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文档简介
3.5函数的凹凸性、拐点及渐近线一、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的渐近线一、曲线的凹凸性与拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上弧段总是位于任意切线的下方……凸弧图形上弧段总是位于任意切线的上方……凹弧1、定义设连续曲线弧AB方程y=f(x),a<x<b,弧AB上除端点外的每一点处的切线都存在,如果曲线弧总是位于任一切线的上(下)方,则称曲线弧AB是向上凹的或称凹弧(向上凸的,或称凸弧),记为“∪”(“∩”)。
分析:2、定理(曲线凹凸性判定定理)设f(x)在(a,b)内具有二阶导数,若在(a,b)内f"(x)>0(或<0),则曲线y=f(x)在(a,b)上的为凹弧(或凸弧);例1判定曲线弧y=xarctanx的凹凸性.解故y=xarctanx
在(-∞,+∞)内为凹弧.因此当x<0时,,可知曲线弧为凸弧.当x>0时,,可知曲线弧为凹的.例2判定曲线弧y=x3的凹凸性.解注意到2、拐点及其判定判定步骤:定义连续曲线弧上的凹弧与凸弧的分界点,称为该曲线弧的拐点.(1)在f(x)所定义的区间内,求出二阶导数f"(x)=0的点.(2)求出二阶导数f"(x)不存在的点.判定上述点两侧,f"(x)是否异号.如果f"(x)
在xi的两侧异号,则(xi,f(xi))为曲线弧的y=f(x)的拐点.如果f"(x)在xi的两侧同号,则(xi,f(xi))不为曲线弧y=f(x)的拐点.例3解凹的凸的凹的拐点拐点例5解例4曲线y=x4是否有拐点?所以x=0是不可导点,y´,y"均不存在但在(-∞,0)内,y">0,曲线在(-∞,0]上是凹弧;在(0,+∞)内,y"<
0,曲线在[0,+∞)上是凸弧。例6讨论曲线的凹凸性,并求其拐点.解函数的定义域为(-∞,+∞)当时凹+非拐点凹拐点凸y不存在+0-可知所给曲线在为凸弧.在内为凹弧.讨论曲线弧的凹凸性,并求其拐点.x1(1,2)2+0-0+y凹拐点(1,-3)凸拐点(2,6)凹练习1所给函数内连续.解可知所给曲线弧在内为凹的.在(1,2)为凸的.拐点为点(1,-3)与点(2,6).练习21、若点(1,2)是曲线的拐点,则2、曲线的拐点是
。3、曲线的凹区间是
,凸区间是
,拐点是
。
1-3(0,0)二、曲线的渐近线1、曲线的水平渐近线若,则直线y=y0是曲线y=f(x)的水平渐近线.所以曲线y=arctanx有水平渐近线因为,所以曲线有水平渐近线y=02、曲线的垂直渐近线若,则直线x=x0是曲线y=f(x)的垂直渐近线.所以曲线有垂直渐近线x=-1,x=13.曲线的斜渐近线若,则直线y=ax+b是曲线y=f(x)的斜渐近线.例7求曲线的斜渐近线.解:因为又因为所以b=-2,所以直线y=x-2是曲线的斜渐近线.三、函数图形的描绘步骤:1)确定函数的定义域,考察函数的奇偶性和周期性;2)求出f´(x)和f"(x),解出f´(x)=0和f"(x)=0在定义域内的全部实根及使f´(x)和f"(x)不存在的点,用这些点将定义域分成各部分区间;3)列表考察各部分区间内f´(x)和f"(x)的符号,确定函数的单调性和极值,曲线的凹凸性和拐点;4)确定曲线的水平渐近线和垂直渐近性,及辅助点;5)用光滑的曲线描绘出函数图形。3)列表确定函数及曲线的特性例8描绘函数的图形3)列表确定函数及曲线的特性4)求渐近线5)辅助点小结曲线的弯曲方向——凹凸性;
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