2024-2025学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2第2课时基本不等式与最大值最小值学案含解析新人教A版必修第一册

PAGE其次课时基本不等式与最大值、最小值内容标准学科素养1.娴熟驾驭基本不等式及变形的应用．逻辑推理、数学运算、数学建模2.会用基本不等式解决简洁的最大(小)值问题．3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.授课提示：对应学生用书第22页[教材提炼]学问点基本不等式求最大值、最小值eq\a\vs4\al(预习教材，思索问题)(1)当x＞0，y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是几？(2)当x＞0，y＞0，x＋y＝1，xy的最大值是几？学问梳理(1)用基本不等式求最值．①设x，y为正实数，若x＋y＝s(s为定值)，则当x＝y＝eq\f(s,2)时，积xy有最大值为eq\f(s2,4).②设x，y为正实数，若xy＝p(p为定值)，则当x＝y＝eq\r(p)时，和x＋y有最小值为2eq\r(p).(2)基本不等式求最值的条件①x，y必需是正数．②求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．③等号成立的条件是否满意．[自主检测]1．x2＋y2＝4，则xy的最大值是()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．4答案：C2．已知－1≤x≤1，则1－x2的最大值为________．答案：13．当x＞1时，x＋eq\f(1,x－1)的最小值为________．答案：3授课提示：对应学生用书第22页探究一用基本不等式求最值[例1][教材P45例1探究拓展](1)若x＞0，求函数y＝x＋eq\f(4,x)的最小值，并求此时x的值；[解析]∵x＞0.∴x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4当且仅当x＝eq\f(4,x)，即x2＝4，x＝2时取等号．∴函数y＝x＋eq\f(4,x)(x＞0)在x＝2时取得最小值4.(2)设0＜x＜eq\f(3,2)，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；[解析]∵0＜x＜eq\f(3,2)，∴3－2x＞0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq\f(9,2).当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq\f(3,4)时，等号成立．∵eq\f(3,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，∴函数y＝4x(3－2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2)))的最大值为eq\f(9,2).(3)已知x＞2，求x＋eq\f(4,x－2)的最小值；[解析]∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋eq\f(4,x－2)＝x－2＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6，当且仅当x－2＝eq\f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立．∴x＋eq\f(4,x－2)的最小值为6.(4)已知x＞0，y＞0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．[解析]∵x＞0，y＞0，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋10≥2eq\r(\f(y,x)·\f(9x,y))＋10＝6＋10＝16，当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.应用基本不等式的常用技巧(1)常值代替这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值”和“已知eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型．(2)构造不等式当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用基本不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围．(3)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应比照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值．解析：∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(2x＋y,x)＋eq\f(2x＋y,y)＝3＋eq\f(y,x)＋eq\f(2x,y)≥3＋2eq\r(\f(y,x)·\f(2x,y))＝3＋2eq\r(2)，当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(2x,y)，即y＝eq\r(2)x时，等号成立，解得x＝1－eq\f(\r(2),2)，y＝eq\r(2)－1，∴当x＝1－eq\f(\r(2),2)，y＝eq\r(2)－1时，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)有最小值3＋2eq\r(2).探究二基本不等式的实际应用[例2]如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”．在某马路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有阅历公式：s＝eq\f(3,40)v2＋eq\f(5,8)v.为保证平安行驶，要求在这条马路上行驶着的两车之间保持的“平安距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条马路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“平安距离”．(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式；(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？[解析](1)T＝eq\f(s＋25＋5,v)＝eq\f(\f(3v2,40)＋\f(5v,8)＋30,v)＝eq\f(3v,40)＋eq\f(30,v)＋eq\f(5,8).