初中数学二次函数的性质解答题专题训练含答案

初中数学二次函数的性质解答题专题训练含答案

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一、解答题(共17题)

1、在平面直角坐标系xOy中，点N(Xi,y1),B(―,九)在抛物线y=ax

2

+2ax(0<a<3)上，其中x<x2.

(1)求抛物线的对称轴；

(2)若1(-2,y；),6(0,旷2),直接写出y>yZ的大小关系；

(3)若x/+x?=l-a,比较y7,y2的大小，并说明理由.

2、已知0为坐标原点，直线1：y=~5x+2与x轴、y轴分别交于4、。两

点，点6(4,2)关于直线1的对称点是点E,连接EC交.x轴于点D.

(1)求证：AD=CD；

(2)求经过B.C,D三点的抛物线的函数表达式；

5

(3)当x>0时，抛物线上是否存在点P,使S5=IS△跳？若存在，求点P的

坐标；若不存在，说明理由.

3、如图，抛物线》=/+阮+。与x轴交于A、B两点，且A-L0),对称轴为直线x=2.

(1)求该抛物线的函数达式；

(2)直线/过点A且在第一象限与抛物线交于点C.当NC4B=45。时，求点。的坐标;

(3)点。在抛物线上与点。关于对称轴对称，点尸是抛物线上一动点，令尸Sa，力)，当

140求面积的最大值(可含。表示).

4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=*+乐+。交x轴于点A和“，0i,交了轴于

点现°，3),抛物线的对称轴交x轴于点E,交抛物线于点F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将线段OE绕着点。沿顺时针方向旋转得到线段OE',旋转角为连

g百1+2.幺后1

接AE',B?，求3的最小值.

(3)河为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A,B,M,

"为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点"的横坐标；若不存在，请说明理由；

5、如图，抛物线产d-2x+c(”0)与x轴交于4、8(3,0)两点，与了轴交于点

。(0,—3),抛物线的顶点为D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点刀在抛物线的对称轴上，点0在x轴上，若以点p、Q、B、C为顶点，BC

为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；

(3)已知点〃是x轴上的动点，过点"作x的垂线交抛物线于点G,是否存在这样的

点〃，使得以点力、M、G为顶点的三角形与△形»相似，若存在，请求出点〃的坐

标；若不存在，请说明理由.

6、某产品每件成本为25元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m

(单位：件)是关于时间t(单位：天)的一次函数，调研所获的部分数据如表：

时间t/

231020

天

日销售量

96948060

//件

这20天中，该产品每天的价格y(单位：元/件)与时间t的函数关系式为：y=4t

+30(t为整数)，根据以上提供的条件解决下列问题：

(1)求出/关于力的函数关系式；

(2)这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？

(3)在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元(aV6)给希望工程，通

过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的H销利润随时间t的增大而增大，求a的

取值范围.

7、如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=ax2+2ax+5(a<

0)从左到右依次交x于点A,B,交y轴于点C,且N6=8

(1)求a的值

(2)点。在第二象限的抛物线上，其横坐标为t,连接BD，交y轴于点E,设线段

CE的长为d,求d与t之间的函数关系式

y

8、某板栗经销商在销售板栗时，经市场调查：板栗若售价为10元/千克，日销售量为34

千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设板栗售价为x元/千克

（x210且为正整数）.

（1）若某日销售量为24千克，直接写出该日板栗的单价；

（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克，设每日销售额为犷元，求犷关于x的

函数表达式，并求w的最大值和最小值.

（3）若政府每日给板栗经销商补贴a元后（a为正整数）发现只有4种不同的单价使

日收入不少于395元且不超过400元，请直接写出a的值，（日收入=销售额+政府补贴）

9、函数》=x'&x+c的图像与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,OB=OC.点、

。在函数图像上，CD/x轴，且切=2,直线/是抛物线的对称轴，£是抛物线的顶

点.

（1）求力，c的值；

（2）如图①，连接BE,线段OC上的点F关于直线1的对称点尸’恰好在线段BE

上，求点F的坐标；

（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与

抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q,使得VPQN与的面积相等，且线

段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由.

图①图②

10、抛物线》="/+"+3过点山-1，°),点现3，°),顶点为C.

