清单19锐角三角函数（3个考点梳理17种题型解读提升训练）（原卷版）

清单19锐角三角函数（3个考点梳理+17种题型解读+提升训练）【知识导图】【知识清单】考点一锐角三角函数锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)(倒数)余切(选)(∠A为锐角)【正弦和余弦注意事项】1)sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。2)sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。3)sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。【0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值】三角函数30°45°60°1锐角三角函数的关系：1）sinA=cos（90°A）,即一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值。cosA=sin（90°A）,即一个锐角的余弦值等于它余角的正切值。正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小。正切的增减性：当0°<<90°时，tanα随α的增大而增大，cot随的增大而减小。【考试题型1】正弦、余弦、正切概念理解1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，下列结论中正确的是（

A．sinA=BCAB B．cosA=BCAC2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB3．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC=α，下列关系式正确的是（

）A．sinα=ABBC B．sinα=BCAB【考试题型2】求一个角的正弦、余弦、正切值1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（）A．512 B．125 C．5132．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=3，AB=5，则cosA

A．34 B．43 C．453．在RtΔABC中，∠C=90°，BC=1，AC=3，那么tanA．12 B．13 C．334．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（

A．tanB=34 B．sinB=43【考试题型3】根据正弦、余弦、正切的定义求边长1．在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，则A．5003 B．5035 C．60 D2．如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32,AC=4A．4 B．8 C．83 D．3．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=25，则此斜坡的水平距离ACA．75m B．50m C．30m D．12m【考试题型4】与特殊角的三角函数值有关的计算1．计算8+|-2|×cos45°A．2 B．32 C．22+2．sin45°+22A．1 B．2 C．3 D．23．在△ABC中，若tanA=1，cosB=22，则下列判断最确切的是（

A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形4．在△ABC中，2cosA-22+1-tanA．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形5．计算：(-2022)0【考试题型5】构造直角三角形求正弦、余弦、正切值1．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（

A．12 B．55 C．10102．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（

）A．55 B．105 C．2 D【考试题型6】已知角度比较三角函数值的大小1．如果0°<∠A<45°，那么sinA与cosA的差（A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定2．三角函数sin40°、cosA．tan50°>cos16°>C．cos16°>tan50°>3．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（

A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定【考试题型7】根据三角函数值判断锐角的取值范围1．已知sinα>cosα，那么锐角αA．30∘<α<45∘ B．0∘<α<2．已知∠A为锐角，且tanA=3，则∠A的取值范围是（

A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45° C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°3．锐角α满足sinα>22，且tanA．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【考试题型8】利用同角的三角函数值求解1．在△ABC中，∠C=90°，tanA=2，则cosA．55 B．255 C．12．在△ABC中，∠C=90°，sinB=45A．43 B．34 C．353．已知tanα=512，α是锐角，则sinA．135 B．1213 C．513考点二解直角三角形解直角三角形概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之间的关系：1)勾股定理（a2+b2=c2）2)∠A+∠B=90°34)cosA=∠A所邻的边斜边=bc5)tanA=解直角三角形常见类型及方法：【考试题型9】直角三角形中直接解直角三角形1．如图，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，则边AB的长为（

A．32 B．35 C．372．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，⊙O的半径为22，则△AOC的面积为（）A．3 B．2 C．23 D．43．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE=3，则tan∠DBEA．12 B．2 C．52 D【考试题型10】构造直角三角形中直接解直角三角形1．如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tanB=32，则

A．2+23 B．3+3 C．4 D2．已知在△ABC中，∠A=60°，AB=1+3，AC=2，则∠C=A．45° B．75° C．90° D．105°3．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，BC=66，AD平分∠BAC交BC于点D，则线段AD的长为（

A．66 B．12 C．63 D【考试题型11】网格中解直角三角形1．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）A．35 B．255 C．22．如图，在4×3的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APC的值是

3．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，(1)AD=；(2)sin∠BAD=【考试题型12】坐标系中解直角三角形1．在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线y=kx-152交x轴于点A，交y轴于点B，（1）求直线AB的解析式；（2）在线段AB上有一点P，连接OP，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，在直线y=2x的第一象限上取一点D，连接AD，若S=15，∠AOP+∠BPO=2∠ADO，求点D的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为0,3，点B在x轴上．(1)在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，不写作法；(2)若函数y=kx的图象经过点M，且sin∠OAB=【考试题型13】利用解直角三角形求不规则图形边长或面积1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=7，BC=9，CD=3，则四边形ABCD的面积为（

