第二章第二节基本不等式

第二节基本不等式课程标准1.掌握基本不等式ab≤a+b2(a,b>0)2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.考情分析考点考法:利用基本不等式求最值是高考的重点,通常与函数、数列、解析几何、导数等内容相结合,题型以选择题、填空题为主,中低档难度.核心素养:数学抽象、数学运算、逻辑推理【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.基本不等式公式

ab≤成立的条件__a>0,b>0__等号成立的条件__a=b__算术平均数

几何平均数

ab

2.利用基本不等式求最值(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P.(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14S2【微点拨】利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号14231.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.两个不等式a2+b2≥2ab与a+b2B.函数y=x+1x(x>0)的最小值是C.函数f(x)=sinx+4sinxD.x>0且y>0是xy+yx【解析】选BD.A.不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;不等式a+b2≥ab成立的条件是a>0,b>0,故B.由基本不等式可知y=x+1x≥2,当且仅当x=1时等号成立,故B正确C.函数f(x)=sinx+4sinx没有最小值,故CD.由x>0且y>0可以得到xy+yx≥2,反之不成立,所以x>0且y>0是xy+yx≥2的充分不必要条件,2.(忽视等号成立的条件)函数y=x2+4x22(1<x<0)的值域为 (A.{y|y>2} B.{y|y≥2}C.yy≥3【解析】选D.令t=x2,0<t<1,所以y=x2+4x22=t+4t2,因为对勾函数y=t+4t在0<t<1上单调递减,且没有最大值,所以y=t+4t>1+41=5,所以y=x3.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2xy=1,则 ()A.x+y≤1 B.x+y≥2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1【解析】选BC.因为ab≤a+b22≤a2+b22(a,b∈R),由x2+y2xy=1可变形为(x+y)21=3xy≤3x+y22,解得2≤x+y≤2,当且仅当x=y=1时,x+y=2,当且仅当x=y由x2+y2xy=1可变形为(x2+y2)1=xy≤x2+y22,解得x2+y2≤2,当且仅当x=y=±1时取等号因为x2+y2xy=1变形可得x-y22+34y2=1,设xy2=cosθ,32y=sinθ,13sinθ,y=23sinθ,因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+23sinθcosθ=1+13sin2θ13cos2θ+13=43+23sin2θ-π6∈234.(人A必修第一册P48习题2.2T1(2)变条件)函数y=x(32x)(0≤x≤1)的最大值是________.

【解析】因为0≤x≤1,所以32x>0,所以y=12·2x·(32x)≤12[2x+(3-2x)2]2=98,当且仅当2x答案:9【核心考点·分类突破】考点一利用基本不等式求最值【考情提示】利用基本不等式求最值时应注意基本不等式成立的条件.高考时,一般不会直接应用基本不等式求最值,常常需要对题目进行“添加项”“换元”或“常数代换”后再利用基本不等式求最值.角度1直接法[例1](1)(2024·滨州模拟)若x>0,则fx=4x+9x的最小值为 (A.4 B.9 C.12 D.21【解析】选C.因为x>0,由基本不等式得:fx=4x+9x≥24x·9x=12,当且仅当4x=9x,即x=3(2)已知a,b∈R,且2ab2=0,则9a+13b的最小值为 (A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选C.因为2ab2=0,所以2ab=2,因为32a>0,3b>0,所以9a+13b=32a+3b≥232a×当且仅当32a=3-b2a-b=2,即a=【解题技法】利用基本不等式求最值的条件必须满足的三个条件为“一正、二定、三相等”.(1)“一正”:各项必须为正数.(2)“二定”:要求和的最小值,必须把构成和的两项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值.(3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.角度2配凑法[例2](1)若x<23,则f(x)=3x+1+93x-A.最大值0 B.最小值9C.最大值3 D.最小值3【解析】选C.因为x<23,所以3xf(x)=3x2+93x-2+3=[(23x)+92-当且仅当23x=92-3x,即x=13(2)当x>0时,函数y=3+x+x2A.23B.231C.23+1D.4【解析】选B.因为x>0,所以y=3+x+x21+x=31+x1=231,当且仅当31+x=x+1,即x=31时,【解题技法】配凑法求最值的解题策略1.配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法;2.对于一次二次或二次一次的分式型代数式需要先化简,再配凑,提醒:注意验证等号取得的条件.角度3常数代换法[例3](1)(2024·昆明模拟)已知实数x>0,y>0,x+3y=2,则1x+1y的最小值为 (A.3 B.1+C.2+32 D.【解析】选D.因为x>0,y>0,且x+3y=2,所以1x+1y=121x+1当且仅当3yx=xy,即y=3-33(2)已知b满足a+b=ab1,求a+b的最小值.【解析】因为a+b=ab1,所以a=b+1所以b>1.所以a+b=b+1b-1+b=b-1+2b-1+b=1+2b-2+2(b-1)·2b-1=2+22(当且仅当b=1+【解题技法】1.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.2.常数代换法求最值适用的题型及解题通法当式子中含有两个变量,且条件和所求的式子分别为整式和分式时,常构造出(ax+by)(mx+ny)(a,b,m,n为常数且大于0)的形式,利用(ax+by)(mx+ny)=am+bn≥am+bn+2abmn(当且仅当bmyx=anxy时,等号成立)角度4消元法[例4](2024·烟台模拟)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为__________.

