高考数学核心考点专题训练专题22等差数列与等比数列(原卷版+解析)

专题22等差数列与等比数列一、单选题（本大题共10小题，共50分）在各项均为正数的等比数列an中，公比q∈0,1，若a3+a5=5,a2⋅a6=4，数列log2aA.8 B.9 C.8或9 D.17已知数列{an}的前n项和为Sn，若1，an，Sn成等差数列，则数列A.1−12n−1 B.12(1−已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=−2a2=6，anA.4+122020 B.4+122018若数列an为等差数列，bn为等比数列，且满足：a1+a2020=27，b1⋅b2020=2，函数A.e B.e2 C.e−1 在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈(0,1)，若a3+a5=5，a2a6=4，bnA.8 B.8或9 C.9 D.17已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S1，2S2，3S3A.(−∞,−3) B.(−3,+∞) C.(−1,+∞) D.(−∞,−1)若数列an满足：n增大时，anan+1无限接近5−12，则称数列anA.a1=1，an+1=anan+1 B.a1=1，a2已知数列an满足对1≤n≤3时，an=n，且对∀n∈N∗，有an+3+an+1A.2448 B.2525 C.2533 D.2652在数列an中且a2020=23,A.72 B.27 C.13已知数列{an}满足a1a2a3⋯aA.(13,+∞) B.[13,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20分）若数列an的首项a1=2，且an+1=3an+2已知数列{an}满足an>0，前n项和为Sn，若a3=3，且对任意的k∈N ∗，均有a2k2在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈(0,1).若a3+a5=5，a2a6=4，bn=log正项等比数列{an}满足a1+a3=54，且2a2，12三、解答题（本大题共4小题，共30分）已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1−2an(n∈N∗).

(Ⅰ)证明：数列{an+1−已知等差数列{an}的公差不为零，a4=1，且a4，a5，a7成等比数列，数列{(Ⅰ)求数列{an}(Ⅱ)若数列{cn}满足：c1=−12已知正项数列{an}满足a1=1，an−1−an=(1)求数列{an}(2)设Tn=b1已知数列{an}，Sn是an的前n项的和，且满足Sn=2an(1)求{an}(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，设cn=(−1)专题22等差数列与等比数列一、单选题（本大题共10小题，共50分）在各项均为正数的等比数列an中，公比q∈0,1，若a3+a5=5,a2⋅a6=4，数列log2A.8 B.9 C.8或9 D.17【答案】C【解析】解：∵{an}是等比数列且a3+a5=5，a2a6=4，公比q∈(0,1)

∴a3+a5=5a3a5=4

解得：a3=4，a5=1

∴q=12，∴a1=16

则an=16⋅(12)n−1

∴bn=log2已知数列{an}的前n项和为Sn，若1，an，SnA.1−12n−1 B.12(1−【答案】D【解析】解：因为1，an，Sn成等差数列，

所以2an=Sn+1．

当n=1时，2a1=a1+1，所以a1=1；

当n≥2时，2an−1=Sn−1+1，

所以2an−2a已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=−2a2=6，A.4+122020 B.4+122018【答案】D【解析】解：由题意，2an+2=an+an+1，故an+2−an+1an+1−an=an+1+an2−an+1an+1−an=−12，且a2−a1=−9，

所以{an+1若数列an为等差数列，bn为等比数列，且满足：a1+a2020=27，b1⋅b2020=2A.e B.e2 C.e−1 【答案】A【解析】解：数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且满足：a1+a2020=27，b1⋅b2020=2，

所以f(a1010+在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈(0,1)，若a3+a5=5，a2a6=4，bA.8 B.8或9 C.9 D.17【答案】B【解析】解：∵{an}是等比数列且a3+a5=5，a2a6=4，公比q∈(0,1)，

∴a3+a5=5a3a5=a2a6=4，解得：a3=4，a5=1，q=12，

∴a1=16，

因此an=16×(12)n−1，

∴bn=log已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S1，2S2，3SA.(−∞,−3) B.(−3,+∞) C.(−1,+∞) D.(−∞,−1)【答案】B【解析】由题意，得4S2=S1+3S3，化简得a2=3a3，所以公比q=13，

