福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中考试数学试卷（原卷版）

福建省厦门市第一中学20232024学年高一下期中考试数学试卷命题教师李寅童审核教师周翔2024．4本试卷共4页，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致.2．回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效.3．考试结束，考生只须将答题卡交回.一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案.1.若复数z满足，则在复平面内复数z对应的点Z位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，若，则（）A. B. C. D.3.如图，一个水平放置平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（）A. B.2 C. D.4.直线与平面平行的充要条件是（）A.直线上有无数个点不在平面内B.直线与平面内的一条直线平行C.直线与平面内的无数条直线都平行D.直线与平面内的任意一条直线都没有公共点5.在△中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（）A B. C. D.7.如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为，山高为是山坡上一点，且．现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（）A. B. C. D.8.已知平面向量满足，，，且对于任意的，恒有，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题：本大题3小题，全选对得6分，选对但不全得部分分，选错或不答得0分.9.已知非零复数，，其共轭复数分别为则下列选项正确的是（）A.B.C.若，则的最小值为2D10.在中，，，，则（）A B.C.的面积为 D.外接圆的直径是11.约翰逊多面体是指除了正多面体、半正多面体（包括13种阿基米德多面体、无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱、无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸多面体．其中，由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体，台塔，又叫帐塔、平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三、四、五角台塔．如图是所有棱长均为1的正三角台塔，则（）A该台塔共有15条棱 B.平面C.该台塔高为 D.该台塔外接球的体积为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.写出与向量反向的单位向量_________．13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______.14.有一直角转弯的走廊（墙面与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，若不计硬管粗细，则可通过的最大极限长度为______米.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置.15.已知复数，复数在复平面内对应的向量为，（1）若为纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．16.如图，在中，点在线段上，且.（1）用向量表示；（2）若，求的值.17.如图，在三棱锥中，已知，，且，、分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.18.已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且，（1）求；（2）若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、，（ⅰ）求证：；（ⅱ）求的最大值．19.如图（1），正三棱柱，将其上底面ABC绕的中心