2023-2024学年北京十五中高二（上）期中数学试题和答案

高中PAGE1试题2023北京十五中高二（上）期中数学2023.11考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间为120分钟。请将答案作答在答题纸上。第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；每小题只有一个选项是正确的；请将答案填涂在答题纸上)1．已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为（）A．－2B．3C．2D．不存在2．直线l经过点P(1，1)，且与直线平行，则直线l的方程为（

）A．B． C．D．3．已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系为（

）A．相交 B．外切 C．内切D．内含4．椭圆的焦点坐标是（）A．(0，3)，(0，－3) B．(4，0)，(－4，0) C．(0，5)，(0，－5) D．(0，4)，(0，－4)5．若，，与的夹角为，则的值为（）A．5 B．4C．D．06．焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（

）A． B．C． D．7．已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为（）A． B．C． D．8．已知圆经过三点，则圆心到直线的距离为（

）A． B．1 C．2 D．39．已知直线与曲线有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（）A．B．C． D．10．如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列四个命题中正确命题的个数是（

）①存在点Q，使得②不存在点Q，使得平面③三棱锥的体积是定值④不存在点Q，使得PQ与AD所成角为60°A．0 B．1 C．2 D．3第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分；请将答案填入答题纸的指定位置)11．以(－1，2)为圆心且与x轴相切的圆的方程为_______________．12．直线与圆交于A，B两点，则_________．13．若直线与直线平行，则a=_________．14．已知点A(2，0)，B(－2，0)，点P在直线上，则最小值等于__．15．已知椭圆的两个焦点分别为，，过椭圆上顶点A与左焦点的直线与椭圆的另一个交点为B，若是直角，则椭圆的离心率是________．三、解答题(本大题共5小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；请将答案写在答题纸的指定位置上)16．(本小题14分)已知三角形的顶点为.（Ⅰ）求边上的中线所在直线方程；（Ⅱ）求边上的高线所在直线方程.17．(本小题14分)已知直线经过点，圆.（Ⅰ）若圆关于直线对称，求直线的方程；（Ⅱ）若直线平行于直线，求直线关于点的对称直线的方程.8．(本小题15分)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，的中点为，平面.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求点到平面的距离.19．(本小题16分)如图，在四棱锥中，平面PAD，△PAD为等边三角形，//，，E、F分别为棱PD，PB的中点，平面PAD与平面PBC的交线是l．

（Ⅰ）求证：∥直线；（Ⅱ）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由．20．(本小题16分)已知点P(1，3)，圆．（Ⅰ）求圆C过点P的切线方程；（Ⅱ）为圆与轴正半轴的交点，过点作直线l与圆交于两点，设，的斜率分别为，求证：为定值．

参考答案第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；每小题只有一个选项是正确的；请将答案填涂在答题纸上)1．（A）2．（C

）3．（

B

）4．（D）5．（C）6．（

D

）7．（B）8．（

D

）9．（A）10．（

A

）第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分；请将答案填入答题纸的指定位置)11．(或写成)12．13．－214．815．三、解答题(本大题共5小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；请将答案写在答题纸的指定位置上)16．解：（Ⅰ）BC的中点坐标为，3分因为，则边BC上的中线所在直线的方程为；6分（Ⅱ）边BC的斜率为，8分则其上的高的斜率为，10分又因为直线过，则边BC上的高所在直线的方程为，12分即14分(直线方程也可以写成斜截式：)17．解：（Ⅰ）由2分可得圆心，半径，因为圆关于直线l对称，所以直线l过圆心，3分又直线l过点，所以直线l斜率为，5分由点斜式方程可得，即7分(直线方程也可以写成斜截式：)（Ⅱ）由题意知，直线l斜率为，则由点斜式方程可得，即，9分因为直线l与直线关于点对称，所以，10分又因为点关于点对称的点，直线过点，12分(也可以用直线l上其他的点求其对称点)则由点斜式方程可得，即14分(直线方程也可以写成斜截式：)18．解：（Ⅰ）四边形为正方形，则，1分因为平面，所以，2分因为，；3分所以平面；4分（Ⅱ）如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，6分则，7分，，设面的一个法向量为，则，令，则，9分设直线与平面所成角为，，11分，因此直线与平面所成角的正弦值为12分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，13分设点到平面的距离为，所以15分19．解：（Ⅰ）因为//，平面，平面，所以//平面，2分又因为平面，平面平面直线l，3分所以∥4分（Ⅱ）取的中点，连接，由题意可得：//，且，则为平行四边形，可得//，且平面PAD，则平面PAD，由平面PAD，则，又因为△PAD为等边三角形，则为的中点，可得，，平面，则平面，6分如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，7分则，可得，8分设平面的法向量，则，令，则，即，10分由题意可知：平面PAD的法向量，11分可得，所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值12分（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：，13分设，，则，可得，解得，即，可得，15分若∥平面AEF，则，可得，解得，所以存在点，使得∥平面AEF，此时16分20．解：（Ⅰ）圆，圆心为，半径为，当直线l斜率不存在时，直线l与圆C相切；此时方程为2分当直线l斜率存在时