广东省揭阳普宁市2025届高二上数学期末调研试题含解析

广东省揭阳普宁市2025届高二上数学期末调研试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M是的中点，，，，若，则（）A. B.C. D.2．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A.0.2 B.0.24C.0.28 D.0.323．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.4．年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收量可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有（）A.种 B.种C.种 D.种5．已知为等比数列的前n项和，，，则（）A.30 B.C. D.30或6．直线的倾斜角为A. B.C. D.7．已知分别是椭圆的左，右焦点，点M是椭圆C上的一点，且的面积为1，则椭圆C的短轴长为（）A.1 B.2C. D.48．如下图，面与面所成二面角的大小为，且A，B为其棱上两点．直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面中，且都垂直于AB，已知，，，则（）A. B.C. D.9．命题“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，10．过点作圆的切线，则切线的方程为（）A. B.C.或 D.或11．已知两直线与，则与间的距离为（）A. B.C. D.12．若，则的值为（）A.或 B.或C.1 D.－1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等比数列的前n项和，则的通项公式为___________.14．已知数列满足，，则使得成立的n的最小值为__________.15．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.16．一个四面体有五条棱长均为2，则该四面体的体积最大值为_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某地从今年8月份开始启动12-14岁人群新冠肺炎疫苗的接种工作，共有8千人需要接种疫苗.前4周的累计接种人数统计如下表：前x周1234累计接种人数y（千人）2.5344.5（1）求y关于的线性回归方程；（2）根据（1）中所求的回归方程，预计该地第几周才能完成疫苗接种工作?参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，18．（12分）如图，在长方体中，，．点E在上，且（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值19．（12分）某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的污水量x吨收取的污水处理费y元，运行程序如图所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）请写出y与x的函数关系式；（2）求排放污水150吨的污水处理费用.20．（12分）如图，在长方体中，，，是棱的中点（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由21．（12分）如图，在长方体中，，若点P为棱上一点，且，Q，R分别为棱上的点，且.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.22．（10分）已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.（1）求点的轨迹方程；（2）直线过点且与点的轨迹交于A，两点，若，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】建立坐标系，坐标表示向量，求出点坐标，进而求出结果.【详解】以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨令，则，，，，，.因为，所以，则，，，，则解得，，，故.故选：C2、C【解析】依据正态曲线的对称性即可求得【详解】由随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴为直线由，可得则，故故选：C3、A【解析】以C为坐标原点，分别以，，方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案.【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，，，，则，，所以.又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.4、C【解析】分两种情况讨论：两个氧原子相同、两个氧原子不同，分别计算出两种情况下二氧化碳分子的个数，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子共有种；若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有种.由分类加法计数原理可知，由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有种.故选：C.5、A【解析】利用等比数列基本量代换代入，列方程组，即可求解.【详解】由得，则等比数列的公比，则得，令，则即，解得或（舍去），，则故选：A6、B【解析】分析出直线与轴垂直，据此可得出该直线的倾斜角.【详解】由题意可知，直线与轴垂直，该直线的倾斜角为.故选：B.【点睛】本题考查直线的倾斜角，关键是掌握直线倾斜角的定义，属于基础题7、B【解析】首先分别设，，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.【详解】设，，所以，即，即，得，短轴长为.故选：B8、B【解析】根据题意，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，进一步判断出该四边形为矩形，然后确定出为二面角的平面角，进而通过余弦定理和勾股定理求得答案.【详解】如图，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，所以.因为，所以，又，所以是该二面角的一个平面角，即，由余弦定理.因为，，所以，易得四边形ABDE为矩形，则，而，所以平面ACE，则，于是.故选：B.9、D【解析】根据含有量词的命题的否定即可得出结论.【详解】命题为全称命题，则命题的否定为：，.故选：D.10、C【解析】设切线的方程为，然后利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解即可.【详解】圆的圆心为原点，半径为1，当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即所以，解得或所以切线的方程为或故选：C11、B【解析】把直线的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.【详解】直线的方程化为：，显然，，所以与间的距离为.故选：B12、B【解析】求出函数的导数，由方程求解即可.【详解】，，解得或，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用的关系，结合是等比数列，即可求得结果.【详解】因为，故当时，，则，又当时，，因为是等比数列，故也满足，即，故，此时满足，则.故答案为：.14、11【解析】由题设可得，结合等比数列的定义知从第二项开始是公比为2的等比数列，进而写出的通项公式，即可求使成立的最小值n.【详解】因为，所以，两式相除得，整理得.因为，故从第二项开始是等比数列，且公比为2，因为，则，所以，则，由得：，故故答案为：11.15、【解析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵∴∴∴.故答案为：.16、1【解析】由已知中一个四面体有五条棱长都等于2，易得该四面体必然有两个面为等边三角形，根据棱锥的几何特征，分析出当这两个平面垂直时，该四面体的体积最大，将相关几何量代入棱锥体积公式，即可得到答案【详解】一个四面体有五条棱长都等于2，如下图：设除PC外的棱均为2，设P到平面ABC距离为h，则三棱锥的体积V＝，∵是定值，∴当P到平面ABC距离h最大时，三棱锥体积最大，故当平面PAB⊥平面ABC时，三棱锥体积最大，此时h为等边三角形PAB的AB边上的高，则h，故三棱锥体积的最大值为：故答案为：1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）预计第9周才能完成接种工作【解析】（1）利用最小二乘法原理求解即可；（2）解方程即得解.【小问1详解】解：由表中数据得，，，，.所以所以y关于的线性回归方程为.【小问2详解】解：令，解得.所以预计第9周才能完成接种工作.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，分别写出，，的坐标，证明，，即可得证；（2）由（1）知，的法向量为，直接写出平面法向量，按照公式求解即可.【小问1详解】在长方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系因为，，所以，，，，，则，，，所以有，，则，，又所以平面小问2详解】由（1）知平面的法向量为，而平面法向量为所以，由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为19、（1）；（2）1400（元）.【解析】（1）根据已知条件即可容易求得函数关系式；（2）根据（1）中所求函数关系式，令，求得函数值即可.【小问1详解】根据题意，得：当时，；当时，；当时，.即.【小问2详解】因为，故，故该厂应缴纳污水处理费1400元.20、(1)证明见解析（2）（3）存点，【解析】(1)先证明平面，由平面，可证明结论.(2)以分别为轴，建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求求解即可.(3)设，,则，则由向量法结合条件可得答案.【详解】（1）在长方体中，,又，所以平面又平面,所以.(2)以分别为轴，建立空间直角坐标系因为，，是棱的中点则则为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量.,所以，即取，可得所以如图平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值为.(3)设，，则由（2）平面的一个法向量设与平面所成角为则解得，取所以存在点，满足条件.21、（1）（2）【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角；（2）用空间向量法求二面角【小问1详解】以D为坐标原点，射线方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.当时，，所以，设平面的法向量为，所以，即不妨得，，又，所以，则【小问2详解】在长方体中，因为平面，所以平面平面，因为平面与平面交于，因为四边形为正方