专题11立体几何中的点面距离问题(原卷版+解析)

专题11立体几何中的点面距离问题【方法总结】应用等体积转化法求解点到平面的距离等体积转化法就是通过变换几何体的底面，利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式构造方程来求解相关问题的方法，主要用于立体几何中求解点到面的距离．关键是准确把握三棱锥底面的特征，选择的底面应具备两个特征：一是底面的形状规则，即面积可求；二是底面上的高比较明显，即线面垂直关系比较直接．【例题选讲】[例1](2019·全国Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．解析(1)连接B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝eq\f(1,2)A1D．由题设知A1B1綊DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE．(2)过点C作C1E的垂线，垂足为H．由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C⊂平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH．又C1E∩DE＝E，所以CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝eq\r(17)，故CH＝eq\f(4\r(17),17)．从而点C到平面C1DE的距离为eq\f(4\r(17),17)．[例2]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA＝PD＝eq\r(17)，E为PA的中点，点F在PD上且EF⊥平面PCD，M在DC延长线上，FH∥DM，交PM于点H，且FH＝1．(1)证明：EF∥平面PBM；(2)求点M到平面ABP的距离．解析(1)证明：取PB的中点G，连接EG，HG，则EG∥AB，且EG＝1，∵FH∥DM，且FH＝1，又AB∥DM，∴EG∥FH，EG＝FH，即四边形EFHG为平行四边形，∴EF∥GH．又EF⊄平面PBM，GH⊂平面PBM，∴EF∥平面PBM．(2)∵EF⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴EF⊥CD．∵AD⊥CD，EF和AD显然相交，EF，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD．取AD的中点O，连接PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD．又平面ABCD∩平面PAD＝AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，∵AB∥CD，∴AB⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴PA⊥AB，在等腰三角形PAD中，PO＝eq\r(PA2－AO2)＝eq\r(17－1)＝4．设点M到平面ABP的距离为h，连接AM，利用等体积可得VM－ABP＝VP－ABM，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(17)×h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×4，∴h＝eq\f(8,\r(17))＝eq\f(8\r(17),17)，∴点M到平面PAB的距离为eq\f(8\r(17),17)．[例3]如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，PA＝PB＝eq\r(2)．(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)求点D到平面APC的距离．解析(1)证明：取AB的中点O，连接PO，CO，(图略)，由PA＝PB＝eq\r(2)，AB＝2知△PAB为等腰直角三角形，∴PO⊥AB，PO＝1，由AB＝BC＝2，∠ABC＝60°知△ABC为等边三角形，∴CO＝eq\r(3)．又由PC＝2得PO2＋CO2＝PC2，∴PO⊥CO，又AB∩CO＝O，∴PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．(2)由题知△ADC是边长为2的等边三角形，△PAC为等腰三角形，设点D到平面APC的距离为h，由VD­PAC＝VP­ADC得eq\f(1,3)S△PAC·h＝eq\f(1,3)S△ADC·PO．∵S△ADC＝eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，S△PAC＝eq\f(1,2)PA·eq\r(PC2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PA))2)＝eq\f(\r(7),2)，∴h＝eq\f(S△ADC·PO,S△PAC)＝eq\f(\r(3)×1,\f(\r(7),2))＝eq\f(2\r(21),7)，即点D到平面APC的距离为eq\f(2\r(21),7)．[例4]如图，在单位正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AD，BC1的中点．(1)求证：EF∥平面C1CDD1；(2)在线段A1B上是否存在点G，使EG⊥平面A1BC1？