(1)求抛物线的表达式及点。的坐标；

(2)如图1,点P在抛物线上，连接。尸并延长交x轴于点D,连接AC,若△ZMC是

以为底的等腰三角形，求点F的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，点E是线段/C上(与点A,C不重合)的动点，

连接尸瓦作4FEF=4CAB,边防交x轴于点F,设点F的横坐标为物，求取的取值

范围.

y=/_2(后一1)x+上2-—k

11、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2(k为常数).

(1)若抛物线经过点(l,k2),求k的值；

(2)若抛物线经过点(2k,yQ和点(2,y2),且y।〉y2,求k的取值范围;

(3)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当l<x<2时，新抛物线对应的函

_3

数有最小值求k的值.

273

12、如图，在直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线的顶点为(2,-亍)，抛物线

与轴的一个交点为4(4,0),点8(2,2g),点。与点B关于y轴对称.

(1)判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；

(2)顺次连接AB,BC,CO,判断四边形A8C。的形状并证明；

(3)设点夕是抛物线上的动点，连接力、PC、AC,△PAC的面积S随点夕的

运动而变化；请探究S的大小变化并填写表格①〜④处的内容；在当S的值为②时，

求点P的横坐标的值.

直线工c的函数满足条件的尸点

S取的一个特殊值S的可能取值范围

表达式的个数

64个③

①②3个

102个④

y=—x

13、如图，点AB在函数4的图像上.已知的横坐标分别为—2、4,直线上

与'轴交于点3连接OAQB.

(1)求直线的函数表达式;

(2)求以。8的面积;

y=­X

(3)若函数4的图像上存在点P,使得的面积等于加1。8的面积的一半，则

这样的点「共有个.

14、已知二次函数y=^2+bx+c(aWO)的图象与x轴交于A,8(1,0)

两点，与y轴交于点C(0,-3).

(1)求二次函数的表达式及点A的坐标；

(2)点。是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值

时点D的坐标；

(3)点〃是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N.使以M,N,

B,0为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标(不写求解过程).

15、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A

(-3,0)和点8(5,0),顶点为点。，动点〃、0在x轴上(点M在点Q

的左侧)，在x轴下方作矩形MNPQ，其中第=3,MN=2.矩形MNPQ沿x轴以

每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为(-6,0),当

点〃与点8重合时停止运动，设运动的时间为t秒(t>0).

(1)b=,c=.

(2)连接劭，求直线BD的函数表达式.

(3)在矩形腕密运动的过程中，脉所在直线与该二次函数的图象交于点G,收所

在直线与直线劭交于点H,是否存在某一时刻，使得以G、M、H、0为顶点的四边

形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

(4)连接PD,过点夕作物的垂线交y轴于点R,直接写出在矩形MNPQ整个运动

过程中点兄运动的路径长.

16、如图，抛物线y=ax2+bx+c(aWO)的图象经过A(1,0),8(3,

0),6,(0,6)三点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)抛物线的顶点〃与对称轴1上的点N关于x轴对称，直线交抛物线于点D,

直线BE交AD于点E,若直线BE将△ABD的面积分为1:2两部分，求点E的坐

标.

(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点尸，使4、

D,P.Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明

理由.

17、已知二次函数y=-^+bx+cc和一次函数>=的图象都经过点A(-3,0),

且二次函数》=-〃+双+。的图象经过点8(0,3),一次函数>=尔+'的图象经过点

C(0,-1).

(1)分别求力、〃和6、C的值;

(2)点尸是二次函数》=-幺+反+。的图象上一动点，且点夕在x轴上方，写出△力6P

的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值.

============参考答案============

一、解答题

1、(1)x=-1；(2)乂=乃；(3)乂〈乃.

【解析】

【分析】

2a

(1)根据对称轴与系数的关系可以直接求得对称轴为：X=一五=-1;

(2)利用对称轴到点的距离进行判定y值即可；

(3)利用作差法，将乃表示出来，再进行判断正负，据此判断大小即可.