【解析】方法一(换元消元法):由已知得9(x+3y)=xy=13·x·3y≤13·(x+3y2)2,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号.即(x+3y)2+12(令x+3y=t,则t>0且t2+12t108≥0,得t≥6,即x+3y的最小值为6.方法二(代入消元法):由x+3y+xy=9,得x=9-所以x+3y=9-3y1+=9+3y2=3(1+y)+121+y6≥2=126=6,当且仅当3(1+y)=121+y,即y=1,x=3时取等号,所以x+3y的最小值为答案:6【解题技法】利用消元法、换元法求最值的方法(1)消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.(2)换元法,求较复杂的式子的最值时,通常利用换元法将式子恰当变形,简化式子,再利用基本不等式求解.角度5由条件等式求a+b或ab的取值范围或最值教考衔接教材情境·研习·典题类[例5](必修第一册P58T5变形式)若a,b>0,且ab=a+b+3,则ab的取值范围为________.

【解题导思】看问题双变量求范围问题提信息a,b>0,ab=a+b+3定思路[思路①]从结构特征上看,联想到基本不等式法.利用a+b≥2ab与ab=a+b+3建立关于ab的不等式,求解ab的取值范围.[思路②]从方程角度上分析,联想到换元法.令ab=t(t>0),与ab=a+b+3联立建立关于b(或a)的一元二次方程,根据方程有正根,建立关于t的不等式求解t的范围,从而求出ab的取值范围.【解析】解法一(基本不等式法):由已知得a+b=ab3,又a,b>0时,a+b≥2ab,所以ab3≥2ab,所以(ab)2则(ab3)(ab+1)≥0,所以ab≥3或ab≤1(舍去),所以ab≥3,则ab≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立,所以ab的取值范围为[9,+∞).解法二(换元法):令ab=t(t>0),则a=tb(t>0),代入ab=a+b整理得b2+(3t)b+t=0,因为该方程有正根,所以Δ即t≥9或t≤1所以ab的取值范围为[9,+∞).答案:[9,+∞)【高考链接】(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y24x2y4=0,则xy的最大值是 ()A.1+322 BC.1+32 D.7【解析】选C.解法一(换元法):令xy=t,则x=t+y,代入x2+y24x2y4=0,整理得2y2+(2t6)y+t24t4=0,因为存在实数y,则Δ≥0,即(2t6)24×2(t24t4)≥0,化简得t22t17≤0,解得132≤t≤1+32.所以xy的最大值为1+32.解法二(基本不等式法):由a2+b2≥2ab(a,b∈R)得a2+b由已知得(x2)2+(y1)2=9,所以92=(x-2)当且仅当x2=1y,即x=4+32y=2-322或x=4-322即92≥x-y-122,则|xy1|≤32,所以132≤xy≤1+32,故xy的最大值为1+32.[溯源点评]从命题情境角度上,高考真题与教材题目“形似”,都考查了二元二次方程相关的知识.从解题方法上看“法同”,通过构造变形采用基本不等式法和换元法求解.体现了高考试题对于同一考点可以变换角度与变换题型进行考查.【对点训练】1.(2024·曲靖模拟)已知0<x<5,则x5-xA.1 B.2 C.52 D.【解析】选C.因为0<x<5所以x5-x2=x当且仅当x2=5x2,即x=102时,所以x5-x2.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选D.方法一:由条件得y=x5由x>0,y>0知x>35从而3x+4y=3x+4x5x-3=3x+4x-35+12当且仅当3x-35=1225x-35,故3x+4y的最小值为5.方法二:对原条件式转化得3x+1则3x+4y=153x+1当且仅当12yx=3xy,x+3y=5xy,即x=1,y=12时取等号.故3x3.(2024·吉林模拟)已知关于x的不等式(2a+3m)x2(b3m)x1>0(a>0,b>0)的解集为(∞,1)∪(12,+∞),则下列结论错误的是(A.2a+b=1B.ab的最大值为1C.1a+2bD.1a+1b的最小值为【解析】选C.由题意,不等式(2a+3m)x2(b3m)x1>0的解集为(∞,1)∪12,+∞,可得2a+3m>0,且方程(2a+3m)x2(b3m)x1=0的两根分别为所以-1+所以2a+3m=2,b3m=1,所以2a+b=1,所以A正确,不符合题意;因为a>0,b>0,所以2a+b=1≥22ab,可得ab≤当且仅当2a=b=12时取等号,所以ab的最大值为18,所以B正确,由1a+2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba当且仅当ba=4ab时,即2a=b=12时取等号,所以1a+2b的最小值为8,由1a+1b=(1a+1b)(2a+b)=3+ba+2当且仅当ba=2ab时,即b=2a=21所以1a+1b的最小值为3+22,所以D正确4.已知ab>0,a+b=1,则a+4bab【解析】因为ab>0,a+b=1,所以a+4bab=a+b1b+4a=ab+4ba+5≥2ab·4ba+5=9,当且仅当ab答案:9考点二基本不等式的综合应用[例6](1)对任意m,n∈(0,+∞),都有m2amn+2n2≥0,则实数a的最大值为 ()A.2 B.22 C.4 D【解析】选B.因为对任意m,n∈(0,+∞),都有m2amn+2n2≥0,所以m2+2n2≥amn,即a≤m2+2n2mn=因为mn+2nm≥2当且仅当mn=2nm,即m=2n所以a≤22,故实数a的最大值为2(2)已知正数x,y满足4x+9y=xy且x+y<m224m有解,则实数m的取值范围是________.