若存在，求点G到平面C1DF的距离；若不存在，请说明理由．解析(1)证明：取BC的中点M，连接EM，FM，∵E，F分别是AD，BC1的中点，∴EM∥DC，FM∥C1C，EM⊂平面EFM，FM⊂平面EFM，EM∩FM＝M，DC⊂平面C1CDD1，C1C⊂平面C1CDD1，DC∩C1C＝C，∴平面EFM∥平面C1CDD1，而EF⊂平面EFM，∴EF∥平面C1CDD1．(2)取A1B的中点G，连接EG，EA1，EB，易知EA1＝EB，而G为中点，∴EG⊥A1B．连接FG，则FG∥A1C1，∵正方体棱长为1，在△A1BC1中，FG＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)．在Rt△FME中，EF＝eq\f(\r(5),2)，在Rt△EAG中，EG＝eq\f(\r(3),2)，∴FG2＋EG2＝FE2，即EG⊥FG，故EG⊥A1C1，又A1B，A1C1⊂平面A1BC1，A1B∩A1C1＝A1，∴EG⊥平面A1BC1．点G到平面C1DF的距离就是点G到平面C1DB的距离．∵GA∥C1D，∴GA∥平面C1DB，∴点G到平面C1DB的距离就是点A到平面C1DB的距离．易知S△BDC1＝eq\f(\r(3),2)，S△ABD＝eq\f(1,2)，点C1到平面ABD的距离为1，设点G到平面C1DF的距离为d，由VC1­ABD＝VA­BDC1得eq\f(1,3)×1×S△ABD＝eq\f(1,3)·d·S△BDC1，即eq\f(1,2)＝d·eq\f(\r(3),2)，∴d＝eq\f(\r(3),3)，即点G到平面C1DF的距离为eq\f(\r(3),3)．[例5]如图1，四边形ABCD为等腰梯形，AB＝2，AD＝DC＝CB＝1，将△ADC沿AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，E为AB的中点，连接DE，DB(如图2)．(1)求证：BC⊥AD；(2)求点E到平面BCD的距离．解析(1)作CH⊥AB于点H，则BH＝eq\f(1,2)，AH＝eq\f(3,2)，又BC＝1，∴CH＝eq\f(\r(3),2)，∴CA＝eq\r(3)，∴AC⊥BC，∵平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ADC，又AD⊂平面ADC，∴BC⊥AD．(2)∵E为AB的中点，∴点E到平面BCD的距离等于点A到平面BCD距离的一半．而平面ADC⊥平面BCD，∴过A作AQ⊥CD于Q，又∵平面ADC∩平面BCD＝CD，且AQ⊂平面ADC，∴AQ⊥平面BCD，AQ就是点A到平面BCD的距离．由(1)知AC＝eq\r(3)，AD＝DC＝1，∴cos∠ADC＝eq\f(12＋12－(\r(3))2,2×1×1)＝－eq\f(1,2)，又0<∠ADC<π，∴∠ADC＝eq\f(2π,3)，∴在Rt△QAD中，∠QDA＝eq\f(π,3)，AD＝1，∴AQ＝AD·sin∠QDA＝1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)．∴点E到平面BCD的距离为eq\f(\r(3),4)．[例6]如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝eq\f(1,3)AB＝1．现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB，AC．(1)在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC?(2)当点P为AB边的中点时，求点B到平面MPC的距离．解析(1)当AP＝eq\f(1,3)AB时，有AD∥平面MPC．理由如下：连接BD交MC于点N，连接NP．在梯形MBCD中，DC∥MB，eq\f(DN,NB)＝eq\f(DC,MB)＝eq\f(1,2)，在△ADB中，eq\f(AP,PB)＝eq\f(1,2)，∴AD∥PN．∵AD⊄平面MPC，PN⊂平面MPC，∴AD∥平面MPC．(2)∵平面AMD⊥平面MBCD，平面AMD∩平面MBCD＝DM，AM⊥DM，∴AM⊥平面MBCD．∴VP­MBC＝eq\f(1,3)×S△MBC×eq\f(AM,2)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)．在△MPC中，MP＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(5),2)，MC＝eq\r(2)，又PC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋12)＝eq\f(\r(5),2)，∴S△MPC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(6),4)．∴点B到平面MPC的距离为d＝eq\f(3VP­MBC,S△MPC)＝eq\f(3×\f(1,6),\f(\r(6),4))＝eq\f(\r(6),3)．【对点训练】1．(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．2．(2013·江西)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r(2)，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3．