【详解】

2a

解：(1)由题意得：对称轴x=2a=-l；

(2)VO<a<3,

，抛物线开口向上，

又对称轴x=-l,

|-2-(-1)|=1,|0-(-1)|=1

/.A、B两点到对称轴的距离相等，即：％=乃

(3)由题意得：

乃

ax；+2axi-iax^+2ax^i

ax^+2axi-a君-2ax2

a(x1-x2)(x1+x2+2)

a(x1-x2)(3-a)

VO<a<3,xi<.x2

：.必一为〈0,

即：必〈乃.

【点睛】

本题主要考查二次函数中系数的运用，以及比较函数值的大小，熟练掌握二次函数的基础运

算是解题的关键.

8_3235

2

2、（1）见解析；（2）y=15x-15x+2；（3）P的坐标（5,0）、（5,

4+面

0）或（―2—,4）.

【分析】

（1）根据已知条件求出A、。的坐标，得到BC//AO,乙8c4=NC/。，结合点8（4,

2）关于直线1的对称点是点E,得到^CEA=^CBA,则ZBCA=AECA,从而得到

AECA^ACAO,即可证AD=CD；

12_6

（2）根据点8（4,2）关于直线1的对称点是点£，求出£（丁，一5）,得

4

到直线CE的解析式，又D点在x轴上，求出。（5,0）,设经过B、C、。三

3

点的抛物线的函数表达式为＞=a/+"+。，将刀（4,2）,D（2,0）,。（0,

2）代入即得抛物线的解析式；

55

（3）分别计算SA.和3S^OAE,利用S△.=3s△眦列方程，求出尸点的纵坐标,

再代入抛物线得到夕点的横坐标，即可求出月点的坐标.

【详解】

(1)证明：•.•直线/：y=-万x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，B

(4,2),

：.A(4,0),<7(0,2)

BC//AO

：.ZBCA=ACAO

•.•点8(4,2)关于直线1的对称点是点E,

^CEA=^CBA

：.^BCA=ZECA

；.乙ECA=NCAO

：.AD=CD

(2)解：设OD=m,由对称可得CE=BC=4,AE=AB=OC=2,ZAED=ZB=90°,

CD=AD=4-m,

2

在RtAOCD中，OD2+0C2=CD,

/.m2+22=(4-m)2,

3

m=2,

3

AD(2,0),

设经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为：y=ax2+bx+c,

3

把B(4,2),C(0,2),D(2,0)代入得：

16a-F4b-he=2

93,八

=0

<—4a+—2b-\-c

c=2

8

a=—

15

<c=2

,32

b=———

解得〔15

8_32

经过B,C,D三点的抛物线的函数表达式为：y=15x2-15x+2；

(3)存在，理由如下:

处无=叼2-“；=4|2-川；=2|2一J

2工训=2/0.|词.­二4

3&CZri£>3］，B|

2352

S&PBG~~EdQAS~4

2|2-"=4

解得为=°或力=4

又x>0

8_32_3_5

当〃=°时，代入y=Bx2-记x+2,得K=5,，2=5

8_32_4+731_4-万

2得“2,32（舍去）

当打=4时,代入y=15X一mx+2

354+后

综上，P的坐标(5,o)2,0）或（2,4）

【点睛】

本题是二次函数与几何的综合题.需要大量的计算过程，找准关键点进行计算是本题的关键,

一般出现在压轴题中，难度较大.

3、(1)》=-—4x-5；(2)点C的坐标是(6,7)；(3)当1少＜2时，NPCD

的最大面积为48+16a-4a。当24aM5时，A/CZ)的最大面积为64

【分析】

(1)根据已知点和对称轴，用待定系数法求二次函数的解析式即可；

(2)由NC48=45。得等腰直角三角形，从而求得坐标；

(3分情况讨论，在对称轴的左右两边，即当1工。＜2,1M&M5时分别求得A汽为面积的

最大值

【详解】

（1）V抛物线过山T°）,对称轴为x=2,

0=(-l)2+ix(-l)+c

1±=2

，I2x1,

\b=-A

解得V=-5

...抛物线表达式为y='-4x-5.

(2)过点c作轴于点E,

NCL4B=45。，

AE=CE,

设点。的横坐标为

则纵坐标为九=布+1,

C(xe,xe+1)

代入7=X2-4X-5,得：

xe+1=x^-4xe-5

解得%=T（舍去），线=6,

/.”=7

，点。的坐标是（6,7）.