【解析】由已知,得4y+9x=1,x+y=(x+y)·(4y+9x)=4x当且仅当4xy=9yx,即x=15,y=10由题意得,(x+y)min<m224m,即m224m>25,解得m<1或m>25.答案:(∞,1)∪(25,+∞)【解题技法】利用基本不等式求解综合问题的求解策略(1)当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值.(2)求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用基本不等式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围.【对点训练】1.(多选题)实数x,y满足xy+3x=30<x<12,若3x+1y-3<m22mA.3 B.2 C.4 D.5【解析】选AD.因为实数x,y满足xy+3x=3(0<x<12),则x=3y+3,由0<3y+3所以3x+1y-3=y+3+1y-3当且仅当y=4时,等号成立,所以m22m>8,即m22m8>0,解得m<2或m>4.2.(2024·潮州模拟)正实数x,y满足1x+4y=2,且不等式x+y4≥m2m恒成立,则实数m【解析】因为不等式x+y4≥m2m恒成立所以(x+y4)因为x>0,y>0,且1x+4所以x+y4=12(x+y4)(1x+4y)=2当且仅当2xy=y8x,即x=1,y=4时,等号成立,所以(x+即(m+1)(m2)≤0,解得1≤m≤2.答案:-【加练备选】若∃x∈12,2,使得2x2λx+1<0成立是假命题,则实数λ的可能取值是A.22 B.23 C.4 D.5【解析】选A.因为原命题为假命题,所以其否定:∀x∈12,2,2x2λx即∀x∈12,2,λ≤2x又2x+1x≥22x·1x=22(当且仅当2x=1x,即x=22时取等号),所以λ的取值范围为-∞,考点三基本不等式的实际应用[例7](2024·长沙模拟)民族要复兴,乡村要振兴,合作社助力乡村产业振兴,农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量,为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献,某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工,已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元,每代加工x万件该品牌服装,需另投入fx万元,且fx=12x2+2x,0<x(1)求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y(单位:万元)关于年代加工量x(单位:万件)的函数解析式.(2)当年代加工量为多少万件时,该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利润的最大值.【解析】(1)当0<x≤10时,y=12x12x2+2x30=12当10<x≤50时,y=12x14x+450x-11530=故y=-【解析】(2)当0<x≤10时,函数y=12x2+10x30为开口向下的二次函数,且对称轴为直线x所以y=12x2+10x30在0,故ymax=12×102+10×1030=20(万元当10<x≤50时,y=2x450x+85=2x+450x当且仅当2x=450x,即x=15时,等号成立即当x=15时,ymax=25(万元).因为20<25,所以当年代加工量为15万件时,该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大,最大值为25万元.【解题技法】有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.【对点训练】如图,某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD,公园由矩形的休闲区(阴影部分)A1B1C1D1和环公园人行道组成,已知休闲区A1B1C1D1的面积为1000m2,人行道的宽分别为5m和8m,设休闲区的长为xm.(1)求矩形ABCD所占面积S(单位:m2)关于x的函数解析式;(2)要使公园所占面积最小,问:休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为多少?