又a1a2=a3，得a1=1若数列an满足：n增大时，anan+1无限接近5−12，则称数列aA.a1=1，an+1=anan+1 B.a1=1，a2【答案】D【解析】对于A：1an+1=an+1an=1an+1⇒1an是等差数列，

故1an=1a1+n−1=n，所以an=1n，

所以anan+1=n+1n>1，

故an不是黄金数列；

对于B：因为a1=1，a2=3，an+2an=an+12，

所以an为等比数列，所以anan+1=13，故an不是黄金数列；

对于C：因为a1已知数列an满足对1≤n≤3时，an=n，且对∀n∈N∗，有an+3+aA.2448 B.2525 C.2533 D.2652【答案】B【解析】解：由题得an+3所以an所以an是周期为4的数列，且a1=1，a2=2所以a=1×(1+5+9+⋯+49)+2(2+6+⋯+50)+3(3+7+⋯+47)+2(4+8+⋯+48)

=13×50故选B．在数列an中且a2020=23A.72 B.27 C.13【答案】C【解析】解：由2an=1an−1+1a因此1a2023=1a故选C．已知数列{an}满足a1a2a3A.(13,+∞) B.[13,+∞)【答案】D【解析】解：因为数列{an}满足a1a2a3⋯an=2n2

①，

所以当n≥2时，a1a2a3⋯an−1=2(n−1)2

②，

①÷②得an=2n2÷2(n−1)2=22n−1=1二、单空题（本大题共4小题，共20分）若数列an的首项a1=2，且an+1=3a【答案】5050【解析】解：∵数列{an}的首项a1=2，且an+1=3an+2(n∈N∗)，

∴an+1+1=3(an+1)，a1+1=3已知数列{an}满足an>0，前n项和为Sn，若a3=3，且对任意的k∈N ∗，均有a【答案】1，2146．【解析】解：因为a2k2=2a2k−1+1，两边取对数得2log2a2k=2a2k−1+1，

又a2k+1=2log2a2k+1，所以a2k+1−1=a2k−1+1，

即a2k+1−a2k−1=2，k∈N∗，数列a2k−1为等差数列，公差为2，

k=1时， a在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈(0,1).若a3+a5=5，a2a6=4，bn【答案】8或9【解析】解：各项均为正数的等比数列{an}中，若a3+a5=5，a2a6=4，

所以a3+a5=5a3a5=a2a6=6，

由于公比q∈(0,1)，

解得a3=4a5=1，

所以a5=a3q2，解得q=12．

所以an=a5⋅qn−5=(12)n−5．

由于bn=正项等比数列{an}满足a1+a3=54，且2a2，【答案】2【解析】解：正项等比数列{an}的公比设为q(q>0)，a1+a3=54，

可得a1+a1q2=54，

2a2，12a4，a3成等差数列，可得a4=2a2+a3，即q2三、解答题（本大题共4小题，共30分）已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1−2an(n∈N∗).

(Ⅰ)证明：数列{a【答案】解：(Ⅰ)证明：∵an+2=3an+1−2an，

∴an+2−an+1=2(an+1−an)，

∵a1=1，a2=3，

∴an+2−an+1an+1−an=2(n∈N∗2[(b1+b2+…+bnbn+2−(n+1)bn+1+2=0.④

④−③，得nbn+2−2n已知等差数列{an}的公差不为零，a4=1，且a4，a5，a7成等比数列，数列{(Ⅰ)求数列{an}(Ⅱ)若数列{cn}满足：c1=−12【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，

由题得a52=a4a7，

即(1+d)2=1+3d，

整理得d2=d，解得d=1，

所以an=a4+(n−4)d=n−3.

因为b1=2b1−4，所以b1=4，

当n≥2时，由bn=Sn−Sn−1得bn=2bn−2bn−1，即bn=2bn−1，

所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以bn=2n+1．

(Ⅱ)由cn+1=cn−anbn得c已知正项数列{an}满足a1=1，an−1−an(1)求数列{an}(2)设Tn=b【答案】解：(1)∵an各项为正，且an−1−∴1an是公差d=1∴1an设等比数列bn的公比为q，则b故q−q2=14