（3）由（2）得C的坐标是（6,7）

,/对称轴x=2,

.•.点D的坐标是（一2,7）,

...8=8,

•；8与“轴平行，点P在x轴下方，

设aPCD以C3为底边的高为h

则以=3/+7,

当最大值时，的面积最大，

...\<xP<afl<a<5,

①当lMa<2时，1<x?<2

此时>=--4x-5在1工0Wa上了随x的增大而减小.

/,爪=吁4。-5卜5+4。-°

.%=卜/+7=12+4以一以2

**•△网力的最大面积为：

与敢=-xCDxA=lx8x(12+4a-a2)=48+16a-4a2

22,

②当244M5时，止匕时W-—4X-5的对称轴

x=2含于If内

1心|22-4、2一5卜9,

〃=9+7=16,

・・・AW。的最大面积为：

^ffi=lxCDxA=lx8xl6=64

综上所述：当IV。＜2时，的最大面积为48+16&-4a2,

当时，AWQ的最大面积为64.

【点睛】

本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，二次函数求最值问题，熟练

掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键.

恒

4、(1)V=*-2x+3；(2)亍；(3)存在，从点的横坐标分别为：2,-1,

-1+6-1-V5

2或2.

【解析】

【分析】

(1)待定系数法求二次函数解析式，设解析式为>=-幺+公+。将C(LO),8(0,3)两点代

入求得8,c的值即可；

।2.J4£1

(2)胡不归问题，要求3"的值，将折线化为直线，构造相似三角形将3转化

1offi_|__।

为3,再利用三角形两边之和大于第三边求得3最值；

(3)分2种情形讨论：①18为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以

求得N点的坐标；

②AB为矩形的对角线，设7?为47的中点，RN=\AB,利用两点距离公式求解方程可

得N点的坐标.

【详解】

解：(1),/>=-/+5x+c过5(0,3)

J-l+6+c=0

1。=3

b=-2,c=3

・••抛物线的解析式为：>=---2X+3

OD=-OE

(2)在。£上取一点D,使得3,连接AE',BD

OD=-OE=-OE'

33

x=------二-1

对称轴2

...£(-1,01,OE=I

OE'=OE=\,OA=3

OE'_OP_1

/.~OA~~OE,~3,ADOE'=Z.E'OA

...MDQE's烟OA

DE'=-AE'

3

BE'+-AE'=BE'+DE'

3

当B,E',。三点在同一点直线上时，鹿+Q?最小为BD.

OD=」

在RtASOZ)中，3,05=3

BD=,0炉+亦=1+©=浮

展

BS'+-AE'

即3最小值为

（3）情形①如图,AB为矩形的一条边时,

0=0

联立［y=-，-2x+3

x=-3\x=1

得/=07=0

止3,0),04=3

•・•0B=3

:V/8。是等腰Rtz,Z&40=45°

分别过两点作45的垂线，交＞=*-2x+3于点M％,

过匹死作跖。“轴，ME_Lx轴，

二4QBNi=4PAi'=45。

△BN©,△工帆尸也是等腰直角三角形

设QB=%则MQ=%所以助（-也m+3）

代入》=---2芯+3,解得的=1,%=0（不符题意，舍）

■孤（T4）

同理，设。产=%则PN=n+3,所以N式%f-3）

代入》=---2才+3,解得％=2,叼=-3（不符题意，舍）

.­.M（2.-5）

RN=-AB

②AB为矩形的对角线，没R为AB的中点，则2

・・・省一3,0)产(0,3)

33______

RB=-AB^—

22

,:RN=、AB

2

侬=逑

2

设阳x,---2x+3),则

整理得：彳0+3)(/+^-1)=0

解得：再二°（不符题意，舍），勺=-3（不符题意，舍），

-1+>/5

-l+>/5-1-V5

;综上所述：N点的横坐标分别为：2,-1,2或2.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一

次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，

能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键.