【解析】(1)因为休闲区的长为xm,休闲区A1B1C1D1的面积为1000m2,所以休闲区的宽为1000xm,从而矩形ABCD的长与宽分别为(x+16)m,(1000x+10)m,因此矩形ABCD所占面积S=(x+16)(1(2)S=(x+16)(1000x+10)=10(x+1600x)+1160≥10×2x·1600x+1160=1960,当且仅当x=1600x,即x=40时,取等号,则休闲区的宽为1【加练备选】一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比;若在距离车站10km处建仓库,则y1和y2分别为2万元和8万元,这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小?并求出该值.【解析】设y1=kx,y2=tx,当x=10时,k10=2,10t=8,所以k=20,t=0.8,所以y1=20x,y2=0.所以两项费用之和为z=y1+y2=20x+0.8x≥220x当且仅当20x=0.8x,即当x=5时等号成立即应将仓库建在距离车站5km处,才能使两项费用之和最小,且最小费用为8万元.【重难突破】柯西不等式柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式,除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外,柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中,借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果.1.柯西不等式的代数形式设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.推广:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则(a12+a22+…+an2)(b1(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.2.柯西不等式的向量形式设α,β为平面上的两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.3.柯西不等式的三角不等式设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数,则(x1-x2类型一利用柯西不等式求最值[例1](1)(2023·浙江统考模拟)若sinx+cosy+sin(x+y)=2,则sinx的最小值是()A.0 B.23 C.37 D.1【解析】选C.由已知sinx+cosy+sinxcosy+cosxsiny=2整理得2sinx=(sinx+1)cosy+cosxsiny,由柯西不等式得(sinx+1)cosy+cosxsiny≤(sinx=2+2sinx当且仅当(sinx+1)siny=cosycosx时取等号,所以(2sinx)2≤2+2sinx,即sin2x6sinx+2≤0,解得37≤sinx≤1,所以sinx的最小值为37.(2)函数f(x)=25-x+x-4的最大值及取得最大值时xA.5,215 B.3,C.13,6113 D.29,【解析】选A.由柯西不等式可知,(25-x+x-4)2≤(22+12)[(5-x)所以25-x+x-4≤5,当且仅当2x-4=5-故函数f(x)=25-x+x-4的最大值及取得最大值时x的值分别为【解题技法】柯西不等式求解最值的策略关键是构建条件与结论之间的联系,通过合理的恒等变形与配凑转化,使之符合柯西不等式的结构,利用柯西不等式来转化所求的代数关系式,联系条件来确定对应的最值问题.【对点训练】1.已知x>0,y>0,x24+y2=1,则22x+2y【解析】由柯西不等式得(x24+y2)(12+12)≥(x2×1+y×1)2=(x2+y)2,所以1×2≥(x2当且仅当x2=y,即x=2,y=22所以x2+y≤2,即22x+2y的最大值是答案:22.函数y=22-x+2x【解析】因为y=22-x+2x-3=2-x(2-x当且仅当2-x=2x-3,即所以函数y的最大值为3.答案:3类型二利用柯西不等式证明不等式[例2](1)若直线xa+yb=1过点M(cosα,sinα),则 (A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1C.1a2+1b2≤1 D.【解析】选D.由柯西不等式,得[(1a)2+(1b)2](cos2α+sin2α)≥(cosαa+sinαb)2,当且仅当sin又因为点M在直线xa+yb=1上,即cosαa+sinαb=1,代入上式,(2)已知a1,a2,b1,b2为正实数,求证:(a1b1+a2b2)·(a1b1+a2b2)≥(a1【证明】(a1b1+a2b2)(a1b1+a2b2)=[(a1b1)2+(a2b2)2≥(a1b1·a1b1+a2b2·a2b当且仅当b1=b2时,等号成立.【解题技法】柯西不等式证明不等式成立的策略(1)结合所要证明的不等式,引入一次线性关系式进行配凑,利用