专题01压轴小题中指对幂比较大小讲义教师版

专题01指对幂比较大小讲义【考情分析】指对幂比较大小是高考小题压轴题常考的内容，难度较大。解决此类问题的方法主要有：一是构造函数后利用单调性判断，二是通过放缩比较大小，三是作差(商)比较法；【知识总结】1.指、对、幂大小比较的常用方法：(1)底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；(2)指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；(3)底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；(4)底数、指数、真数都不同，找中间变量0，1或其它能判断大小的中间量，利用中间量进行大小判定；2.指对数的同构常用的公式：x=lnex，3.常用放缩公式：(注意：若是解答题，需要作证明，否则要扣分)(1)指数放缩：ex≥x+1(x=0取等号)；e(2)对数放缩：1−1x≤lnx≤x−1(x=1取等号)；lnx≤(3)三角放缩：x∈(0,π2【考点题型】题型一：构造相同的函数比较大小【例11】已知，且，则a，b，c的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为a=2,b=2.10.9,c=设函数f(x)=(1−x)ln(2+x),x∈[−0.1,0.1]，则f'令ℎx=−ln(2+x)+32+x−1则f'(x)≤f'(−0.1)=−所以f(−0.1)>f(0)>f(0.1)，从而c>a>b；故选：A．【例12】已知a=ln33，b=e−1，c=3ln28，则A．b<c<a B．a>c>b C．a>b>c D．b>a>c【答案】D【详解】a=ln33=ln33,b=则f(x)在[e，+∞)上单调递减；∴fe【对点训练1】1．fx=x3−12sinx，若θ∈A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b【答案】A【详解】因为f−x所以fx在R上是奇函数.所以c=−f−12=f令gx=3x2−12cosx，则g'则12<x<1时，gx>g12=θ∈0,π12，所以cosθ>12>令ℎx=xlnx+ln2，则ℎ当x>1e时，ℎ'x>0,ℎ而2e>e，即2>e1e，所以ln2>1e所以cosθsinθ>sinθsin2．设a=23,b=log6A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．b>c>a【答案】D【详解】因为log65=ln5ln6，log4再令ℎx=xlnx，则ℎ'x=lnx当x∈e,+∞时x+1>x，所以x+1ln所以f5>f3，即ln5ln6因为33>24=2433所以b>c3．已知a=ln22,b=1eeA．a>b>cB．a>c>bC．b>a>cD．b>c>a【答案】C【详解】令fx=lnxx，可得f当x∈(0,e)时，f'x>0，fx因为a=ln22=所以fe>f44．已知x=log45，y=ln195，z=76，则A．x>y>zB．z>y>xC．x>z>yD．y>z>x【答案】D【详解】∵53=125<27=128，∴532<272，即∴z>x；令fx=lnx−2x∴f195>f1=0，即ln1955．已知a=17，b=18，c=ln87，则aA．a>c>bB．a>b>cC．c>a>bD．c>b>a【答案】A【详解】令a=17，b=171+所以c=ln1+17<17所以fx在0,1上单调递增，所以f176．若a，b，c∈0,1，且ae=ea，bA．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a【答案】C【详解】由ae=ea，be1.2=1.2eb令f(x)=xex，则f'(x所以f(x)在(−∞,1)上是增函数，在(1,+∞)即f(a)>f(b)>f(c7．若a，b，c∈(0,1)，且满足ae0.8=0.8ea，bA．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a【答案】B【详解】由ae0.8=0.8ea，be1.2=1.2eb，ce当x<1时，f'x>0，当x>1时，f在1,+∞上是减函数，于是f1.2>f1.6，即fbae因为54=625>29=512，所以54>于是fa>fc，又a，令gx=xex−2−xe2−x，则g'x=1−于是fa<fb，又a，b∈0,1，所以a8．已知a=log215，b=415，c=19−1A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b【答案】A【详解】因为a=log215<log216=2a=log215=令gx=4x−4ln4，则易知gx在所以当x∈0,2ln24时，gx<0，即f则fx在0,2ln2又因为f16=0，所以f15则415>log215题型二：构造不同的函数比较大小【例21】若a=0.6e0.4，b=2−ln4，c=e−2，则a，A．a>b>cB．a>c>bC．