(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离．3．如图，在三棱锥A—BCD中，△ABC是等腰直角三角形，且AC⊥BC，BC＝2，AD⊥平面BCD，AD＝1．(1)求证：平面ABC⊥平面ACD；(2)若E为AB的中点，求点A到平面CED的距离．4．已知三棱锥P－ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝3，O是AB的中点，E是PB的中点．(1)证明：平面PAB⊥平面ABC；(2)求点B到平面OEC的距离．5．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形．(1)求证：平面DEC⊥平面BDE；(2)求点A到平面BDE的距离．6．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．(1)证明：PF⊥FD；(2)若PA＝1，求点E到平面PFD的距离．7．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC＝3PN．(1)求证：MN∥平面PAB；(2)求点M到平面PAN的距离．8．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为PC的中点．(1)求证：PC⊥AD；(2)求点D到平面PAM的距离．9．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝BC＝2a，AC＝2eq\r(3)a，E是PA的中点．(1)求证：平面BED⊥平面PAC；(2)求点E到平面PBC的距离．10．如图1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)CP，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使点P到达点P′的位置得到图2，点M为棱P′C上的动点．①当M在何处时，平面ADM⊥平面P′BC，并证明；②若AB＝2，∠P′DC＝135°，证明：点C到平面P′AD的距离等于点P′到平面ABCD的距离，并求出该距离．11．如图1，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起来至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2eq\r(5)．(1)求证：PF⊥平面ABED；(2)求点A到平面PBE的距离．图1图212．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图所示的空间几何体．(1)求证：AB⊥平面ADC；(2)若AD＝1，AB＝eq\r(2)，求点B到平面ADE的距离．专题11立体几何中的点面距离问题【方法总结】应用等体积转化法求解点到平面的距离等体积转化法就是通过变换几何体的底面，利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式构造方程来求解相关问题的方法，主要用于立体几何中求解点到面的距离．关键是准确把握三棱锥底面的特征，选择的底面应具备两个特征：一是底面的形状规则，即面积可求；二是底面上的高比较明显，即线面垂直关系比较直接．【例题选讲】[例1](2019·全国Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．解析(1)连接B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝eq\f(1,2)A1D．由题设知A1B1綊DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE．(2)过点C作C1E的垂线，垂足为H．由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C⊂平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH．又C1E∩DE＝E，所以CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝eq\r(17)，故CH＝eq\f(4\r(17),17)．从而点C到平面C1DE的距离为eq\f(4\r(17),17)．[例2]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA＝PD＝eq\r(17)，E为PA的中点，点F在PD上且EF⊥平面PCD，M在DC延长线上，FH∥DM，交PM于点H，且FH＝1．(1)证明：EF∥平面PBM；(2)求点M到平面ABP的距离．解析(1)证明：取PB的中点G，连接EG，HG，则EG∥AB，且EG＝1，∵FH∥DM，且FH＝1，又AB∥DM，∴EG∥FH，EG＝FH，即四边形EFHG为平行四边形，∴EF∥GH．又EF⊄平面PBM，GH⊂平面PBM，∴EF∥平面PBM．(2)∵EF⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴EF⊥CD．∵AD⊥CD，EF和AD显然相交，EF，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD．取AD的中点O，连接PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD．又平面ABCD∩平面PAD＝AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，∵AB∥CD，∴AB⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴PA⊥AB，在等腰三角形PAD中，PO＝eq\r(PA2－AO2)＝eq\r(17－1)＝4．设点M到平面ABP的距离为h，连接AM，利用等体积可得VM－ABP＝VP－ABM，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(17)×h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×4，∴h＝eq\f(8,\r(17))＝eq\f(8\r(17),17)，∴点M到平面PAB的距离为eq\f(8\r(17),17)．[例3]如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，PA＝PB＝eq\r(2)．(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)求点D到平面APC的距离．解析(1)证明：取AB的中点O，连接PO，CO，(图略)，由PA＝PB＝eq\r(2)，AB＝2知△PAB为等腰直角三角形，∴PO⊥AB，PO＝1，由AB＝BC＝2，∠ABC＝60°知△ABC为等边三角形，∴CO＝eq\r(3)．又由PC＝2得PO2＋CO2＝PC2，∴PO⊥CO，又AB∩CO＝O，∴PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．(2)由题知△ADC是边长为2的等边三角形，△PAC为等腰三角形，设点D到平面APC的距离为h，由VD­PAC＝VP­ADC得eq\f(1,3)S△PAC·h＝eq\f(1,3)S△ADC·PO．∵S△ADC＝eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，S△PAC＝eq\f(1,2)PA·eq\r(PC2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PA))2)＝eq\f(\r(7),2)，∴h＝eq\f(S△ADC·PO,S△PAC)＝eq\f(\r(3)×1,\f(\r(7),2))＝eq\f(2\r(21),7)，即点D到平面APC的距离为eq\f(2\r(21),7)．[例4]如图，在单位正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AD，BC1的中点．(1)求证：EF∥平面C1CDD1；(2)在线段A1B上是否存在点G，使EG⊥平面A1BC1？若存在，求点G到平面C1DF的距离；若不存在，请说明理由．解析(1)证明：取BC的中点M，连接EM，FM，∵E，F分别是AD，BC1的中点，∴EM∥DC，FM∥C1C，EM⊂平面EFM，FM⊂平面EFM，EM∩FM＝M，DC⊂平面C1CDD1，C1C⊂平面C1CDD1，DC∩C1C＝C，∴平面EFM∥平面C1CDD1，而EF⊂平面EFM，∴EF∥平面C1CDD1．(2)取A1B的中点G，连接EG，EA1，EB，易知EA1＝EB，而G为中点，∴EG⊥A1B．连接FG，则FG∥A1C1，∵正方体棱长为1，在△A1BC1中，FG＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)．在Rt△FME中，EF＝eq\f(\r(5),2)，在Rt△EAG中，EG＝eq\f(\r(3),2)，∴FG2＋EG2＝FE2，即EG⊥FG，故EG⊥A1C1，又A1B，A1C1⊂平面A1BC1，A1B∩A1C1＝A1，∴EG⊥平面A1BC1．点G到平面C1DF的距离就是点G到平面C1DB的距离．∵GA∥C1D，∴GA∥平面C1DB，∴点G到平面C1DB的距离就是点A到平面C1DB的距离．易知S△BDC1＝eq\f(\r(3),2)，S△ABD＝eq\f(1,2)，点C1到平面ABD的距离为1，设点G到平面C1DF的距离为d，由VC1­ABD＝VA­BDC1得eq\f(1,3)×1×S△ABD＝eq\f(1,3)·d·S△BDC1，即eq\f(1,2)＝d·eq\f(\r(3),2)，∴d＝eq\f(\r(3),3)，即点G到平面C1DF的距离为eq\f(\r(3),3)．[例5]如图1，四边形ABCD为等腰梯形，AB＝2，AD＝DC＝CB＝1，将△ADC沿AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，E为AB的中点，连接DE，DB(如图2)．(1)求证：BC⊥AD；(2)求点E到平面BCD的距离．解析(1)作CH⊥AB于点H，则BH＝eq\f(1,2)，AH＝eq\f(3,2)，又BC＝1，∴CH＝eq\f(\r(3),2)，∴CA＝eq\r(3)，∴AC⊥BC，∵平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ADC，又AD⊂平面ADC，∴BC⊥AD．(2)∵E为AB的中点，∴点E到平面BCD的距离等于点A到平面BCD距离的一半．而平面ADC⊥平面BCD，∴过A作AQ⊥CD于Q，又∵平面ADC∩平面BCD＝CD，且AQ⊂平面ADC，∴AQ⊥平面BCD，AQ就是点A到平面BCD的距离．