5、（1）产--21；（2）点尸（―3,或尸（1，引、点Q（4,0）或点0-2,0）；（3）

810

存在，"（0,0）或〃（§,0）或〃（6,0）或〃（7，0）

【解析】

（1）根据二次函数表达式和已知坐标点代入计算即可，

（2）以点P、0、B、。为顶点，血为边的四边形为平行四边形，分为两种情况:

WBC或月QWBC,根据平行四边形对边相等且平行求解即可，

（3）先根据题意求出A点坐标和顶点坐标，根据B,C,D坐标点得知ABDC是

直角三角形，且/BCD=90。，设点〃得坐标（匝0）,则点G得坐标为“，0-2切-3）,

根据相似的性质分情况求解即可.

【详解】

解：（1）将点8（3,0）,C（0,—3）分别代入产以c中，

9a-2x3+c=0

得：i。=-3,

Ja=l

解得

•••抛物线得函数关系为产_-2x-3

（2）点尸（—3）或产0,3）、点Q（4,。）或点0（-2.0）.

如图:

•.•以点尸、0、B、。为顶点，比'为边的四边形为平行四边形,

/.侬/BC或呢川BC,

•.,点6(3,0),C(0,-3),

当时，则6Q=BC,

设对称轴与x轴交于点M,

玲乂=。。=3,MQi=0B=3,

•耳(1,3),Q(-2,0).

•,»

同理月Q//BC时，鸟(1,-3),&(4,0)；

故答案为：召(L3),Q(-2,0)；舄(1,-3),2(4.0).

(3)当尸。时，X2-2X-3=0,

解得：『Tx『3,

：.A(-1,0)

又y=x2-2x-?=(x-l)2-4

・••抛物线得顶点D得坐标为（1,—4）

3）、8（3,0）、D（1,-4）

SZ）2+22+42=20,CD2=12+12,BC^32+32,

/.BD^CD^BC^

...△叱是直角三角形，且/BCD=90’

设点〃得坐标（物0）,则点G得坐标为（物"-2.-3）,

根据题意知：

ZAMG=ZBCD=90“

・・・要使以A>M、G为顶点得三角形与△相似，需要满足条件：

AMBC.^AMCD

——=——或=——

MGCDMGBC

-\-m_3\/2-\-m_品

①当W<-1时，此时有：>-2.-372或/-2m-33^2

解得：的一3'的一—或的=0,%=T,都不符合后-1,所以*-1时无解.

也+1_3^/2阳+1_应

②当7<搐工3时，此时有：-（/一2.-3）应或-（/_2搐-3）3点

解得：的一了啊-一（不符合要求，舍去）或的=0,%=T（不符合要求，舍去），

%

所以〃（3,）或〃（0,0）

w+1_3y/21_y/2

③当山>3时，此时有：m2-2m-3五或-2m~33时

解得：的一行’隹一一（不符合要求，舍去）或的=6,n=-1（不符要求，舍去）

10

所以点"(6,0)或"(7,0)

答：存在点〃，使得力、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，点M得坐标为：〃(0,

8

-10-

或

或

或

必

必

O\3O/6O必/O

71X(X(3

此题考查二次函数相关知识，综合性较强，涵盖平行四边形性质和三角形相似及勾股定理，

有一定难度.

6、(1)^=-2/+100;(2)在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；

(3)2.25<a<6

【分析】

(1)由题意得，设m=kt+b,根据表格中的数据，代入求解即可；

(2)设日销售利润为印元，求得郎与£的关系式，根据二次函数的性质求解最大值即可;

(3)根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质，求解即可.

【详解】

解：(1)由题意得，设m=kt+b,将(2,96),(3,94)代入解析式，得

2E+8=96ft=—2

孕+占=94,解得卜=100,即w=-2/+lQ0

故答案为：制=-2£+100

(2)设日销售利润为印元，则由题意可得，

jy=(-2/+100)x(li!+30-25)

4

1

二一上d0+1%+500

2

1,2

=--(/-15)+612.5

-<0-

2,开口向下

/.当£=15时，%大=612.5.

在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元

用=(-2+100)—t+25-20-a

(3)由题意得:

=——Z2+415+2a)2+500-100a

2,

对称轴为：£=15+2a,

•••每天扣除捐赠后的日销利润随时间£的增大而增大，且1金=20,

/.15+2。>19.5,

/.a>2,25,

又a<6

2.25<a<6,

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键.