(2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小．∵T＝eq\f(3v,40)＋eq\f(30,v)＋eq\f(5,8)≥2eq\r(\f(30,v)·\f(3v,40))＋eq\f(5,8)＝eq\f(29,8)，当且仅当eq\f(3v,40)＝eq\f(30,v)，即v＝20时取等号．∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大．利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．某公司一年须要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货．每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未运用的元件要付库存费，假设平均库存量为eq\f(1,2)x件，每个元件的库存费为每年2元，假如不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？解析：设每年购进8000个元件的总花费为S，一年总库存费用为E，手续费为H，每年分n次进货，则x＝eq\f(8000,n)，E＝2×eq\f(1,2)×eq\f(8000,n)，H＝500n.所以S＝E＋H＝2×eq\f(1,2)×eq\f(8000,n)＋500n＝eq\f(8000,n)＋500n＝500eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,n)＋n))≥4000.当且仅当eq\f(16,n)＝n，即n＝4时总费用最少，故以每年进货4次为宜．授课提示：对应学生用书第23页一、用基本不等式求最值的策略eq\x(►逻辑推理、数学运算)1．配凑以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，依据代数式的结构特征，利用系数的改变或对常数的调整进行奇妙变形，留意做到等价变形．一般地，形如f(x)＝ax＋b＋eq\f(e,cx＋d)的函数求最值时可以考虑配凑法．[典例]函数y＝eq\f(x2,x＋1)(x＞－1)的最小值为________．[解析]因为y＝eq\f(x2－1＋1,x＋1)＝x－1＋eq\f(1,x＋1)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－2，因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以y≥2eq\r(1)－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立．[答案]02．常值代换利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知ax＋by(或eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))为定值，求cx＋dy(或eq\f(c,x)＋eq\f(d,y))的最值(其中a，b，c，d均为常参数)”时可用常值代换处理．[典例]若正数x，y满意3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是()A．2 B．3C．4 D．5[解析]由3x＋y＝5xy，得eq\f(3x＋y,xy)＝eq\f(3,y)＋eq\f(1,x)＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·eq\f(1,5)(eq\f(3,y)＋eq\f(1,x))＝eq\f(1,5)(4＋9＋eq\f(3y,x)＋eq\f(12x,y))≥eq\f(1,5)(4＋9＋2eq\r(36))＝5，当且仅当eq\f(3y,x)＝eq\f(12x,y)，即y＝2x时，等号成立，故4x＋3y的最小值为5.[答案]D3．探究通过换元法使得问题的求解得到简化，从而将困难问题化为熟识的最值问题处理，然后利用常值代换及基本不等式求最值．[典例]设x，y是正实数，且x＋y＝1，则eq\f(x2,x＋2)＋eq\f(y2,y＋1)的最小值为________．[解析]令x＋2＝m，y＋1＝n，则m＋n＝4，且m＞2，n＞1，所以eq\f(x2,x＋2)＋eq\f(y2,y＋1)＝eq\f(m－22,m)＋eq\f(n－12,n)＝eq\f(4,m)＋eq\f(1,n)－2＝(eq\f(4,m)＋eq\f(1,n))(eq\f(m,4)＋eq\f(n,4))－2＝eq\f(m,4n)＋eq\f(n,m)－eq\f(3,4)≥2eq\r(\f(m,4n)·\f(n,m))－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,4n)＝\f(n,m)，,m＋n＝4))即m＝eq\f(8,3)，n＝eq\f(4,3)时取等号．所以eq\f(x2,x＋2)＋eq\f(y2,y＋1)的最小值为eq\f(1,4).[答案]eq\f(1,4)4．减元当题中出现了三个变元，我们要利用题中所给的条件构建不等关系，并减元，在减元后应留意新元的取值范围．[典例]已知x，y，z均为正实数，且x－2y＋3z＝0，则eq\f(y2,xz)的最小值为________．[解析]由x－2y＋3z＝0得y＝eq\f(x＋3z,2)，所以eq\f(y2,xz)＝eq\f(x2＋9z2＋6xz,4xz)＝eq\f(x,4z)＋eq\f(9z,4x)＋eq\f(3,2).又x，z均为正实数，所以eq\f(x,4z)＞0，eq\f(9z,4x)＞0，所以eq\f(y2,xz)＝eq\f(x,4z)＋eq\f(9z,4x)＋eq\f(3,2)≥2eq\r(\f(x,4z)·\f(9z,4x))＋eq\f(3,2)＝3，当且仅当eq\f(x,4z)＝eq\f(9z,4x)即x＝3z时取等号．所以eq\f(y2,xz)的最小值为3.[答案]3二、忽视基本不等式的应用条件eq\x(►逻辑推理、数学运算)[典例]已知一次函数mx＋ny＝－2过点(－1，－2)(m＞0，n＞0)．则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为()A．3 B．2eq\r(2)C.eq\f(3＋2\r(2),2) D.eq\f(3－2\r(2),2)[解析]由题意得eq\f(m,2)＋n＝1，所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝(eq\f(1,m)＋eq\f(1,n))(eq\f(m,2)＋n)＝eq\f(3,2)＋eq\f(m,2n)＋eq\f(n,m)≥eq\f(3,2)＋2eq\r(\f(1,2))＝eq\f(3＋2\r(2),2)，当且仅当eq\f(m,2n)＝eq\f(n,m)即m＝eq\r(2)n时取等号．故选C.[答案]C纠错心得应用基本不等式求最值时，必需遵循“一正、二定、三相等”的依次．本题中求出eq\f(m,2)＋n＝1后，若采纳两次基本不等式，有如下错