2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象（8）教学说课稿 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（8）教学说课稿新人教A版必修4授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教材分析本节课是2024-2025学年高中数学新人教A版必修4第一章三角函数1.4.3节“正切函数的性质与图象（8）”。本节课在教材中起着承前启后的作用，既是对之前所学正弦函数、余弦函数性质的深化，又为后续学习正切函数的应用打下基础。本节课主要介绍正切函数的定义、性质以及图像，使学生能够熟练掌握正切函数的基本特征，并能运用这些知识解决实际问题。核心素养目标教学难点与重点1.教学重点

-正切函数的定义：理解正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，强调在定义域内的每个点，正切值都是唯一确定的。

-正切函数的性质：掌握正切函数的奇偶性、周期性、单调性等基本性质，如正切函数是奇函数，周期为π等。

-正切函数的图像：能够画出正切函数的图像，理解图像在定义域内的变化规律，包括渐近线的位置和图像的波动特点。

2.教学难点

-正切函数的定义域：学生可能会混淆正切函数的定义域与值域，需要强调正切函数在π/2+kπ（k为整数）处无定义，这是学生常见的误区。

-渐近线的理解：学生可能难以理解正切函数的垂直渐近线是什么，需要通过图像演示和数学推理，让学生明白当x接近π/2+kπ时，正切函数的值会无限增大或减小。

-正切函数图像的绘制：学生可能在绘制正切函数图像时，对渐近线的处理和函数的波动特点把握不准确，需要通过逐步指导，让学生学会正确绘制图像，并理解图像的特点。

-正切函数性质的应用：将正切函数的性质应用于实际问题中，如解决与正切函数相关的方程或不等式，需要学生能够灵活运用所学知识，这是学生需要克服的难点之一。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有新人教A版必修4教材，以便于学生跟随课堂进度自学和复习。

2.辅助材料：准备正切函数图像的动态演示视频，以及相关的数学软件（如几何画板）用于课堂展示和互动。

3.实验器材：无需特殊实验器材。

4.教室布置：将教室布置为便于小组讨论的形式，确保学生可以轻松地进行小组合作和交流。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过班级微信群，发布预习资料，包括正切函数的基本性质和图像的PPT，以及相关的数学软件操作指南。

-设计预习问题：设计问题如“正切函数的定义域和值域是什么？”、“正切函数的图像有什么特点？”等，引导学生思考。

-监控预习进度：通过在线平台监控学生的预习进度，确保每个学生都能完成预习任务。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生自主阅读预习资料，理解正切函数的基本概念。

-思考预习问题：学生针对预习问题进行思考，尝试用自己的语言总结正切函数的性质。

-提交预习成果：学生将预习成果以笔记形式提交，记录下自己的理解和疑问。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主探索，培养独立思考能力。

-信息技术手段：利用微信群和在线平台，方便资源共享和进度监控。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过展示正切函数在实际问题中的应用案例，如测量高度等，激发学生学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解正切函数的性质和图像，通过动态图像演示，帮助学生直观理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨正切函数图像的特点。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，共同探讨正切函数的图像特点。

-提问与讨论：学生针对不懂的问题提出疑问，并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：详细讲解正切函数的性质和图像。

-实践活动法：通过小组讨论，让学生在实践中掌握正切函数的图像绘制方法。

-合作学习法：培养学生的团队合作意识。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置与正切函数性质和图像相关的练习题，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供相关数学网站和视频，供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：学生认真完成作业，巩固所学知识。

-拓展学习：利用拓展资源，进行进一步的学习。

-反思总结：学生对自己的学习过程进行反思，总结学习经验。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生反思学习过程，提升学习效率。

作用与目的：

-巩固学生对正切函数性质和图像的理解。

-通过拓展学习，增强学生对数学知识的兴趣和应用能力。

-通过反思总结，帮助学生提升自主学习能力。知识点梳理1.正切函数的定义

正切函数是三角函数中的一个基本函数，它是正弦函数与余弦函数的比值。对于任意角度θ（θ不等于π/2+kπ，k为整数），正切函数的定义为：

tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)

