山东省济南市槐荫区兴济中学2024-2025学年上学期九年级段考数学试卷（10月份）

2024-2025学年山东省济南市槐荫区兴济中学九年级（上）段考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为(

)A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm2.如果，那么的值为(

)A. B. C. D.3.已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是(

)A. B. C. D.4.已知，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是(

)A. B. C. D.5.如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若，，，则BF的值是(

)A.14

B.15

C.16

D.176.如图，身高为米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得米，米，则树的高度为(

)A.3米

B.4米

C.米

D.6米7.如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：：2，连接AE交BD于点F，则与的面积之比为(

)

A.2：5 B.3：5 C.9：25 D.4：258.如图，，请你再添加一个条件，使得∽则下列选项不成立的是(

)A.

B.

C.

D.9.如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是、，那么：(

)A.9：8

B.4：3

C.2：1

D.、的大小关系不确定10.如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有下列结论：①；②∽；③；④；⑤若CE：：3，则BH：：其中正确的个数为(

)A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.若，则______.12.如图，为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，数学应用实践小组做了如下的探索实践：根据《物理学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图的测量方案：把镜子放在离树米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得米，观察者目高米，则树的高度为______米．13.如图，和位似，位似中心是原点O，B点坐标是，和的相似比为2：1，则点D的坐标为______.

14.已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是______.15.已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h应为______

16.如图，在中，，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC，BC上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为__________.

三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题6分

已知a：b：：5：7，且，求的值.18.本小题6分

如图，在中，点P在AB边上，若，，求AC的长．19.本小题6分

如图，O为原点，B，C两点坐标分别为，

以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形；

已知为内部一点，写出M的对应点的坐标.

20.本小题7分

已知：如图，是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，

求证：∽；

如果，，求DC的长．21.本小题7分

如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上.

求证：∽；

若这个矩形的边，则PN的长度.22.本小题8分

在中，，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上.

如图1，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，过点A作，交BE的延长线于点F，易得的值为______.

如图2，在中，，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，，求的值.23.本小题12分

在中，，，点D在斜边AB上，且满足，将线段DB绕点D逆时针旋转至DE，记旋转角为，连接AE，BE，以AE为斜边在其一侧作直角三角形AEF，且，，连接

如图1，当时，请直接写出线段BE与线段CF的数量关系；

当时，

①如图2，中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？诸说明理由；

②如图3，当B，E，F三点共线时，连接CE，判断的形状，并证明．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：根据题意得a：：d，即3：：d，

所以

故选：

利用比例线段的定理得到3：：d，然后利用比例的性质求d即可．

本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，如

a：：即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查比例的基本性质，根据比例关系设出未知数是解题关键．可设，，再代入计算即可．

【解答】

解：设，则，

3.【答案】D

【解析】解：点在双曲线上，

，

A、，不符合题意；

B、，不符合题意；

C、，不符合题意；

D、，符合题意；

故选：

只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是的，就在此函数图象上．

本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．4.【答案】C

【解析】解：反比例函数中，

函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．

，

点，位于第三象限，

，

，

点位于第一象限，

故选：

先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5.【答案】B

【解析】解：，

，

，，，

，

解得：，

，

故选：

根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出DF，进而求出

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例．标注字母，判断出和相似，再利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．