）

A．48 B．50 C．52 D．542．在△ABC中，BC＝3＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（

）A．3-12 B．32＋1 C．3+123．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（）

A．12cm B．122cm C．24cm D．242cm考点三与解直角三角形有关的实际应用利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：1.将实际问题抽象为数学问题.画出平面图形，转化为解直角三角形的问题；2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；3.得到数学问题的答案；4.得到实际问题的答案.【考试题型14】仰角俯角问题1．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，若AC=6米，则树高BC为（）A．6sinα米 B．6tanα米 C．6tan2．如图，已知直线DE为水平线，DE∥BC，从甲楼DC的楼顶D处观测乙楼AB的楼顶A处的俯角是（A．∠ADC B．∠EDA C．∠DBC D．∠EDB3．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线．已知甲山上A点到CD的垂直高度AC=120米；乙山BD的坡比为4:3，乙山上B点到河边D的距离BD=650米，从B处看A处的俯角为25°．（A、B、(1)求乙山B处到河边CD的垂直距离；(2)求河CD的宽度（结果保留整数）．4．小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10米，求该建筑物BC的高度．（结果保留根号）【考试题型15】方位角问题1．如图，小明一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶一段距离至B地，再沿北偏东60°方向行驶26千米到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么A，B两地的距离为2．“淄博烧烤”火了，许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤．如图，济南的小本乘坐高铁由济南来淄博吃烧烤时，在距离铁轨200米的B处，观察他所乘坐的由济南经过淄博开往青岛的的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．小李根据所学知识求得，这时段动车的平均速度是米/秒．3．如图，灯塔A周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，【考试题型16】坡度坡比问题1．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:3，堤高BC=10m，则坡面AB的长度为2．在坡道两旁种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为7m，若测得坡道的坡度为1:3.5，则相邻两树间的坡道距离为m．【考试题型17】其它问标1．为了办人民满意的教育，某校大门口建造了供家长休息的凉亭（如图1）．图2是抽象出的平面几何图形，已知点D，A，E在同一水平线上，测得∠DAC=80°，∠BCA=110°，AC=2米，BC=2.2米．求凉亭最高点B到地面的距离BN的长．（sin80°≈0.985，cos80°≈0.174，tan80°≈5.671，3

2．图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE=20°，支架AC长为1m，∠ACD=80°，求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离．(结果精确到0.1m．参考数据：sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4，sin80°≈0.3，cos80°≈0.17，tan80°

3．我国在人工智能技术研究领域处于世界领先地位，“中国制造”已向“中国智造”转型，图1是我国自行设计的一款智能手臂机器人，图2是该型号手臂机器人处于工作状态时的示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB，BC为机械臂，OA=20cm，AB=100cm，BC=40cm，∠CBA=∠BAO=150°，过点C作直线CD垂直工作台于点D，点A，B，C，D(1)求∠BCD的度数．(2)求机械臂端点C到工作台的距离CD的长．（结果保留根号）【提升练习】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA的值（A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=12，则

A．12 B．255 C．53．在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列各式中，正确的是（

A．sinA=BCAB B．cosA=BCAB4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若3AB=5BC，则cosB的值是（

A．35 B．53 C．455．李红同学遇到了这样一道题：3tanα+20°=1，你猜想锐角αA．40° B．30° C．20° D．10°6．若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（

）范围内．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°7．已知在△ABC中，AB=122，AC=13，cosB=22，则A．7 B．8 C．8或17 D．7或178．如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sinB的值为（

A．23 B．1313 C．2139．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CDB=30°，AC=23A．32 B．1 C．3 D．10．如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB=BC=CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（）

A．2 B．3 C．3+22411．计算：(1)2cos(2)sin60°-112．在△ABC中，若sinA=32，cosB=12，∠A，13．如图，在平面直角坐标系中，P(3,y)是第一象限内的点，且tanα=43，则【14．在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）

15．某“好人主题”公园围绕好人主题向市民展示好人事迹，礼赞好人精神．如图①，“点赞