江苏省无锡市锡山区天一实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

第第页无锡市天一实验学校2023年秋学期初三年级数学学科期中试卷一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A．不是整式方程，故错误．B．是一元一次方程，故错误；C．方程含有两个未知数，故错误；D．符合一元二次方程的定义，正确．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解答的关键．2.已知，下列变形错误的是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据比例式的性质，即可得到答案．【详解】∵⇔，⇔，⇔，⇔，∴变形错误的是选项B．故选B．【点睛】本题主要考查比例式的性质，掌握比例式的内项之积等于外项之积，是解题的关键．3.若一元二次方程的两个根是、，则的值是（）A.3 B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】根据根与系数的关系直接可得答案．【详解】解：，是一元二次方程的两个根，，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．一元二次方程中（，a，b，c皆为常数）中，两根，与系数的关系为，．前提条件是判别式．4.如图，在中，，，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接运用正切的定义解答即可．【详解】解：∵在中，，，∴．故选D．【点睛】本题主要考查了正切的定义，在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么角A的对边与邻边的比值随之确定,这个比叫做角A的正切．5.某网络学习平台年的新注册用户数为万，年的新注册用户数为万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），根据题意所列方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据年的新注册用户数为万列方程即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，故选B．【点睛】本题考查一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找到等量关系式．6.下列说法正确的是（）A.等弧所对的圆心角相等 B.相等的弦所对的弧相等C.过三点一定可以确定一个圆 D.垂直于半径的直线是圆的切线【答案】A【解析】【分析】根据弧，弦，圆心角的关系，圆的确定以及切线的判定，逐一进行判断即可．【详解】解：A、等弧所对的圆心角相等，选项正确，符合题意；B、弦对应的弧有优弧和劣弧，相等的弦所对的弧不一定相等，选项错误，不符合题意；C、过不在直线上的三点可以确定一个圆，选项错误，不符合题意；D、经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，选项错误，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查弧，弦，圆心角的关系，圆的确定方法以及切线的判定．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．7.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度是()A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm【答案】B【解析】【分析】过点O作OM⊥DE于点M,连接OD，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”和勾股定理进行计算，即可求出答案.【详解】过点O作OM⊥DE于点M,连接OD.∴DE=DE，∵DE=8cm，∴DM=4cm，在Rt△ODM中，∵OD=OC=5cm，∴∴直尺的宽度为3cm.故答案选B.【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，灵活运用这些定理是解答本题的关键.8.如图，在中，，过点A作的垂线交于点D，平分交于点E．若，则的长为（）A.3 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】过点A作于点G，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理计算即可．【详解】过点A作于点G，∵，∴，∴，∴；∵,，∴，，∵平分,∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴,故选D．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的特征，角的平分线的意义，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的特征，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．9.如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据网格的特点作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据，进行计算即可解答．【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，由题意得：，，，∴，∴是直角三角形，∴，∵，∴，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．10.如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，∵，，∴，∴，∵，∴，∵轴轴，，∴，∵，∴，∴即，解得，同理可得，，∴即，解得，∴，∴当线段取最大值时，点的坐标是，故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．二．填空题（共8小题，每小题3分共计24分）11.在比例尺为的地图上，相距的两地的实际距离为______．【答案】75【解析】【分析】本题考查比例尺，比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算．【详解】解：．∴两地A、B的实际距离为，故答案为：75．12.已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为_____cm2．【答案】3π．【解析】【详解】试题分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入，∴圆锥的侧面积=2π×1×3÷2=3π．考点：圆锥侧面积的计算．13.如图，点P把线段的黄金分割点，且．如果，那么_______（结果保留一位小数）．【答案】1.2【解析】【分析】由黄金分割的定义得，即可得出答案．【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，∴，∴==≈故答案为：1.2．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值．14.如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠CBA＝70°，则∠D的度数是__________．【答案】20°##20度【解析】【分析】先根据圆周角定理得∠ACB的度数及∠A=∠D，再利用直角三角形锐角互余，即可得答案．【详解】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CBA=70°，∴∠A=90°－70°=20°，∴∠D=∠A=20°，故答案为：20°．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，掌握直径所对的圆周角是直角是解题关键．15.如图，过原点O的直线与反比例函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于点A1，A2，若，则＝_____．【答案】【解析】【分析】利用k的几何意义和相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：分别过作，则：∴，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义是解题的关键．16.小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为____________里．【答案】9【解析】【分析】由切圆于D，切圆于C，连接，得到，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案．【详解】解：如图，表示圆形城堡，由题意知：切圆于D，切圆于C，连接，∴，里，∵里，∴里，∴，∵，∴，∴（里）．∴城堡的外围直径为（里）．故答案为：9．【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，得到，求出长即可．17.若实数满足，则代数式的最大值为______．【答案】####【解析】【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解．