专题01 勾股定理（五大类型）（题型专练）（原卷版）-A4

第页专题01勾股定理（五大类型）【题型1已知直角的两边长，求第三边长】【题型2直接求直角三角形周长、面积和斜边上的高等问题】【题型3等面积法求直角三角形斜边上的高】【题型4作无理数的线段】【题型5勾股定理的证明】【题型1已知直角的两边长，求第三边长】1．（2023春•禅城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，则AB边的长度是（）A．3 B．4 C． D．2．（2023春•张北县校级期中）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°且AB＝3，BC＝4，则AC＝（）A．5 B． C．5或 D．±5或3．（2023春•黄冈月考）直角三角形两边分别为5和12，则第三边为（）A．13 B． C．13或 D．74．（2022秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分线，AD＝6，则BC的长度为（）A．6 B．8 C．12 D．165．（2022秋•晋江市期末）我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为（）A．21 B．15 C．13 D．126．（2022秋•内江期末）如图所示：求黑色部分（长方形）的面积为（）A．24 B．30 C．48 D．187．（2023•金水区开学）图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，则OA21的长为（）A．22 B． C．21 D．【题型2直接求直角三角形周长、面积和斜边上的高等问题】8．（2023秋•朝阳区校级期末）图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（）A．28cm2 B．42cm2 C．49cm2 D．63cm29．（2023秋•建湖县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（2022秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，BD是∠ABC的角平分线，则△CDE的周长是（）A．6 B．7 C．8 D．911.（2023春•东西湖区期中）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（）A．12.5 B．13 C．14 D．1512．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（）A． B． C． D．13．（2022秋•临猗县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝10，△ABD的面积为40，则CD的长是（）A．5 B． C．6 D．814．（2023春•凉城县期末）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是（）A．15cm2 B．30cm2 C．60cm2 D．65cm215．（2023秋•青岛期中）如图，分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．4π B．3π C．2π D．π16．（2023秋•昌江区期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（）A．18 B．36 C．65 D．7217．（2023春•焦作期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（）A．6 B．5 C．11 D．1618．（2023秋•昭通期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，AB＝20，CD是AB边上的高，则CD的长是（）A．4.8 B．7.2 C．8 D．9.619．（2023秋•河东区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是AB边上的高，则AD的长为（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．420．（2023秋•彰武县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，连结AE，则△ABE的周长为14．21．（2023秋•凤翔区期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为24．【题型3等面积法求直角三角形斜边上的高】22．（2023春•西城区校级期中）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为（）A． B． C．6 D．1323．（2022秋•莲池区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．524．（2023春•代县月考）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则边BC的长为（）A．4 B．14 C．4或14 D．8或1425．（2022秋•榕城区期末）如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则BC边上的高是（）A． B． C．2 D．26．（2023春•长沙期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD为AB边上的高．（1）求斜边AB的长；（2）求CD的长．27．（2023春•靖西市期中）如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝8，BC＝6．（1）求AB的长；（2）求斜边上的高CD的长．28．（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10．（1）若CD＝6，则AD＝，BD＝；（2）若BC＝20，求CD的长．【题型4作无理数的线段】30．如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为﹣1，点D表示的数为0，用圆规在数轴上截取AE＝AC，则点E所表示的数为（）A．1 B．1﹣ C．﹣1 D．31．如图所示，数轴上点A所表示的数为．35．如图所示，点C表示的数是．32．如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，BA＝BC，写出数轴上点A所表示的数是．33．如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是．34．如图，在数轴上作出表示的点（不写作法，要求保留作图痕迹）．【题型5勾股定理的证明】35．（2023春•渝北区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B． C．D．36．（2021秋•海州区期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148 B．100 C．196 D．14437．（2022春•河东区期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形．如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+ B．10+ C．10+ D．2438．（2023春•朝阳区校级期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），直角三角形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则用含S1，S2的代数式表示a2+b2正确的是（）A．4S1+S21 B．4S1﹣S2 C．4S1 D．4S1+S239．（2023•攀枝花二模）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．40．（2022秋•溧水区期末）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．42.方图”以验证勾股定理，后世也称“赵爽弦图”．实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题：（1）如图，正方形ABCD的面积为，正方形IJK