJSSS）.

NPC4=/PCB（全等三角形的对应角相等）.

又..•/201+/〃以=180°,

APCA=APCB=90°,即〃C_L/3

.•.点〃在月方的垂直平分线上.

图3-4

（证法三）过〃点作//瓶的角平分线，如图3-5.

:AP=BP,Z1=Z2,PC=PC,

:.△AP8XBP尖0.

：.AC=DC,全等三角形的对应角相等，对应边相等）.

又..•/〃G4+/〃C3=180°,：.APCA=APCB=90°.

点蟀线段力6的垂直平分线上.

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图3-5

所］先肯定学生的思考，再对证明过程严谨的小组加以表扬，不足的加以点评和纠正.

［师］从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它

称为线段垂直平分线的判定定理.

【第三部分】做一做：用尺规作线段的垂直平分线.（教师多媒体演示）

［师］（边演示图边讲讲作图有关的数学史）大家知道这些图是用什么工具作出来的吗？

（资料：古希腊以来，平面几何中的作图工具习惯上限用直尺和圆规两种，其中，直尺假定

直而且长，但上面无任何刻度，圆规则假定其两腿足够长并能开闭自如.作图工具的这种限

制，最先大概是恩诺皮德斯（Oencw&es,约公元前465年）提出的，以后又经过柏拉图

公元前427—347）大力提倡.柏拉图非常重视数学，强调学习几何对训练逻辑思维能力的特

殊作用，主张对作图工具要有限制，反对使用其他机械工具作图.之后，欧几里得（&c灰/,

约公元前330—275）又把它总结在《几何原本》一书中，于是，限用尺规进行作图就成为古

希腊几何学的金科玉律.）

［师］其实同学们也能用圆规、直尺画出优美的图形，下面咱们就一起来学用尺规作线段的垂

直平分线.

（分析：要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等

的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这

样才能确定已知线段的垂直平分线.）

类似于证明题要写出已知、求证和证明，作图题也要根据条件写出已知、求作和作法，下面

我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据.

［教师示范，请学生同时练习］

已知：线段如图3-6.

AB

图3-6

求作：线段48的垂直平分线.

作法：①分别以点力和8为圆心，以大于工/8的长为半径作弧，两弧相交于点。和。.

2

②作直线CD,如图3-7.直线CD就是线段的垂直平分线.

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图3-7

所］根据上面作法中的步骤，请你说明8为什么是的垂直平分线吗？请与同伴进行交流.

［生］从作法的第一步可知：AC=BC,AD=BD.

：.a。都在/B的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理).

...CD就是线段的垂直平分线(两点确定一条直线).

［师］我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分

线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段43的中点，所以我们也用这种方法作线段

的中点.

3.练习:

(1)已知直线1和/上一点P,用尺规作/的垂线，使它经过点P.

学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由.

(2)拓展：如果点P是直线/外一点，那么怎样用尺规作/的垂线，使它经过点P呢？

说说你的作法，并与同伴交流.

4.课堂小结：本节课你都掌握了哪些内容？

5.教学反思

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4角平分线

课题角平分线(第一课时)课型新授课

1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理.

教学2.进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言.转化为符号

目标语言、图形语言的能力.

3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。

重点

正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。

难点

教具课时

圆规、三角尺1课时

准备安排

教学过程与教学内容教学方法与学法

1:情境引入

我们曾