b>c>aD．c>b>a【答案】B【详解】对于a和b，∵a=0.6e0.4=构造函数fx=x1−lnx对fx求导，得f'x=−lnx，当x∈1,+∵1=e0<e0.4对于b和c，∵b−c=4−ln4−e=4−2ln2−当x∈0,e时，g'x>0；当x∈e,+∞时，∴gxmax=ge=0，∴g对于a和c，∵a−c=1−0.4e0.4−e当x∈0,1时，ℎ'x<0，∴ℎx在0,1上单调递减；∴ℎ0.5>0，∴ℎ0.4>ℎ0.5>0，∴a−c>0【例22】已知a=0.75e0.5,b=eln1.5,c=1.125则a，bA．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b【答案】A【详解】构造函数f(x)=lnx−1ex，当x>e时，f'x<0，则函数f故f(x)≤f(e)=lne−1=0,则2lnx≤x2e，则ln当x=0.75时，ln1.5<2e×0.75构造函数gx=ex−1−x，则g'x所以gx=ex−1故gx≥g1=0，所以ex−1当x=0.75时，e0.5>1.5，则0.75e0.5【例23】已知m+em=e，n+5n=A．nlgm<mlgn B．nlg【答案】B【详解】n+5n=e>n+e因为tm>tn，所以m>n；令fx=lgxx=lnxx则fx=lnxxln10=g【对点训练2】1．已知a=sinπ15，b=3log32−2，c=2ln3−A．a<c<bB．b<a<cC．b<c<aD．a<b<c【答案】D【详解】由条件知b=3log32−2=3则f'x=1−cosx≥0，所以fx在构造函数gx=lnx当0<x<1是，g'x<0所以函数gx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以g所以ln97−1−197>02．已知a=e0.4−1，b=0.4−2ln1.2，c=0.2A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a【答案】B【详解】令fx=e2x−1−x,x故fx>f0=0，取x=0.2，则f0.2令gx=x−2ln1+x,x故gx<g0=0，取x=0.2，则g0.2综上可得：a,b,c3．已知a=tan20232022,b=e12023,c=2023A．c<b<aB．a<c<bC．c<a<bD．b<c<a【答案】D【详解】令fx=tanx−x，1<x<∴fx在(1,32)上单调递增，∴f20232022>f1令gx=lnx+1x−1，x∈1,+∞∴g20232022>g1=0，∴ln20232022>1−4．设a=sin12，b=e−1，c=ln32，则A．a>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．c>b>a【答案】B【详解】将12用变量x替代，则a=sinx，b=令f(x)=sinx−ln易知g'(x)在0,1上单调递减，且g'(0)=1>0，g当x∈0,x0时，g'(x)>0，又f'(0)=0，f'(1)=cos1−12>0∴fx>f0=0，即sin记ℎx=ex−sinx+1，又ℎ0=e0−sin0+1=0，所以ℎ(5．设a=sin14，b=4e−1，c=ln54A．a>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．c>b>a【答案】B【详解】将14用变量x替代，则a=sinx，b=e令f(x)=sinx−ln(x+1)易知g'(x)在0,1上单调递减，且g'(0)=1>0，g当x∈0,x0时，g'(x)>0，又f'(0)=0，f'(1)=cos1−12>0，∴∴fx>f0=0，即记ℎ(x)=ex−(sinx+1)，又ℎ(0)=e0−(sin0+1)=0，所以ℎ(146．已知a=e0.9+1,b=2910A．a>c>bB．c>b>aC．b>a>cD．a>b>c【答案】D【详解】a=e0.9+1,令fx=y1−y2=e所以f0.9>f0=0，所以e令gx=y2−y3=x−lnx所以0.9−ln0.9−1>0，所以0.9+2>ln0.9+3，所以b7．已知a=1.4，b=1.1e0.4，c=e0.5，则A．a<b<cB．a<c<bC．b<c<aD．c<b<a【答案】A【详解】构造函数fx=1.5−xex，则当x<0.5时，f'x>0，函数当x>0.5时，f'x<0，函数fx设gx=ex−x−1，则g'x当x>0时，g'x>0，函数g故ex≥x+1，所以1.1e8．若a=sin0.1+tan0.1，b=0.2，c=0.16e0.2，则a，A．a<b<cB．b<c<aC．c<b<aD．c<a<b【答案】C【详解】构造函数fx=sinx所以fx在0,π2上单调递增，则f0.1>f0g'x<0在−∞,0上恒成立，故gx在−∞,0上单调递减，则g所以e−0.2>1−0.2，即1−0.2e0.2<1，所以c题型三：用放缩法比较大小【例31】已知a=ln1.01，b=0.01，c=eA．c<a<b B．a<b<c C．b<a<c D．