本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：依题意，，解得：，设，∴，∵，∴有最大值，最大值为故答案为：．18.如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是________．【答案】【解析】【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得．【详解】解：是等边三角形，，∵折叠得到，，，，平分等边的面积，，，又，，，，，，解得或（不符合题意，舍去），故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．三．解答题（共10小题，共计96分）19.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程．（1）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．【小问1详解】解：或解得：；【小问2详解】解：解得：．20.计算：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值化简．（1）先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂化简，然后再进行计算即可解答；（2）先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值化简各式，然后再进行计算即可解答．小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式．21.如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°．【解析】【详解】试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．试题解析：（1）∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵．∴△ACD∽△CBD；（2）∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．考点：相似三角形的判定与性质．22.已知关于x的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值【答案】（1）详见解析（2）或【解析】【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式意义即可得到结论；（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．【详解】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1，∵k＜k+1，∴AB≠AC．当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，所以k的值为5或4．【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．23.如图，在平面直角坐标系中，、、．（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______；（2）这个圆的半径为______；（3）直接判断点与的位置关系．点在______（内、外、上）；（4）在方格中，连接，，，将以原点O为位似中心，缩小为原来的，请在方格纸中画出缩小后的图形．【答案】（1）（2）（3）内（4）见解析【解析】【分析】本题主要考查与圆有关的作图，垂径定理、点与圆的位置关系和位视变化，（1）连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点M即为圆的圆心点，由图即可求得点M的坐标；（2）连接，利用勾股定理得，即为圆的半径；（3）连接，由勾股定理得的长，与半径做对比即可判定与圆的位置关系；（4）根据位视的性质作图即可；【小问1详解】解：如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点M，则点M即为经过点A、点B和点C三点的圆弧所在圆的圆心点，M的坐标为；【小问2详解】连接，由勾股定理得，，则这个圆的半径为；【小问3详解】连接，由勾股定理得，，则点在内；【小问4详解】如图上图，即为所求；24.如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．（1）求证：EF与相切；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）．【解析】【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立；（2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解．【小问1详解】证明：连接，∵，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∵为半径，∴EF与相切；【小问2详解】解：设半径为x，则，∵，，∴，在中，，，∴，即，解得，经检验，是所列方程的解，∴半径为4，则，在中，，，，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．25.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折【解析】【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；

（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，化简，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元此时，售价为：60﹣6=54（元），答：该店应按原售价的九折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．26.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，点的坐标为，边与轴交于点．（1）直接写出点的坐标；（2）在轴上取点，直线经过点，与轴交于点，连接．①当时，求直线的函数表达式；②当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，求点的坐标．【答案】（1）（2）①或；②或【解析】【分析】（1）利用矩形的性质求出相应线段，利用点的坐标的意义解答即可；（2）①求出线段，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系求得点M的坐标，再利用待定系数法解答即可；②利用分类讨论的思想方法分两种情况：Ⅰ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，Ⅱ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质解答即可得出结论．【小问1详解】解：点B的坐标为，．∵矩形中，．；【小问2详解】解：①∵点，．，．．，或．或．或．∴或．解得：或∴直线的函数表达式为：或；②设的中点为G，过点G作于点H，延长交于点N，则，如图，由题意：以线段EM为直径的圆与矩形的边，所在直线相交．∴以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线可能相切，Ⅰ、以线段为直径的圆与矩形的边所在直线可能相切时，则．设，则，．，．，∴为梯形的中位线．．∴．解得：．经检验，是原方程根，；Ⅱ、以线段为直径的圆与矩形的边所在直线可能相切时，则．，．，∴为梯形的中位线．．∴．解得：．经检验，是原方程的根，．综上，当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，点M的坐标为或．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，待定系数法确定直线的解析式，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．27.如图，正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于，交于.（1）当为中点时，求证；（2）若线段满足.①求证：；②求的值.【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得,，根据轴对称的性质可得，推得，根据相似三角形的判定与性质可求得，即可证明；（2）①根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质可得，根据正方形的性质可得，，根据平行线的性质可得，根据对称的性质可得，根据等边对等角可得，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明；②设正方形的边长为，则，设，，根据列方程，求解得出，代入即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形是正方形，∴,，∵点关于直线的对称点为，∴，∴，∵为中点，∴，即，∵，∴，∴，∴．【小问2详解】解：①证明：∵，∴，∵，∴，∴；∵四边形是正方形，∴，，∴，∵点关于直线的对称点为，∴垂直平分，∴，∴，∴．在和中，∴，∴；②由①知：，∴；设正方形的边长为，则，设，∴，