由(1)知AC＝eq\r(3)，AD＝DC＝1，∴cos∠ADC＝eq\f(12＋12－(\r(3))2,2×1×1)＝－eq\f(1,2)，又0<∠ADC<π，∴∠ADC＝eq\f(2π,3)，∴在Rt△QAD中，∠QDA＝eq\f(π,3)，AD＝1，∴AQ＝AD·sin∠QDA＝1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)．∴点E到平面BCD的距离为eq\f(\r(3),4)．[例6]如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝eq\f(1,3)AB＝1．现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB，AC．(1)在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC?(2)当点P为AB边的中点时，求点B到平面MPC的距离．解析(1)当AP＝eq\f(1,3)AB时，有AD∥平面MPC．理由如下：连接BD交MC于点N，连接NP．在梯形MBCD中，DC∥MB，eq\f(DN,NB)＝eq\f(DC,MB)＝eq\f(1,2)，在△ADB中，eq\f(AP,PB)＝eq\f(1,2)，∴AD∥PN．∵AD⊄平面MPC，PN⊂平面MPC，∴AD∥平面MPC．(2)∵平面AMD⊥平面MBCD，平面AMD∩平面MBCD＝DM，AM⊥DM，∴AM⊥平面MBCD．∴VP­MBC＝eq\f(1,3)×S△MBC×eq\f(AM,2)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)．在△MPC中，MP＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(5),2)，MC＝eq\r(2)，又PC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋12)＝eq\f(\r(5),2)，∴S△MPC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(6),4)．∴点B到平面MPC的距离为d＝eq\f(3VP­MBC,S△MPC)＝eq\f(3×\f(1,6),\f(\r(6),4))＝eq\f(\r(6),3)．【对点训练】1．(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．1．解析(1)证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以PO⊥AC，且PO＝2eq\r(3)．连接OB，因为AB＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2．所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB．又因为AC∩OB＝O，所以PO⊥平面ABC．(2)作CH⊥OM，垂足为H，又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝eq\f(1,2)AC＝2，CM＝eq\f(2,3)BC＝eq\f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°，所以OM＝eq\f(2\r(5),3)，CH＝eq\f(OC·MC·sin∠ACB,OM)＝eq\f(4\r(5),5)．所以点C到平面POM的距离为eq\f(4\r(5),5)．2．(2013·江西)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r(2)，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3．(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离．2．解析(1)过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝eq\r(2)，EF＝AB－DE＝1，FC＝2．在Rt△BFE中，BE＝eq\r(3)．在Rt△CFB中，BC＝eq\r(6)．在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC．由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，又BB1∩BC＝B，所以BE⊥平面BB1C1C．(2)三棱锥E－A1B1C1的体积V＝eq\f(1,3)AA1·＝eq\r(2)．在Rt△A1D1C1中，A1C1＝eq\r(A1D\o\al(2,1)＋D1C\o\al(2,1))＝3eq\r(2)．同理，EC1＝eq\r(EC2＋CC\o\al(2,1))＝3eq\r(2)，A1E＝eq\r(A1A2＋AD2＋DE2)＝2eq\r(3)．故＝3eq\r(5)．设点B1到平面A1C1E的距离为d，则三棱锥B1－A1C1E的体积V＝eq\f(1,3)·d·＝eq\r(5)d，从而eq\r(5)d＝eq\r(2)，d＝eq\f(\r(10),5)．即点B1到平面EA1C1的距离为eq\f(\r(10),5)．3．如图，在三棱锥A—BCD中，△ABC是等腰直角三角形，且AC⊥BC，BC＝2，AD⊥平面BCD，AD＝1．(1)求证：平面ABC⊥平面ACD；(2)若E为AB的中点，求点A到平面CED的距离．