【解答】

解：如图，由题意得，∽，

，

即，

解得，

即树的高度为6米．

故选：7.【答案】C

【解析】解：四边形ABCD为平行四边形，

，

∽

：：2，

，

故选：

根据平行四边形的性质可得出，进而可得出∽，根据相似三角形的性质结合DE：：2，即可得出与的面积之比，此题得解．

本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．8.【答案】D

【解析】解：，

，

，

当添加条件时，则∽，故选项A不符合题意；

当添加条件时，则∽，故选项B不符合题意；

当添加条件时，则∽，故选项C不符合题意；

当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意；

故选：

根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得∽，本题得以解决．

本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答．9.【答案】A

【解析】解：图形中相关的顶点记作如图所示，

设正方形EFGH的边长为a，

是正方形ABCD的对角线，

，

四边形EFGH是正方形，

，，

，

，

同理：，

，

设正方形BMNP的边长为b，

四边形BMNP是正方形，

，，

，

，

根据勾股定理得，，

同理：，

，

，

，

，

故选：

设出正方形EFGH的边长为a，先判断出，得出，设正方形BMNP的边长为b，同样的方法得出，得出a，b的关系，即可得出结论．

此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，找出a，b的关系是解本题的关键．10.【答案】C

【解析】解：①正方形ABCD和正方形BGEF，

和都是等腰直角三角形，

，

；

①正确，符合题意；

②和都是等腰直角三角形，

，

又，

∽，

②正确，符合题意；

③∽，

，

；

③正确，符合题意；

④，

，

∽，

，

，

，

，

④正确，符合题意；

⑤：：3，

设，，

，

在中，

由勾股定理知：，

，

，

，

，

：：15，

⑤错误，不符合题意；

故选：

①由，可知；

②根据和都是等腰直角三角形，可得，从而得到∽；

③由②相似知：，可得；

④由，可证∽，根据对应边成比例即可；

⑤若CE：：3，设，，则，由勾股定理知，借助④的证明即可解答．

本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键．11.【答案】

【解析】解：，

，

故，

则

故答案为：

直接利用已知将原式变形进而得出x，y之间的关系进而得出答案．

此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．12.【答案】6

【解析】解：，，，

∽，

，

又，，，

，

故答案为

因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，利用相似比即可求出．

本题考查了相似三角形的应用，关键要找准对应线段，要和物理知识相联系，知道入射光线和反射光线与镜面的夹角相等．13.【答案】

【解析】解：和位似，位似中心是原点O，和的相似比为2：1，B点坐标是，

点D的坐标为：即

故答案为：

直接利用位似图形的性质得出对应点坐标．

此题主要考查了位似中的坐标变化，正确掌握位似图形的性质是解题关键．14.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，，反比例函数图象在第一、三象限；，反比例函数图象在第二、四象限内．

根据反比例函数的性质解答即可．

【解答】

解：反比例函数的图象在第二、四象限内，

，

故答案为15.【答案】

【解析】解：根据题意得：

易证∽，

：：15

答案：球拍击球的高度h应为

利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树球拍击球的高度h即可．

本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树球拍击球的高度h，体现了方程的思想．16.【答案】16

【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．

由题意得：、，是直角三角形，四边形DEGC是矩形，，，，，，证明∽，得出，求出，证明≌，得出，再由三角形面积公式即可得出答案．

【解答】

解：设立方体展开图的各顶点如图所示，由题意得、，是直角三角形，四边形DEGC是矩形，，，，，，

，，

∽，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

故答案为：17.【答案】解：：b：：5：7，

设，，，

，

，

【解析】根据比例设，，，然后代入等式求出k的值，从而得到a、b、c的值，然后相加计算即可得解．

本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便．18.【答案】解：，，

∽，

，

即，

【解析】由及，可证出∽，利用相似三角形的性质，可求出AC的长．

本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明∽19.【答案】解：如图，即为所求．

由图可得，点的对应点的坐标为

【解析】根据位似的性质作图即可．

观察点的变化规律可得答案．

本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．20.【答案】证明：是等边三角形，

，

，，

∽；

由证得∽，

，

设，则，

，

，，

或

【解析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质有关知识.

是等边三角形，得到，，推出，得到∽；

由∽，得到，然后代入数值求得结果.21.【答案】证明：四边形PQMN是矩形，

，即，

∽；

解：，

设，，

设AD与PQ的交点为点E，

，AD是高，

，即AE是的高，

在矩形PQMN中，，

四边形PNDE是矩形，

，

∽，

，即，

，

，

，

，

【解析】根据矩形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．

设，，设AD与PQ的交点为点E，可得AE是的高，证明四边形PNDE是矩形，得到，从而，根据相似三角形的性质得到，代入即可求解．

本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比．22.【答案】

【解析】解：如图1中，，

，

，，

≌，

设，则，，

，

∽，

故答案为：；

如图：过点A作，交BE的延长线于点F，

设，则，

是AC中点，

，

在和中，

，

≌，

，

，

∽，

先证≌，则有设，则，，由可得∽，然后根据相似三角形的性质求解即可；

如图：过点A作，交BE的延长线于点F，设，由得，易证≌，则有，易证∽，然后根据相似三角形的性质求解即可．

本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平行线构造全等三角形是解题的关键．23.【答案】解：；

①结论仍然成立，理由如下：

，

，

又，

，

，

；

②是等边三角形，

理