这意味着正切函数的值是角度θ的正弦值与余弦值的比。

2.正切函数的性质

-奇偶性：正切函数是一个奇函数，即tan(-θ)=-tan(θ)。

-周期性：正切函数是周期函数，其周期为π，即tan(θ+π)=tan(θ)。

-单调性：在每个周期内，正切函数在其定义域内是单调递增的。

-无界性：正切函数在整个定义域内是无界的，即对于任意实数M，都存在一个角度θ，使得tan(θ)>M或tan(θ)<-M。

3.正切函数的图像

-定义域：正切函数的定义域是所有不等于π/2+kπ（k为整数）的实数集合。

-值域：正切函数的值域是整个实数集R。

-图像特点：正切函数的图像在每个周期内都类似于一条无限延伸的波浪线，它在每个周期内都有两条垂直渐近线，即θ=π/2+kπ（k为整数）。

4.正切函数的垂直渐近线

正切函数的垂直渐近线是θ=π/2+kπ（k为整数）。这是因为当θ接近这些值时，cos(θ)接近0，而sin(θ)不为0，因此tan(θ)的值会无限增大或减小。

5.正切函数的图像绘制

绘制正切函数的图像时，首先确定其定义域和值域，然后标出垂直渐近线和图像的基本波动形状。通常，可以在一个周期内绘制图像，然后利用周期性复制到整个定义域。

6.正切函数的应用

正切函数在解决实际问题中有广泛的应用，例如：

-在物理学中，用于计算物体在斜面上的滑动加速度。

-在工程学中，用于分析电路中的相位差。

-在地理学中，用于计算地球表面的坡度。

7.正切函数的运算性质

-正切函数的和差公式：

tan(α+β)=(tan(α)+tan(β))/(1-tan(α)tan(β))

tan(α-β)=(tan(α)-tan(β))/(1+tan(α)tan(β))

-正切函数的倍角公式：

tan(2α)=2tan(α)/(1-tan²(α))

-正切函数的半角公式：

tan(α/2)=sin(α)/(1+cos(α))或tan(α/2)=(1-cos(α))/sin(α)

8.正切函数的微分和积分

-微分：正切函数的导数是正切函数的平方，即(d/dx)tan(x)=sec²(x)。

-积分：正切函数的不定积分是负的对数函数，即∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C。

9.正切函数的极值和拐点

正切函数在其定义域内没有极值点，因为它是单调递增的。同样，它也没有拐点，因为其二阶导数不存在。

10.正切函数的数值近似

在实际计算中，当角度θ接近垂直渐近线时，正切函数的值会非常大或非常小，因此在计算时需要注意数值稳定性和精度。教学反思与总结在完成了关于正切函数性质与图象的教学之后，我深感教学过程中的各个环节都是相辅相成的，每一个细节都影响着学生的学习效果。以下是我对本次教学的一些反思和总结。

教学反思：

在设计预习任务时，我注重了问题的启发性和探究性，但通过学生的反馈，我发现部分学生对预习资料的阅读并不深入，可能是因为预习资料的内容较为抽象，难以引起学生的兴趣。未来，我需要选择更加生动有趣的预习材料，或者设计更具互动性的预习活动，以提高学生的预习积极性。

在课堂讲解环节，我尽量通过动态图像和实际案例来帮助学生理解正切函数的性质，但我也注意到，有些学生在面对复杂概念时仍感到困惑。我认识到，对于这些学生来说，可能需要更多的直观演示和逐步引导。在未来的教学中，我会尝试使用更多的教学工具，如物理模型、实物演示等，来增强学生对抽象概念的理解。

在教学管理方面，我努力营造了一个开放和互动的课堂氛围，鼓励学生提问和参与讨论。然而，我也发现有些学生在小组讨论中过于依赖同伴，而不是独立思考。为了培养学生的独立思考能力，我计划在课堂上设置更多的独立思考环节，让学生先独立思考再进行小组交流。

教学总结：

从学生的作业和课堂表现来看，本节课的教学效果是积极的。学生们对正切函数的基本性质有了较好的理解，能够绘制正切函数的图像，并能够运用正切函数解决一些实际问题。在情感态度方面，学生们对数学学习的兴趣有所提升，他们能够感受到数学在生活中的应用价值。

尽管如此，我也注意到教学中存在的一些问题和不足。例如，对于正切函数的垂直渐近线的理解，部分学生仍然存在困难。针对这一问题，我计划在后续的教学中，通过更多的例题和练习，帮助学生加深对垂直渐近线的理解。

此外，我也意识到，为了提高教学效果，我需要更加关注每个学生的学习进度和需求。在未来的教学中，我将尝试实施差异化教学，为不同水平的学生提供不同难度的教学材料和练习题，以满足他们的个性化学习需求。板书设计①正切函数的定义与性质

-正切函数定义：tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)