3．解析(1)因为AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以AD⊥BC，又AC⊥BC，AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD．(2)由已知可得CD＝eq\r(3)，取CD的中点F，连接EF，因为E为AB的中点，所以ED＝EC＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(2)，所以△ECD为等腰三角形，从而EF＝eq\f(\r(5),2)，所以S△ECD＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(\r(5),2)＝eq\f(\r(15),4)．由(1)知BC⊥平面ACD，所以E到平面ACD的距离为1，S△ACD＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),2)．设点A到平面CED的距离为d，则V三棱锥A—ECD＝eq\f(1,3)·S△ECD·d＝V三棱锥E—ACD＝eq\f(1,3)·S△ACD·1，解得d＝eq\f(2\r(5),5)．4．已知三棱锥P－ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝3，O是AB的中点，E是PB的中点．(1)证明：平面PAB⊥平面ABC；(2)求点B到平面OEC的距离．4．解析(1)连接PO，在△PAB中，PA＝PB,O是AB中点，∴PO⊥AB，又∵AC＝BC＝2,AC⊥BC，∴AB＝2eq\r(2)，OB＝OC＝eq\r(2)．∵PA＝PB＝PC＝3，∴PO＝eq\r(7)，PC2＝PO2＋OC2，∴PO⊥OC．又AB∩OC＝O,AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．(2)∵OE是△PAB的中位线，∴OE＝eq\f(3,2)．∵O是AB的中点，AC＝BC，∴OC⊥AB．又平面PAB⊥平面ABC，两平面的交线为AB，∴OC⊥平面PAB，∵OE⊂平面PAB，∴OC⊥OE．设点B到平面OEC的距离为d，则VB－OEC＝VE－OBC，∴eq\f(1,3)×S△OEC·d＝eq\f(1,3)×S△OBC×eq\f(1,2)OP，d＝eq\f(S△OBC·\f(1,2)OP,S△OEC)＝eq\f(\f(1,2)OB·OC·\f(1,2)OP,\f(1,2)OE·OC)＝eq\f(\r(14),3)．5．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形．(1)求证：平面DEC⊥平面BDE；(2)求点A到平面BDE的距离．5．解析(1)因为四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，所以BD＝eq\r(13)，又因为BC＝7，CD＝6，所以根据勾股定理可得BD⊥CD，因为BE＝7，DE＝6，同理可得BD⊥DE．因为DE∩CD＝D，DE⊂平面DEC，CD⊂平面DEC，所以BD⊥平面DEC.因为BD⊂平面BDE，所以平面DEC⊥平面BDE．(2)如图，取CD的中点O，连接OE，因为△DCE是边长为6的正三角形，所以EO⊥CD，EO＝3eq\r(3)，由(1)易知EO⊥平面ABCD，则VE－ABD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×3×3eq\r(3)＝3eq\r(3)，又因为Rt△BDE的面积为eq\f(1,2)×6×eq\r(13)＝3eq\r(13)，设点A到平面BDE的距离为h，则由VE－ABD＝VA－BDE，得eq\f(1,3)×3eq\r(13)h＝3eq\r(3)，所以h＝eq\f(3\r(39),13)，所以点A到平面BDE的距离为eq\f(3\r(39),13)．6．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．(1)证明：PF⊥FD；(2)若PA＝1，求点E到平面PFD的距离．6．解析(1)证明：连接AF，则AF＝eq\r(2)，又DF＝eq\r(2)，AD＝2，所以DF2＋AF2＝AD2，所以DF⊥AF．因为PA⊥平面ABCD，所以DF⊥PA，又PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF，又PF⊂平面PAF，所以DF⊥PF．(2)连接EP，ED，EF．因为S△EFD＝S矩形ABCD－S△BEF－S△ADE－S△CDF＝2－eq\f(5,4)＝eq\f(3,4)，所以V三棱锥P－EFD＝eq\f(1,3)S△EFD·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×1＝eq\f(1,4)．设点E到平面PFD的距离为h，则由V三棱锥E－PFD＝V三棱锥P－EFD得eq\f(1,3)S△PFD·h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(6),2)·h＝eq\f(1,4)，解得h＝eq\f(\r(6),4)，即点E到平面PFD的距离为eq\f(\r(6),4)．7．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC＝3PN．(1)求证：MN∥平面PAB；(2)求点M到平面PAN的距离．7．