7、(1)”-5；(2)d=-t

【分析】

(1)先求出抛物线对称轴为'=一五=一，再根据N8=8,则为、B到对称轴的距离

为4,即可求出A(-5,0),8(3,0),然后把B点坐标代入抛物线解析

式中求解即可；

(2)由。的横坐标为t,得到〔、33过D忤DH工x轴于点H,则

122

21224-DHOE-3~3OE

DH=——t——t+5tanNZZSH=----=-------z----=,

33,W=-力，再由BHOB,gp3-t3,进行求

解即可.

【详解】

解：(1)抛物线的解析式为y=ax2+2ax+5

2ay

x=———=-1

・••抛物线的对称轴为直线2a

，力、B关于直线x=-1对称

AB=8,

N、B到对称轴的距离为4,

J(-5,0),6(3,0),

.•.把B点坐标代入抛物线解析式得：9a+6a+5=0,

1

3-

1

a=—

(2)•・•3,

122£

y=——x——x+J

・•・抛物线解析式为33

D的横坐标为t,

DH――—t_—£+5

过〃作如，x轴于点〃，贝U33,OH=-t

B(3,0),

：.0B=3,

/.BH=3+(-2)=3-t,

122£

DHOE一一£一一£+5门B

..tan/E)BH==33

BHOB即3-t3,

-d-2£+15

0E=

-3^-

12,

y=——X2——x+J

,/c是抛物线33与y轴的交点,

・•.C（°，5）,

OC=5,

-?-2/+15

0C-0E=5-

-3^-

【点睛】

本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的对称性，解直角三角形，解题的关键在于能

够熟练掌握二次函数的相关知识.

8、（1）该日板栗的单价为15元/千克；（2）犷关于x的函数表达式为犷=-2x

?+54x,犷的最大值为364元，犷的最小值为340元；（3）a的值为35或36.

【分析】

（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为24千克，

列方程求解即可；

（2）根据题意，利用每日销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，并将其写成

顶点式，根据二次函数的性质可得答案；

(3)由题意得：395<-2x2+54x+aW400,由二次函数的对称性及只有4种不同的

单价使日收入不少于395元且不超过400元，可知x的取值为12,13,14,15,

计算可得a的值.

【详解】

解：(1)根据题意得：34-2(jr-10)=24,

解得x=15,

•••该日板栗的单价为15元/千克；

(2)根据题意得：

w=x[34-2(x-10)]

=-2x2+54x

27729

=-2(x-T)2+~,

由题意得：10<xW15,且x为正整数，

V-2<0,

・•.当x=13或14时，w有最大值，最大值为364元.

27729

当x=10时，犷有最小值，最小值为：-2(10-5)2+T=340(元).

w关于x的函数表达式为犷=-2x?+54x,w的最大值为364元,w的最小值为340

元；

(3)由题意得：395<-2x2+54x+aW400,

只有4种不同的单价使日收入不少于395元，4为偶数，

由二次函数的对称性可知，x的取值为12,13,14,15,

当x=12或15时，-2x2+54x=360；当x=13或14时，-2x2+54x=364,

补贴a元后日收入不少于395元且不超过400元，360+35=395,364+36=400,

•••a的值为35或36.

【点睛】

本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质

是解题的关键.

9、(1)b=-2,c=-3；(2)点F的坐标为(°，-2)；(3)存在满足题意的点Q,

J_15(之

坐标为5'/或

【分析】

x=\=--b

(1)CD=2,则函数对称轴2,即：h=-2,则函数表达式为：…2-20x+c,

OB=OC,则点8坐标为(Y，0),把点8坐标代入函数表达式，即可求解；

(2)直线座的表达式为：V=2x-6,把入=2代入上式得：y=2x2-6=_2,即：点坐

标为尸⑵-2),即可求解；

(3)设点P的坐标为(2°),可表示出PN、PA、PB的长，作QRSN,垂足为R,

则可求出QR的长，用n可以表示出Q、R、N的坐标，在此班底凶中用勾股定理可求

出关于n的二次函数，利用二次函数的性质可以求出Q点的坐标

【详解】

=1=--b

(1)CD=2,则函数对称轴x2,即：b=-2,

则函数表达式为："--2x+c,OB=0C,则点刀坐标为(一。，°),

把点8坐标代入函数表达式，解得：。=-3或c=0舍去)，

答：b=-2,c=-3；

(2)二次函数表达式为：了=/-2工-3,

函数对称轴为x=l,则顶点£坐标为(1「4),

把点£、B坐标代入一次函数表达式:

