2025届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2025届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．的值为（）A. B.C. D.2．如图所示，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点Р的坐标为（）A. B.C D.3．已知，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.4．已知函数，则在上的最大值与最小值之和为（）A. B.C. D.5．将函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于直线对称，则的最小正值为A. B.C. D.6．下列关系式中，正确的是A. B.C. D.7．已知函数,且，则满足条件的的值得个数是A.1 B.2C.3 D.48．下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则9．的弧度数是（）A. B.C. D.10．设集合则（）.A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为___cm.12．如图，矩形是平面图形斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为，则平面图形的面积为______.13．已知是第四象限角，，则______14．在区间上随机地取一个实数，若实数满足的概率为，则________.15．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆标准方程为_____________________.16．函数的值域是________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆的方程为,是坐标原点．直线与圆交于两点（1）求的取值范围；（2）过点作圆的切线，求切线所在直线的方程.18．已知函数，且求函数的定义域；求满足实数x的取值范围19．已知函数(a>0且a≠1).(1)若f(x)在[-1，1]上的最大值与最小值之差为，求实数a的值；(2)若，当a>1时，解不等式.20．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)=80-2t，价格近似满足f(t)=20-|t-10|.(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.21．某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和（1）设，将展板所需总费用表示成的函数；（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】由诱导公式可得，故选B.2、D【解析】如图，根据题意可得，利用三角函数的定义和诱导公式求出，进而得出结果.【详解】如图，由题意知，，因为圆的半径，所以，所以，所以，即点.故选：D3、B【解析】由以及，可得，即得，再根据基本不等式即可求的取值范围.【详解】解：，不妨设，若，由，得：，即与矛盾；同理，也可导出矛盾，故，，即，而，即，即，当且仅当，即时等号成立，又，故，即的取值范围是.故选：B.4、D【解析】首先利用两角和与差的正弦公式将函数化简为，当时，，由正弦型函数的单调性即可求出最值.【详解】当时，，所以最大值与最小值之和为：.故选：D【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，正弦型函数的单调性与最值，属于基础题.5、C【解析】函数，将其图像向右平移个单位后得到∵这个图像关于直线对称∴，即∴当时取最小正值为故选C点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.6、C【解析】不含任何元素的集合称为空集，即为，而代表由单元素0组成的集合，所以，而与的关系应该是.故选C.7、D【解析】令则即当时，当时，则令，，由图得共有个点故选8、C【解析】分析】利用不等式性质逐一判断即可.【详解】选项A中，若，，则，若，，则，故错误；选项B中，取，满足，但，故错误；选项C中，若，则两边平方即得，故正确；选项D中，取，满足，但，故错误.故选：C.【点睛】本题考查了利用不等式性质判断大小，属于基础题.9、C【解析】弧度，弧度，则弧度弧度，故选C.10、D【解析】利用求集合交集的方法求解.【详解】因为所以.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，明确集合交集的含义是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、6π＋40【解析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形的弧长公式，可得弧长，即可求解扇形的周长，得到答案.【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，∴由扇形的弧长公式，可得弧长，∴扇形的周长为.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12、【解析】由题意可知，该几何体的直观图面积，可通过，带入即可求解出该平面图形的面积.【详解】解：由题意，直观图的面积为，因为直观图和原图面积之间的关系为，所以原图形的面积是故答案为：.13、【解析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，在利用诱导公式可求得结果.【详解】因为是第四象限角，，则，所以，.故答案为：.14、1【解析】利用几何概型中的长度比即可求解.【详解】实数满足，解得，，解得，故答案为：1【点睛】本题考查了几何概率的应用，属于基础题.15、【解析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程【详解】设圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=R2，由圆经过点（4,5）得R2=25，从而所求方程为（x-1）2+（y-1）2=25，故答案为（x-1）2+（y-1）2=25【点睛】本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径16、##【解析】求出的范围，再根据对数函数的性质即可求该函数值域.【详解】，而定义域上递减，，无最小值，函数的值域为故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或【解析】（1）直线与圆交于两点，即直线与圆相交，转化成圆心到直线距离小于半径，利用公式解不等式；（2）过某点求圆的切线，分斜率存在和斜率不存在两种情况数形结合分别讨论.【详解】（1）圆心到直线的距离，解得或即k的取值范围为.（2）当过点P的直线斜率不存在时，即x=2与圆相切，符合题意.当过点P的直线斜率存在时，设其方程为即，由圆心（0,4）到直线的距离等于2，可得解得，故直线方程为综上所述，圆的切线方程为或【点睛】此题考查直线和圆的位置关系，结合圆的几何性质处理相交相切，过某点的直线在设其方程的时候一定注意讨论斜率是否存在，这是一个易错点，对逻辑思维能力要求较高，当然也可以考虑直线与二次曲线的常规解法.18、（1）；（2）见解析.【解析】由题意可得，，解不等式可求；由已知可得，结合a的范围，进行分类讨论求解x的范围【详解】（1）由题意可得，，解可得，，函数的定义域为，由，可得，时，，解可得，，时，，解可得，【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域及利用对数函数单调性求解对数不等式，体现了分类讨论思想的应用，属于基础试题19、(1)2或；(2)或.【解析】(1)对a值分类讨论，根据单调性列出最值之差表达式即可求解；(2)由函数的奇偶性、单调性脱去给定不等式中的法则“”，转化为一元二次不等式，求解即得.【详解】(1)①当，f(x)在[-1，1]上单调递增，，解得，②当时，f(x)在[-1，1]上单调递减，，解得，综上可得，实数a的值为2或.(2)由题可得定义域为，且，所以为上的奇函数；又因为，且，所以在上单调递增；所以，或，所以不等式的解集为或.【点睛】解抽象的函数不等式，分析对应函数的奇偶性和单调性是解决问题的关键.20、解：(1)y(2)ymax=1225，ymin=600【解析】解：（Ⅰ）＝（Ⅱ）当0≤t＜10时，y的取值范围是[1200，1225]，在t＝5时，y取得最大值为1225；当10≤t≤20时，y的取值范围是[600，1200]，在t＝20时，y取得最小值为600（答）总之，第5天，日销售额y取得最大为1225元；第20天，日销售额y取得最小为600元21、（1）；（2）上述设计方案是不会超出班级预算