山东省新泰市紫光实验中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

新泰市紫光实验中学2024年开学检测高二数学试题

一、选择题(共40分)1．(5分)已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，下列说法正确的是()A.若，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则2．(5分)已知两个单位向量，的夹角为，则()A. B.3 C. D.53．(5分)平行六面体中，底面为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为()A.0 B. C. D.4．(5分)已知矩形ABCD的长,宽.点P在线段BD上运动（不与B,D两点重合）,则的取值范围是()A. B. C. D.5．(5分)已知非零向量，满足：向量与向量垂直，且向量与向量垂直，则与的夹角为()A. B. C. D.6．(5分)如图，在中，E是的中点，,,与交于点M，则()A. B. C. D.7．(5分)已知向量,，若，则()A. B. C. D.8．(5分)如图，在长方体中，，，，，，则直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.二、多项选择题(共18分)9．(6分)已知非零向量,,,则下列结论正确的是()A.若,则 B.若则C.若,则 D.向量与向量垂直10．(6分)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则()A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为C. D.的面积为11．(6分)中,角A,B,C所对的边为a,b,c下列叙述正确的是()A.若,则一定是锐角三角形B.若,则一定是等边三角形C.若,则D.若,则三、填空题(共10分)12．(5分)若向量,,且,则________.13．(5分)已知三棱锥的体积为6，M是空间中一点，，则三棱锥的体积是________.四、双空题(共5分)14．(5分)已知球的半径为3,则该球的表面积等于____________,则该球的体积等于_________.五、解答题(共77分)15．(13分)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(1)求角B的大小；(2)若，，求的面积.16．(15分)如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,,,,.（1）求证:平面PAB.（2）在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.17．(15分)如图，等腰梯形ABCD中，，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且.(1)证明：面面ACD；(2)若M为PD上的一点，点P到面ACM的距离为，求的值及平面MAC和平面DAC夹角的余弦值.18．(17分)如图，四棱锥中，底面，，，.（1）若，证明：平面PBC；（2）若，且二面角的正弦值为，求AD.19．(17分)如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，M为棱PC的中点.（1）证明：平面PAD；（2）若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由.

参考答案1．答案：D解析：对于A，若，，，则或者l,m异面，故A错误，对于B，若，，且l与，的交线垂直，才有，否则l与不一定垂直，故B错误，对于C，若，，则或者，故C错误，对于D，若，，则，D正确，故选：D2．答案：A解析：因为两个单位向量，的夹角为，所以，所以.故选：A3．答案：A解析：由题意，，，又，，所以，即有，故选：A.4．答案：A解析：由题意得,点P在线段BD上,设,,,且.以A为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示,则,,,,则,由,故,所以,由于,所以.故选:A.5．答案：C解析：因为向量与向量垂直，所以，所以，因为向量与向量垂直，所以，所以，所以，即，所以，又，所以，即与的夹角为.故选：C6．答案：A解析：在中，设，由，可得，故.又E是的中点，，所以,，所以.由点E,M,F三点共线，可得，解得，故.故选：A.7．答案：D解析：因为，，所以，，由可得，，即，整理得：.故选：D.8．答案：B解析：取上靠近的三等分点F，取上三等分点H,E，连接，，，，，，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，所以直线与所成角即为直线与所成角，，由正方体的性质可得：平面，平面，所以平面，所以，，，，，在中，，所以直线与所成角的余弦值为.故选：B.9．答案：ABD解析：对于选项A,因为为非零向量,若,则,故,所以选项A正确,对于选项B,若,故,所以选项В正确,对于选项C,若,则,得到,不能确定,所以选项C错误,对于选项D,,故,所以选项D正确,故选：ABD.10．答案：AC解析：对于A，依题意，圆锥母线长，，，所以底面圆的半径，圆锥的体积为，故A正确；对于B，该圆锥的侧面积为；故B错误；对于C，如图，取AC的中点M，连接PM，OM，则，又因为，所以，故为二面角的平面角，即，所以，即，所以，故C正确；对于D，由选项C可知，，，，所以的面积为，故D错误.故选AC.11．答案：BC解析：对于A选项,在中,因为,又,所以,即C为锐角,但题中没有告诉C最大,所以不一定是锐角三角形,故A错误;对于B选项,,由正弦定理得,整理得,即,一定是等边三角形,故B正确;对于C选项,因为,在单调递减,所以,故C正确;对于D选项,由,得,所以,由余弦定理可得,,当且仅当时,等号成立,则当,时,,即角可以大于,故D错误;故选:BC.12．答案：/解析：因为,所以,解得.故答案为:13．答案：4解析：，故，，不妨令，则，又，故点H，A，B，C共面，故.故答案为：4.14．答案：;解析：因为球的半径为3,所以球的表面积为,体积为.故答案为：,.15．答案：(1)；(2)或解析：（1）方法一即得：方法二：得即得：（2）由余弦定理得：.得：或或.方法二：由正弦定理：或或.16．答案：（1）证明见解析;（2）存在,的值为.解析：（1）因为平面平面ABCD,且平面平面,,平面ABCD,所以平面PAD,因为平面PAD,所以,又因为,,所以平面PAB.（2）假设在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD,取AD中点O,连接OC,OP,如下图:因为,,所以,,从而,故平面PAD,又因为平面平面ABCD,且平面平面,所以平面ABCD,以O为坐标原点,OC,OA,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如下图:由题意可知,,,,,设,因为点M在棱PA上,故,,所以,故,设平面PCD的法向量为,故,令,则,,从而平面PCD的法向量可以取,因为平面PCD,所以,解得,,故假设成立,存在这样的点M,使得平面PCD,此时,即,从而.17．答案：(1)答案见解析；(2)，解析：(1)如图所示，在梯形ABCD中，取AD中点N，连接CN，易知四边形ABCN为平行四边形，可得，即，又，平面PAC，所以平面，因为平面，所以面面；(2)取AC的中点O，则，因为，所以，结合(1)的结论，可以以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，即，设面ACM的一个法向量为，则有，令，即，则点P到面ACM的距离为，即；易知平面ACD的一个法向量可为，设平面MAC和平面DAC夹角为，易知,所以.18．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：由于底面，底面，，又，，平面，平面PAB，又平面，.，，，平面，平面，平面PBC.（2）由题意知DC，AD，AP两两垂直，以D为坐标原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，则，，，，，.设平面CPD的法向量为，则，即，可取.设平面ACP的法向量为，则，即，可取.二面角的正弦值为，余弦值的绝对值为，故，又，，即.19．答案：（1）证明见解析（2）（i）；（ii）存在，解析：（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：为棱PC的中点，，，，，，，四边形ABMN是平行四边形，，又平面PAD，平面PAD，平面PAD.（2），，，，，平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，平面ABCD，又AD，平面ABCD，，而，，以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直