高考试题卷解析-1998年试题

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)选择题:本大题共15小题;第(1)(10)题每小题4分,第(11)(15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N为(A)｛x│0≤x<1｝ (B)｛x│0≤x<2｝(C)｛x│0≤x≤1｝ (D)｛x│0≤x≤2｝[Key]B(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a为[Key]B(3)函数在一个周期内的图象是[Key]A(4)已知三棱锥D-ABC的三个则面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是[Key]C（5）函数的最小正周期是[Key]B(6)满足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范围是[Key]D(7)将y=2x的图象(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位(C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象.[Key]D(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是[Key]C(9)曲线的参数方程（t是参数，t≠0）,它的普通方程是[Key]B(10)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为[Key]B(11)椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是(A)(B)(C)(D)[Key]A(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是[Key]D(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a),其中成立的是(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④[Key]C（14）不等式组的解集是[Key]C(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有(A)150种 (B)147种 (C)144种 (D)141种[Key]D(16)已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为_________.[Key]4(17)已知直线的极坐标方程则极点到该直线的距离是_______。[Key](18)的值为__________[Key](19)已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题:①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α;②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;③若mα,lβ,且l⊥m,则α⊥β;④若lβ,且l⊥α,则α⊥β;⑤若mα,lβ,且α∥β,则m∥l.其中正确的命题的序号是___________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)[Key]①④(20)已知复数平面上所对应的点分别为P、Q，证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）[Key]本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力.满分10分.解法一：------2分于是由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三解形解法二:由此得OP⊥OQ,│OP│=│OQ│.由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.---10分(21)(本小题满分11分)已知数列｛an｝,｛bn｝都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p>q,且p≠1,q≠1.设cn=an+bn,sn为数列｛cn｝的前n项和.求[Key]本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.满分11分.解:,分两种情况讨论.(Ⅰ)p>1.=p. -------------7分(Ⅱ)p<1.∵ 0<q<p<1, -------11分(22)(本小题满分12分)甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.(Ⅰ)全程运输成本把y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?[Key]本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分.（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s/v，全程运输成本为 -------------4分故所求函数及其定义域为.. -------------5分(Ⅱ)依题意知S,a,b,v都为正数,故有因为c-v≥0,且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,也即当v=c时,全程运输成本y最小.(23)(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.(Ⅰ)证明AD⊥D1F;(Ⅱ)求AE与D1F所成的角;(Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1;[Key]本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间想象能力,满分12分.解:(Ⅰ)∵AC1是正方体,∴AD⊥面DC1.又D1F面DC1,∴AD⊥D1F. -------------2分(Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角. -------------5分(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1. -------------7分(Ⅳ)连结GE,GD1.∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1,∵AA1=2,面积S△A1GE=S□ABB1A1-2S△A1AG--S△GBE=(24)(本小题满分12分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足(Ⅰ)当x∈(0,x1)时,证明x<f(x)<x1;.[Key]本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x.因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以F(x)=a(x-x1)(x-x2). ------------2分当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,得(xx1)(xx2)0,又a0,得F(x)=a(xx1)(xx2)0,即x<f(x). ------------4分所以x1x>0,1+a(xx2)=1+axax2>1ax2>0.得 x1-f(x)>0.由此得f(x)<x1. ------------7分(Ⅱ)依题意知因为x1,x2是方程f(x)x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根.,因为ax2<1,所以-----------12分(25)(本小题满分12分)设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线ι:x-2y=0的距离最小的圆的方程.[Key]本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.解法一:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.由题设圆P截X轴所得劣弧对的圆心角为，，知圆P截X轴的弦长为，故r2=2b2 ------------2分又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1. -------------5分又点P(a,b)到直线x2y=0的距离为 -------------7分所以5d2=│a-2b│2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.-------------10分由此有解此方程组得由于r2=2b2知于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. -------------12分解法二:同解法一得 将a2=2b2-1代入①式,整理得 ②把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别