山东省新泰市弘文中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

新泰市弘文中学2024—2025学年开学考高三年级数学试卷

一、选择题1．已知直线过定点P,则点P到直线距离的最大值是()A.1 B.2 C. D.2．曲线与x轴围成区域的面积为()A. B. C. D.3．定义在上的函数的导函数为,若,且,则不等式的解集为()A. B. C. D.4．已知双曲线的左焦点为,为坐标原点,若在的右支上存在关于轴对称的两点P,Q,使得为正三角形,且,则C的离心率为()A. B. C. D.5．已知为函数的零点,则()A.1 B.2 C.3 D.46．已知函数及其导函数在定义域均为R且是偶函数,其函数图象为不间断曲线且,则不等式的解集为()A. B. C. D.7．过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于A,B两点,且,,O是坐标原点,则双曲线的离心率是()A.2 B. C. D.38．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是()A. B. C. D.二、多项选择题9．下列求导运算正确的是()A. B.C. D.10．若存在实数b使得方程有四个不等的实根,则mn的值可能为()A. B.2025 C.0 D.-611．已知双曲线，过原点的直线，分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是()A.四边形一定是平行四边形 B.四边形可能为菱形C.的中点可能为 D.的值可能为三、填空题12．已知是公差为2的等差数列，且，则________.13．过直线和的交点,且与直线垂直的直线方程是__________.四、双空题14．已知直线，则直线定点坐标为_____，点到直线l的距离的取值范围_____五、解答题15．分别根据下列条件求圆的标准方程：(1)圆心为，且与x轴相切；(2)过三点,,.16．分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点，且与椭圆有相同的焦点．(2)经过两点，．17．已知是各项均为正数的等比数列,,.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前n项和.18．已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点.从①直线相切；②圆关于直线对称.这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题.(1)求圆A的方程；(2)当时，求直线l的方程.19．设双曲线（，）的实轴长为，焦点到渐近线的距离为.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标.

参考答案1．答案：D解析：由题意知,直线恒过定点,直线恒过定点,如图所示,过作的垂线段PH,垂足为H,那么必有,当且仅当Q与H重合时取等号,从而PH的最大值为,即点P到直线距离的最大值是.故选:D.2．答案：B解析：曲线的方程化为,即,所以这条曲线与x轴围成的区域是一个半径的半圆,其面积为.故选：B.3．答案：B解析：依题意,令,求导得,则在上单调递减,由,得,不等式,则或,即或,解得或,所以不等式的解集为.故选:B4．答案：D解析：设双曲线的焦距为,右焦点为,直线交于点M,连接,因为为正三角形,,所以M为的中点,所以,故,易知,所以,,由双曲线的定义知,即,得.故选：D.5．答案：B解析：由得,即,即,因为,所以,所以为方程的根,令,则,所以在上单调递增,又,所以,即,即,故选：B.6．答案：C解析：由,得则当时,得,,则当时,,得函数在上单调递增,因为,所以,由于是偶函数,则,而函数在上单调递增,得,得,得,故选:C.7．答案：A解析：由,得双曲线的一条渐近线的倾斜角为,所以,又,得,所以.8．答案：A解析：将曲线整理可得,,因此曲线表示的是以为圆心，半径为2的下半圆，若直线与曲线有公共点，如下图所示：当直线在直线m的位置，即时，直线与曲线有一个公共点；当直线在直线n的位置，即直线与曲线相切，此时，解得，（舍）；只有直线位于两直线m,n之间时，满足题意，即.故选：A9．答案：CD解析：对于A选项,,A错误;对于B选项,,B错误;对于C选项,,C正确;对于D选项,,D正确.故选:CD.10．答案：AD解析：令,则,令,且该函数至少存在三个变号零点,且,当时,在,上,,即递增,在上,,即递减,若,则,知至多有一个变号零点;故;当时,在,上,,即递增,在上,,即递减,若,则,知至多有一个变号零点;故;当时,,即在定义域上递增,此时,至多有一个变号零点,不符合题意;综上,只能为负数.故选：AD11．答案：AD解析：由双曲线的中心对称性可知，点A，B分别关于原点与C，D对称，故，，所以四边形一定是平行四边形，而直线，斜率之积为，则与不垂直，所以四边形不可能为菱形，A正确，B错误；设，，则，，两式作差得，若的中点为，可得，代入上式，求得，故的方程为，联立方程组，整理得，可得,，则，此时，故C错误；当点A位于第一象限，点B位于第二象限，设直线的斜率为k，则直线的斜率为，结合双曲线渐近线，易知，，可得，又因为，所以的取值范围为；当点A位于第四象限，点B位于第一象限，同理，可得的取值范围为.综上的取值范围为，所以D正确.故选：AD.12．答案：24解析：是公差为2的等差数列，则，解得，故.故答案为：24.13．答案：解析：联立,解得,故直线的交点坐标为,设与直线垂直的直线方程是.将交点的坐标代入该方程,得,解得.所以所求直线方程为.故答案为:14．答案：；解析：直线，当时，，所以定点坐标为.当直线l过P时，距离为0，当直线l与垂直时，距离最大，且最大值为，所以点到直线l的距离的取值范围是.故答案为：；.15．答案：(1)；(2)解析：（1）因为圆与x轴相切，且圆心为，所以圆的半径为，所以以为圆心，为半径的圆的标准方程为.（2）不妨设圆的方程为，由题意将，，代入圆的方程得，解方程组得，，，所以过三点，，的圆的方程为，将其化为标准形式得.16．答案：(1)(2)解析：(1)因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且．设所求椭圆的标准方程为．因为所求椭圆过点，所以有①又，②由①②解得．故所求椭圆的标准方程为．(2)设椭圆方程为，且，在椭圆上，所以，则椭圆方程.17．答案：(1);(2).解析：(1)因为数列是各项均为正数的等比数列,,,所以令数列的公比为q,,,所以,解得(舍去)或4,所以数列是首项为2、公比为4的等比数列,.(2)因为,所以,,,所以数列是首项为1、公差为2的等差数列,.18．答案：(1)；(2)或解析：（1）选①：因为圆A与直线相切，所以圆A的半径为，因此圆A的方程为；选②：因为圆A与圆关于直线对称，所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为，所以圆A的方程为.（2）两种选择圆A的方程都是，当过点的动直线l不存在斜率时，直线方程为，把代入中，得，显然，符合题意，当过点的动直线l存在斜率时，设为k，直线方程为，圆心到该直线的距离为：，因为