b<c<a【答案】B【详解】构造函数f(x)=ln(x+1)−x，x∈(−1,+∞当x∈(−1,0)时，f'(x)>0，f(x)在(−1,0)上递增，当x∈(0,+∞)时，∴a−b=f(0.01)<f(0)=0，a<b；构造函数g(x)=x−ex−1，x∈R当x∈(−∞,1)时，g'(x)>0,g(x)在(−∞,1)上递增，当b−c=g(0.01)<g(1)=0，b<c，∴a<b<c；故选：B.【例32】设a=1101，b=lnA．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<a<b【答案】A【详解】设a,b,c分别是设gx=ex所以x∈−∞,0时，g'x<0,所以gx≥g0=0，即当x=0.01时，可得ln1.01<e0.01−1，即则f'所以x∈−1,0时，f'x<0,所以f0.01>f0，即ln1.01−0.011.01>ln1【对点训练3】1．设a=124,b=23sin130,c=A．b>a>c B．a>b>c C．a>c>b D．c>a>b【答案】C【详解】由c=e130−1，a=1因为f'x=54−e又545=31251024>3>e，所以5故f130=因为b=23sin130，c=因为ex≥1>23≥23cosxg130>g0=0，即e1302．已知a=1.031.01,b=1.011.03,c=1.021.02，则A．c<b<a B．c<a<b C．b<c<a D．a<c<b【答案】C【详解】构造f(x)=构造u(x)=故u(x)在(0,+∞)故f'(x)=u(x因为(1.02+0.01)2=1.0609<e，所以1.02<e−0.01即1.01ln1.03>1.02ln1.02，即ln1.031.01>ln同理构造g(x)=构造v(x)=xx−0.01−ln(x−0.01)，则v'(x)=−0.01(x−0.01)2−1x即ln1.021.02>ln1.011.033．若a=1.1ln1.1，b=0.1e0.1，c=110，则a，A．a<b<c B．c<a<b C．b<a<c D．a<c<b【答案】B【详解】设fx=x设ℎx=f'x且其值均大于0，y=1x+1单调递减，所以所以ℎx在x>0单调递减，且ℎ0=0，所以在x>0时，ℎ故f0>f0.1，即设gx当x>0时，g'x=lnx所以g0.1>g0，即4．若a=1.1ln1.1,b=0.1e0.1,c=A．a<b<cB．c<a<bC．b<a<cD．a<c<b【答案】A【详解】设f(x)=所以f(x)在0,1上递减，则f0.1<f0=1，即设ℎ(x)=(1+x)ln(1+x)−设s(x)=ℎ'(x)，则s'所以ℎ(x)在x>0时是减函数，并且ℎ(0)=0，所以x综上，a<5．实数x，y，z分别满足x2022=e，2022y=2023，2022z=2023，则x，yA．x>y>zB．x>z>yC．z>x>yD．y>x>z【答案】B【详解】由已知得x=e12022，y=log20222023，z=所以f(x)=lnx即ln20232023<ln20222022所以又设ℎx=ex−x−1所以ℎx=ex−所以e12022>12022+1=6．已知a=2eπ，b=ee，c=e2ln2，试比较A．b>c>aB．b>a>cC．c>a>bD．c>b>a【答案】B【详解】先证明两个不等式：（1）2lnx<x则f'(x)=2x−1−即2lnx（2）lnx>2(x−1)即g(x)在(1,+∞)上递增，故g再说明一个基本事实，显然3<π<3.24，于是由（1）可得，取x=2，可得2ln2<1.5⇔ln2<0.75⇔由（2）可得，取x=2，可得ln2>23，再取x=4ba=ee2ca=e2ln22eπ7．设a=121,b=A．a>b>cB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b【答案】C【详解】记f(x)=ex−1−x,(x≥0)，则当x>0时，f(x)=ex−1−记g(x)=ln(x+1)−x,(x>0时，g(x)<g(0)=0，即ln(1+x)<x记ℎ(x)=ln(x+1)−x1+所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以当x>0时，ℎ(所以ln1.05>0.051+0.05=5105=8．设a=4104，b=ln1.04，A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．c>b>a【答案】D【详解】令fx=ex−1−xx>0，则即ex−1>x，则e0.04−1>0.04∴gx在0,+∞上递减，∴gx<g0=0，即令ℎx=ln1+x−x1+∴ℎx>ℎ0=0，即ln1+x9．设a=3103，b=ln1.03，A．a>b>cB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b【答案】C【详解】记fx=ex−1−x,x≥0；因为f'x=ex−1，所以当x记gx=ln1+x−x,x≥0；因为g'x=11+x−1=记ℎx=ln1+x−x1+x,x≥0；ℎ'x=11+x所以b>a；综上所述：c题型四作差(商)法比较大小【例4】已知，则（

）A．B．