解析(1)证明：在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H，连接AH，在△PBC中，NH∥BC，且NH＝eq\f(1,3)BC＝1，AM＝eq\f(1,2)AD＝1，又AD∥BC，∴NH∥AM且NH＝AM，∴四边形AMNH为平行四边形，∴MN∥AH，又AH⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB．(2)连接AC，MC，PM，平面PAN即为平面PAC，设点M到平面PAC的距离为h．由题意可得CD＝2eq\r(2)，AC＝2eq\r(3)，∴S△PAC＝eq\f(1,2)PA·AC＝4eq\r(3)，S△AMC＝eq\f(1,2)AM·CD＝eq\r(2)，由VM­PAC＝VP­AMC，得eq\f(1,3)S△PAC·h＝eq\f(1,3)S△AMC·PA，即4eq\r(3)h＝eq\r(2)×4，∴h＝eq\f(\r(6),3)，∴点M到平面PAN的距离为eq\f(\r(6),3)．8．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为PC的中点．(1)求证：PC⊥AD；(2)求点D到平面PAM的距离．8．解析(1)证明：如图，取AD的中点O，连接OP，OC，AC，由题意易知△ACD为正三角形．所以OC⊥AD，又△PAD是正三角形，O为AD的中点，所以OP⊥AD，又OC∩OP＝O，所以AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，所以PC⊥AD．(2)点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由(1)可知，PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P－ACD的高．在Rt△POC中，PO＝OC＝eq\r(3)，PC＝eq\r(6)，在△PAC中，PA＝AC＝2，PC＝eq\r(6)，边PC上的高AM＝eq\r(PA2－PM2)＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＝eq\f(\r(10),2)，所以S△PAC＝eq\f(1,2)PC·AM＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(\r(10),2)＝eq\f(\r(15),2)．设点D到平面PAC的距离为h，由VD­PAC＝VP­ACD，得eq\f(1,3)S△PAC·h＝eq\f(1,3)S△ACD·PO，又S△ACD＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(15),2)·h＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)，解得h＝eq\f(2\r(15),5)．故点D到平面PAM的距离为eq\f(2\r(15),5)．9．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝BC＝2a，AC＝2eq\r(3)a，E是PA的中点．(1)求证：平面BED⊥平面PAC；(2)求点E到平面PBC的距离．9．解析(1)证明：在平行四边形ABCD中，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD，又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BED，∴平面BED⊥平面PAC．(2)设AC交BD于点O，连接OE，如图．在△PCA中，易知O为AC的中点，又E为PA的中点，∴EO∥PC，∵PC⊂平面PBC，EO⊄平面PBC，∴EO∥平面PBC．∴点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离．∵PC⊥平面ABCD，PC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，且两平面的交线为BC．在平面ABCD内过点O作OH⊥BC于点H，则OH⊥平面PBC，在Rt△BOC中，BC＝2a，OC＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(3)a，∴OB＝a．由S△BOC＝eq\f(1,2)OC·OB＝eq\f(1,2)BC·OH，得OH＝eq\f(OB·OC,BC)＝eq\f(a·\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2)a，∴点E到平面PBC的距离为eq\f(\r(3),2)a．10．如图1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)CP，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使点P到达点P′的位置得到图2，点M为棱P′C上的动点．①当M在何处时，平面ADM⊥平面P′BC，并证明；②若AB＝2，∠P′DC＝135°，证明：点C到平面P′AD的距离等于点P′到平面ABCD的距离，并求出该距离．10．解析①当点M为P′C的中点时，平面ADM⊥平面P′BC，证明如下：∵DP′＝DC，M为P′C的中点，∴P′C⊥DM，∵AD⊥DP′，AD⊥DC，DP′∩DC＝D，∴AD⊥平面DP′C，∴AD