北师大版九年级上册数学期末考试试卷及答案解析

北师大版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）1．下列各点中，在函数y=-图象上的是（）A． B． C． D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么sinA的值是（）A． B． C． D．3．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A． B． C． D．4．如图，平行四边形ABCD中，EF∥BC，AE：EB=2：3，EF=4，则AD的长为（）A． B．8 C．10 D．165．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)6．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（）A．图象经过点(-1,-1) B．图象在第一、三象限C．当时， D．当时，y随着x的增大而增大7．若方程x2－3x－1＝0的两根为x1、x2，则＋的值为()A．3 B．－3 C． D．－8．如果，、分别对应、，且，那么下列等式一定成立的是（）A． B．的面积：的面积C．的度数：的度数 D．的周长：的周长9．如图，在长20米，宽12米的矩形ABCD空地中，修建4条宽度相等且都与矩形的各边垂直的小路，4条路围成的中间部分恰好是个正方形，且边长是路宽的2倍，小路的总面积是40平方米，若设小路的宽是x米，根据题意列方程，正确的是（）A．32x+2x2＝40 B．x（32+4x）＝40C．64x+4x2＝40 D．64x﹣4x2＝4010．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A． B． C． D．二、填空题11．将方程2x2=1-3x化为一般形式是______．12．如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么这两个三角形的相似比是______．13．某商品原售价300元，经过连续两次降价后售价为260元，设平均每次降价的百分率为x，则满足x的方程是______．14．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为______米．15．如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线y=在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是______．16．如图，点，是反比例函数图象上的两点，过点、分别作轴于点，轴于点，连接OA，．已知点，，，则______．三、解答题17．解方程：（1）（2）18．已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果一元二次方程x2-4x+k=0有一个根是3，求另一个根和k的值．19．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？20．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相较于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．21．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是米，坡面的倾斜角，在距点米处有一建筑物.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下处与建筑物之间需留下至少米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.（参考数据：，）22．在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．（1）求证：=；（2）若=3，∠CGF=90°，求的值．23．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，连接BE，DE，BF，DF．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）求证：CD2+3DE2是定值．24．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，求AE的长．25．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过线段AB的中点C．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线y＝﹣x+4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，交反比例函数y1＝（x＞0）的图象于点E，F，连接CE，CF，求△CEF的面积；（3）请结合图象，直接写出不等式y1＜y2的解集．参考答案1．C【解析】把各点代入解析式即可判断.【详解】A.∵(－2)×(－4)＝8≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B．∵2×3＝6≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C．∵(－1)×6＝－6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；D．∵×3＝－≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选C.【点睛】此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是将各点代入解析式.2．A【解析】根据题意画图：由题意得：

sinA=＝.故选A.3．B【详解】A、△=0-4×1×1=-4＜0，没有实数根；B、△=62-4×9×1=0，有两个相等的实数根；C、△=（-1）2-4×1×2=-7＜0，没有实数根；D、△=（-2）2-4×1×（-2）=12＞0，有两个不相等的实数根．故选B．4．C【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，可证明△AEF∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例可解得BC的长，而在▱ABCD中，AD=BC，问题得解．【详解】解：∵EF∥BC∴△AEF∽△ABC，∴EF：BC=AE：AB，∵AE：EB=2：3，∴AE：AB=2：5，∵EF=4，∴4：BC=2：5，∴BC=10，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=10．【点睛】本题考查(1)、相似三角形的判定与性质；(2)、平行四边形的性质．5．A【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．6．D【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解．【详解】解：A、x=-1，y==-1，∴图象经过点（-1，-1），正确；B、∵k=1＞0，∴图象在第一、三象限，正确；C、∵k=1＞0，∴图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时，0＜y＜1，正确；D、应为当x＜0时，y随着x的增大而减小，错误．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当k＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小．7．B【解析】由根与系数的关系得：x1+x2==3，x1•x2==-1．∴==-3．故选B．8．D【分析】相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方,对应角相等.【详解】根据相似三角形性质可得：A：BC和DE不是对应边，故错；B：面积比应该是，故错；C:对应角相等，故错；D：周长比等于相似比，故正确.故选：D【点睛】考核知识点：相似三角形性质.理解基本性质是关键.9．B【分析】设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为2x米，根据小路的横向总长度（20+2x）米和纵向总长度（12+2x）米，根据矩形的面积公式可得到方程．【详解】解：设道路宽为x米，则中间正方形的边长为2x米，

