2024中考数学重难点专练规律探究问题含解析

选择题1.下面摆放的图案，从其次个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2024个图案中箭头的指向是（）A．上方 B．右方 C．下方 D．左方【答案】C【解析】如图所示：每旋转4次一周，2024÷4＝504…3，则第2024个图案中箭头的指向与第3个图案方向一样，箭头的指向是下方．故选：C．2.对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对 B．乙的思路和他的n值都对 C．甲和丙的n值都对 D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对【答案】B【解析】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；乙的思路与计算都正确；乙的思路与计算都错误，图示状况不是最长；故选：B．3.如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为（）A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3【答案】D【解析】∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，∴B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，Sn＝×2n﹣1×2n＝；故选：D．4.如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点从为坐标原点）动身，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2024秒时点的纵坐标为A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】点运动一个用时为秒．如图，作于，与交于点．在中，，，，，，第1秒时点运动到点，纵坐标为1；第2秒时点运动到点，纵坐标为0；第3秒时点运动到点，纵坐标为；第4秒时点运动到点，纵坐标为0；第5秒时点运动到点，纵坐标为1；，点的纵坐标以1，0，，0四个数为一个周期依次循环，，第2024秒时点的纵坐标为是．故选：B．5.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形OA2024B2024C2024，那么点A2024的坐标是（）A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）【答案】A【解析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发觉是8次一循环，所以2024÷8＝252…余3，∴点A2024的坐标为（，﹣）故选：A．6.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O动身，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路途如图所示，第一次移动到点A1，其次次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2024的坐标是（）A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）【答案】C【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2024÷4＝504…3，所以A2024的坐标为（504×2+1，0），则A2024的坐标是（1009，0）．故选：C．7.按肯定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1 B．（﹣1）nx2n﹣1 C．（﹣1）n﹣1x2n+1 D．（﹣1）nx2n+1【答案】A【解析】∵x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1，﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1，x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1，x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1，……由上可知，第n个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，故选：A．8.如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线l：y＝x于点A1，过点A1作直线l的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面积分别记为S1，S2，S3，…，则S100为（）A．（）100 B．（3）100 C．3×4199 D．3×2395【答案】D【解析】∵点A0的坐标是（0，1），∴OA0＝1，∵点A1在直线y＝x上，∴OA1＝2，A0A1＝，∴OA2＝4，∴OA3＝8，∴OA4＝16，得出OAn＝2n，∴AnAn+1＝2n•，∴OA198＝2198，A198A199＝2198•，∵S1＝（4﹣1）•＝，∵A2A1∥A200A199，∴△A0A1A2∽△A198A199A200，∴＝（）2，∴S＝2396•＝3×2395故选：D．9.如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10）【答案】D【解析】∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．10.如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，绽开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2024次操作时，余下纸片的面积为（）A．22024 B． C． D．【答案】C【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，绽开后沿折痕剪开，第一次：余下面积，其次次：余下面积，第三次：余下面积，当完成第2024次操作时，余下纸片的面积为，故选：C．二、填空题11.在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．【答案】（2n﹣1）【解析】由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+Cn﹣1An）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），12.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，依据“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为．（n为正整数）【答案】（n,eq\r(2n+1)）【解析】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，∴A1P1＝＝＝，同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，∴P1的坐标为（1，），P2的坐标为（2，），P3的坐标为（3，），……，…依据此规律可得点Pn的坐标是（n，），即（n，eq\r(2n+1)）故答案为：（n，eq\r(2n+1)）．13.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为．（2）在（1）的基础上，接着摆放其次个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点Fn-1，…，则顶点F2024的坐标为．【答案】（1)（2）（,）【解析】(1)依题意可得，CD=1，CB=2∵∠BDC+∠DBC=90°，∠OBA+∠DBC=90°∴∠BDC=∠OBA又∠DCB=∠BOA=90°∴△DCB∽△BOA∴eq\f(DC,CB)=\F(OB,OA)=\F(1,2)依据题意标好字母，如图所示依题意可得CD=1，CB=2，BA=1∴BD=EQ\R(5)由（1）知eq\f(DC,CB)=\F(OB,OA)=\F(1,2)，∴OB=EQ\F(\R(5),5),OA=EQ\F(2\R(5),5)易得△OAB∽△GFA∽△HCB∴BH=EQ\F(4\R(5),5)，CH=EQ\F(2\R(5),5)，AG=EQ\F(3\R(5),5)，FG=EQ\F(6\R(5),5)∴OH=EQ\F(4\R(5),5)+EQ\F(\R(5),5)=EQ\R(5)，OG=EQ\F(3\R(5),5)+EQ\F(2\R(5),5)=EQ\R(5)∴C（EQ\F(2\R(5),5)，EQ\R(5)）．F（EQ\R(5)，EQ\F(6\R(5),5)）∴由点C到点F横坐标增加了EQ\F(3\R(5),5)，纵坐标增加了EQ\F(\R(5),5)，……∴，Fn(EQ\R(5)+EQ\F(3\R(5),5)n,EQ\F(6\R(5),5)+EQ\F(\R(5),5)n)∴F2024（EQ\R(5)+EQ\F(3\R(5),5)×2024,EQ\F(6\R(5),5)+EQ\F(\R(5),5)×2024)即F2024（eq\f(6062\r(5),5),405eq\r(5))14.如图，在矩形中，，，一发光电子起先置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向放射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2024次后，则它与边的碰撞次数是．【答案】672【解析】如图，依据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到动身点，且每次循环它与边的碰撞有2次，，当点第2024次遇到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点的坐标为它与边的碰撞次数是次，故答案为67215.正方形，，，按如图所示的方式放置，点，，，和点，，，分别在直线和轴上．已知点，点，则的坐标是．【答案】(47,16)【解析】由题意可知纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为4，的纵坐标为8，，和，和，和，和的纵坐标相同，，，，，的纵坐标分别为1，2，4，8，16，依据图象得出，，，直线的解析式为，的纵坐标为16，的纵坐标为16，把代入，解得，的坐标是，故答案为．三、解答题16.（1）阅读理解如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．小红通过视察反比例函数y＝的图象，并运用几何学问得出结论：AE+BG＝2CF，CF＞DF由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：若n＞1，则．（2）证明命题小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．请你选择一种方法证明（1）中的命题．【解析】（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝，BG＝，DF＝，∴+＞．故答案为：+＞．（2）方法一：∵+﹣＝＝，∵n＞1，∴n（n﹣1）（n+1）＞0，∴+﹣＞0，∴+＞．方法二：∵＝＞1，∴+＞．17.（1）方法选择如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…请你选择一种方法证明．（2）类比探究探究1如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．探究2如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．【解析】（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，如图①，在BD上截取DEMAD，连接AM，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴AM＝AD，∵∠ABM＝∠ACD，∵∠AMB＝∠ADC＝120°，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD；（2）类比探究：如图②，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，过A作AM⊥AD交BD于M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴DM＝AD，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