35函数的凹凸性曲线的拐点及渐近线

3.5函数的凹凸性、拐点及渐近线一、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的渐近线一、曲线的凹凸性与拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上弧段总是位于任意切线的下方……凸弧图形上弧段总是位于任意切线的上方……凹弧1、定义设连续曲线弧AB方程y=f(x)，a<x<b,弧AB上除端点外的每一点处的切线都存在，如果曲线弧总是位于任一切线的上（下）方，则称曲线弧AB是向上凹的或称凹弧（向上凸的，或称凸弧），记为“∪”(“∩”)。

分析：2、定理（曲线凹凸性判定定理）设f(x)在(a,b)内具有二阶导数，若在(a,b)内f"(x)＞0(或<0)，则曲线y=f(x)在(a,b)上的为凹弧（或凸弧）；例1判定曲线弧y=xarctanx的凹凸性.解故y=xarctanx

在(-∞,+∞)内为凹弧.因此当x<0时，，可知曲线弧为凸弧.当x>0时，，可知曲线弧为凹的.例2判定曲线弧y=x3的凹凸性.解注意到2、拐点及其判定判定步骤：定义连续曲线弧上的凹弧与凸弧的分界点，称为该曲线弧的拐点.(1)在f(x)所定义的区间内，求出二阶导数f"(x)=0的点.(2)求出二阶导数f"(x)不存在的点.判定上述点两侧，f"(x)是否异号.如果f"(x)

在xi的两侧异号，则(xi,f(xi))为曲线弧的y=f(x)的拐点.如果f"(x)在xi的两侧同号，则(xi,f(xi))不为曲线弧y=f(x)的拐点.例3解凹的凸的凹的拐点拐点例5解例4曲线y=x4是否有拐点？所以x=0是不可导点，y´,y"均不存在但在(-∞,0)内，y"＞0,曲线在(-∞,0]上是凹弧；在(0,+∞)内，y"<

0,曲线在[0,+∞)上是凸弧。例6讨论曲线的凹凸性，并求其拐点.解函数的定义域为(-∞,+∞)当时凹+非拐点凹拐点凸y不存在+0－可知所给曲线在为凸弧.在内为凹弧.讨论曲线弧的凹凸性，并求其拐点.x1(1,2)2+0－0+y凹拐点(1,－3)凸拐点(2,6)凹练习1所给函数内连续.解可知所给曲线弧在内为凹的.在(1,2)为凸的.拐点为点(1,－3)与点(2,6).练习21、若点（1,2)是曲线的拐点，则2、曲线的拐点是

。3、曲线的凹区间是

，凸区间是

,拐点是

。

1-3（0,0）二、曲线的渐近线1、曲线的水平渐近线若，则直线y=y0是曲线y=f(x)的水平渐近线.所以曲线y=arctanx有水平渐近线因为，所以曲线有水平渐近线y=02、曲线的垂直渐近线若，则直线x=x0是曲线y=f(x)的垂直渐近线.所以曲线有垂直渐近线x=-1,x=13.曲线的斜渐近线若，则直线y=ax+b是曲线y=f(x)的斜渐近线.例7求曲线的斜渐近线.解：因为又因为所以b=-2,所以直线y=x-2是曲线的斜渐近线.三、函数图形的描绘步骤:1)确定函数的定义域，考察函数的奇偶性和周期性；2)求出f´(x)和f"(x)，解出f´(x)=0和f"(x)=0在定义域内的全部实根及使f´(x)和f"(x)不存在的点，用这些点将定义域分成各部分区间；3)列表考察各部分区间内f´(x)和f"(x)的符号，确定函数的单调性和极值，曲线的凹凸性和拐点；4)确定曲线的水平渐近线和垂直渐近性，及辅助点；5)用光滑的曲线描绘出函数图形。3）列表确定函数及曲线的特性例8描绘函数的图形3）列表确定函数及曲线的特性4)求渐近线5）辅助点小结曲线的弯曲方向——凹凸性;