依题意，得：x(20+2x+12+2x)=40，

即x(32+4x)=40，

故选：B．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到该小路的总的长度，利用矩形的面积公式列出方程并解答．10．D【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．【详解】如图，在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴BD=2，连接DE，∵∠BDC=90°，点D是BC中点，∴DE=BE=CE=BC=2，∵∠DCB=30°，∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠BDE，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2，∴AB=3，∴，∴，∴DF=，故选D．【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．11．2x2+3x-1=0【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．【详解】解：方程2x2=1-3x化为一般形式是：2x2+3x-1=0．故答案是：2x2+3x-1=0．【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12．1：3【解析】【分析】由两个相似三角形的面积比是1：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，∴这两个三角形的相似比是：1：3．故答案为：1：3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握定理的应用是解此题的关键．13．．【分析】根据降价后的售价=降价前的售价×（1-平均每次降价的百分率），可得降价一次后的售价是，降价一次后的售价是，再根据经过连续两次降价后售价为260元即得方程．【详解】解：由题意可列方程为故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程，要注意增长的基础．14．26．【详解】试题解析：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2．4，AE=10米，AE⊥BD，∵i=，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．15．【解析】过点C作CE⊥x轴，垂足为E，设点C的坐标为（a，b）（a＞0），∵点C在双曲线上，∴ab=，又△OAB是等边三角形，∴∠BOA=60°，在Rt△OCE中，tan60°===，∴b=a，∴a=1，b=，∵点C是OB的中点，∴点B的坐标是（2，2）.16．5【分析】由，可求得CD的长，从而可得OD的长，即可得点D的坐标，再由点B在反比例函数的图象上，可求得k的值，根据k的几何意义，由此求得结果．【详解】∵，∴CD=3∵∴OC=2∴OD=OC+CD=2+3=5∴∵B点在反比例函数的图象上∴k=xy=5×2=10∴∴故答案为：5．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，图形的面积等知识，关键是求出A、B的坐标．17．（1），；（2），【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解的方法解一元二次方程即可.【详解】解：（1），（2），或，【点睛】本题主要考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.18．（1）k＜4；（2）1，k=3．【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得出△＞0，求出k的取值范围即可；（2）将x=3代入已知方程求得k的值，利用根与系数的关系直接得到方程的另一根．【详解】解：（1）∵一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=（-4）2-4k＞0，∴k＜4；（2）设一元二次方程x2-4x+k=0的另一根为a，由根与系数的关系得：a+3=4，则a=1．把x=3代入x2-4x+k=0，得32-4×3+k=0．解得k=3．综上所述，方程的另一根是1，k的值是3．【点睛】本题考查的是根与系数的关系及根的判别式，在解答此题时要熟知熟知一元二次方程y=ax2+bx+c中，①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②x1+x2=-，x1•x2=．19．销售单价为80元．【分析】设每件需涨价的钱数为x元，每天获利y元，则可求出利润y与降价x之间的方程，然后解出x，进而结合成本不超过10000元得出x的值．【详解】解：设每件需涨价x元，则销售价为（50+x）元．月销售利润为y元．由利润=（售价-进价）×销售量，可得8000=（50+x-40）×（500-10x），解得x1=10，x2=30．当x1=10时，销售价为60元，月销售量为400千克，则成本价为40×400=16000（元），超过了10000元，不合题意，舍去；当x2=30时，销售价为80元，月销售量为200千克，则成本价为40×200=8000（元），低于10000元，符合题意．答：销售单价为80元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每天的利润=一件的利润×销售量，进而建立等式是解题关键．20．（1）反比例函数的解析式为：y=，一次函数的解析式为：y=x+1；（2）﹣3＜x＜0或x＞2；（3）5．【分析】（1）根据点A位于反比例函数的图象上，利用待定系数法求出反比例函数解析式，将点B坐标代入反比例函数解析式，求出n的值，进而求出一次函数解析式（2）根据点A和点B的坐标及图象特点，即可求出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围（3）由点A和点B的坐标求得三角形以BC为底的高是10，从而求得三角形ABC的面积【详解】解：（1）∵点A（2，3）在y=的图象上，∴m=6，∴反比例函数的解析式为：y=，∴n==﹣2，∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）由图象可知﹣3＜x＜0或x＞2；（3）以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，∴S△ABC=×2×5=5．21．该建筑物需要拆除.【详解】分析：根据正切的定义分别求出AB、DB的长，结合图形求出DH，比较即可．详解：由题意得，米，米，在中，，∴，在中，，∴，∴（米），∵米米，∴该建筑物需要拆除.点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．22．（1）见解析；（2）=3．【解析】【分析】（1）根据GB∥CE即可得到△BHG∽△EHC，于是可得对应边成比例，即可得证；（2）根据Rt△BGC∽Rt△GCE，由边的关系可得CG2=GB•CE，再结合BC2+BG2=CG2，可得出CB与GB的关系，而AB=2CE=6BG，从而可求的值．【详解】解（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BG∥CE∴△BHG∽△EHC∴=即得证．（2）∵BG∥CE∴∠ECG=∠CGB，而∠CGE=∠GBC=90°，∴Rt△BGC∽Rt△GCE∴=∴CG2=GB•CE而由（1）知=3∴CE=3BG∴CG2=3BG2而由勾股定理可知CG2=CB2+BG2，于是可得3BG2=CB2+BG2∴CB=BG又∵E为CD的中点，∴AB=CD=2CE=6BG∴==3故的值为3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例进行计算转化是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）只需要证明△ABE≌CDF和△ADE≌CBF，即可得到BE=DF，ED=BF，从而得证；（2）设，，，过E作EM⊥AD于M，，再利用得到，即可得到，即可得到，再用勾股定理求出得到，最后利用勾股定理分别求出，从而得到，即可证明.【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD，AB∥CD∴∠BAE=∠DCF，又∵AE=CF∴△ABE≌CDF（SAS）∴BE=DF同理△ADE≌CBF（SAS）∴ED=BF∴四边形BEDF是平行四边形；（2）设，，，过E作EM⊥AD于M∵EM⊥AD，∴∵∴∴∴∴∴∵∴∴∴由勾股定理得：∴∴的值为定值【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.24．5．【分析】连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AEO，得到AO=CO，求出AO＝AC＝2，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．【详解】解；连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE＝OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB//CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△CFO与△AOE中，，∴△CFO≌△AEO（AAS