3w+«=0m=2

y=尔+力得:加+/=-4,解得:n=-6

则直线用的表达式为：y=2x-6,

由题意得：点尸'的横坐标为2，把"2代入上式得：*2x2-6=-2即：点坐标为FR-2）,

•••点尸的坐标为（°，-2）

（3）存在点0满足题意.

设点刀坐标为（々°）,则PA=n+1,

PB=PM=3-«,PN=一%2+2加+3；

如图，作QCPN,垂足为R

112

._伽+1)(3_%)=_(一/+2"+3)3

,・22

・•.跳=1

①当点Q在直线网的左侧时，点。的坐标为5T4-甸，氏点的坐标为(々--4叱及

点的坐标为5,炉-2,-3)

/.在及AQTW中，呢2=1+(2”可\

„=3(1_15

当U时，畋取得最小值1,此时Q点的坐标为2,4；

②当点Q在直线尸V的右侧时，点Q的坐标为5+1〃_华,

同理畋2=1+(2/-1)2,

_215

当”=5时，畋取得最小值1,此时Q点的坐标为2,4；

J_15z2_15

综上可知存在满足题意的点Q,坐标为、2'4，或'2'4\

【点睛】

本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、三角形面积计算、二次函数的性

质、分类讨论的思想等知识点，解本题的关键在于通过坐标确定线段的长度，本题考查的知

识点较多,综合性较强，难度总体较大.

一?”、尸乙招一1＜族2

10、(1)y=-x+2x+3,C(l,4).(2)39；(3)4

【分析】

(1)将43的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可，根据顶点在对称轴上，求得

对称轴，代入解析式即可的顶点C的坐标;

(2)设3(40),根据△ZMC是以/C为底的等腰三角形，根据AD=CD,求得。点的

坐标，进而求得CD解析式，联立二次函数解析式，解方程组即可求得F点的坐标；

(3)根据题意，可得SA4FE,设AE=n,根据相似三角形的性质，线段成比例，

可得20、V根据配方法可得活的最大值，根据点名是线段/C上(与点A,

C不重合)的动点，可得物的最小值，即可求得刈的范围.

【详解】

(1)••・抛物线y=++"+3过点A(-LO),点8(3,0),

}-6+3=0

19。+比+3=0,

Ja=-1

解得V=2,

y=-/+2x+3,

b2[

x=———=----------=1?

2a2x(-1),代入y=-x*+2x+3,

解得：y=A,

:顶点co，3

(2)设“(a，o),

•••4-1,0),C(L4),AD4c是以/C为底的等腰三角形，

:.AD=CD

即可+1)2=依-1)2+42

0+1)2=3_1)2+甲

解得d=4

.­.。(4,0)

...C(1,4),Z)(4,O)

设直线8的解析式为i+b

J4尢+3=0

[k+b=4

解得

b=—

3

416

y——一x+—

直线8的解析式为33

联立L=*+2X+3

7

3

201

解得:4

.%

120

（3）•.•点尸的横坐标为即，4-L°）,C（L4）,P（k3,9

*7(1+1)2+42=24,AF=m+\

(7,220a220

CP=J(--l)+(y-4)=y

设AE-n,贝（JCE-2y/5-n,

・•・△ZMC是以RC为底的等腰三角形，

ZDAC=ZDCA

・・•APEF=ZCAB=ZEAF,ACEF=AEAF+ZAFE=APEF+乙CEP

ZCEP=ZAFE

XCEKf心AFE

A豆

=C-

牛

n

±

-

-290

即

9

一

附-

整

理20

55

-<-

4-4

当8点与e点重合时，尸与A