23二次函数与一元二次方程不等式（第1课时）（导学案）

2.3二次函数与一元二次方程不等式（第1课时）导学案学习目标1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系．2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．重点难点重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．导入新知在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？同学们，我国历史上有很多杰出的数学家，比如祖冲之、秦九韶等，我们古代的数学重点在于“算”，可以说算学是异常的发达，经常令西方数学家瞠目结舌．既然要算，那么对于“二次方程”必然有所涉猎！比如我们所熟悉的《九章算术》，但是《九章算术》的一贯作风是给个问题，配个答案，剩下的自己去想，至于如何解方程，这就需要大家来解决了．实际上，对于求解一元二次方程的方法有很多，比如我们所熟悉的求根公式、配方法，而比较好用的还是十字相乘法．在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决有关问题．对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题．问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为，则另一条边长为．由题意，得，其中．整理得，．①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式（quadricinequalityinoneunknown）．一元二次不等式的一般形式是或，其中，，均为常数，．思考在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？下面，我们先考察一元二次不等式与二次函数之间的关系．如图2.31，在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，图象与轴有两个交点．我们知道，这两个交点的横坐标就是方程的两个实数根，，因此二次函数与轴的两个交点是和．一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．于是二次函数的两个零点是，．从图2.31可以看出，二次函数的两个零点，将轴分成三段．相应地，当或时，函数图象位于轴上方，此时，即；当时，函数图象位于轴下方，此时，即．所以，一元二次不等式的解集是．因为，因此当围成的矩形的一条边长满足时，围成的矩形区域的面积大于．上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式和的解集．我们知道，对于一元二次方程，设，它的根按照，，可分为三种情况．相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式和的解集（表2.31）表2.31二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系的图象的根有两个不相等的实数根，（）有两个相等的实数根没有实数根的解集，或的解集应用新知例1求不等式的解集．分析：因为方程的根是函数的零点，所以先求出的根，再根据函数图象得到的解集．解：对于方程，因为，所以它有两个实数根．解得，．画出二次函数的图象（图2.32），结合图象得不等式的解集为，或．【变式】解下列不等式．(1)；(2)．【详解】（1）方程的两个根为，，函数的图像是开口向上的抛物线，与轴有两个交点，，因此，原不等式的解集为或；（2）原不等式可化为，方程的两个根为，，函数的图像是开口向上的抛物线，与轴有两个交点，，所以原不等式的解集为.例2求不等式的解集．解：对于方程，因为，所以它有相等的实数根，解得．画出二次函数的图象（图2.33），结合图象得不等式的解集为．【变式2】已知关于的不等式，.(1)当时，求不等式的解集；(2)若“不等式的解集为”为假命题，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）把代入，解一元二次不等式作答.（2）求出命题“不等式的解集为”为真命题的a的范围，再求其补集作答.【详解】（1）当时，不等式化为：，解得或，所以所求不等式的解集为.（2）当不等式的解集为时，即恒成立，因此，解得，所以“不等式的解集为”为假命题时，的取值范围是.例3求不等式的解集．解：不等式可化为．因为，所以方程无实数根．画出二次函数的图象（图2.34）．结合图象得不等式的解集为．因此，原不等式的解集为．【变式3】已知关于的不等式．(1)若此不等式的解集是，求的值；(2)讨论此不等式的解集．【答案】(1)或(2)答案见解析【分析】（1）由题意知，，2是的两根，从而可求出；（2）通过讨论对应方程两根的大小，得出不等式的解集．【详解】（1）由题意知，，是的两根，所以，解得或．（2）就是，即．方程的两根是，．①当，即时，此不等式的解集是．②当，即时，此不等式是，解集是．③当，即时，此不等式的解集是．对于二次项系数是负数（即）的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再求解．现在，你能解决第2.1节的“问题2”了吗？利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程．这里，我们以求解可化为形式的不等式为例，用框图表示其求解过程（图2.35）．能力提升题型一：不含参一元二次不等式的解法【练习1】解下列不等式：(1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0；(3)x2－2x－3>0.【解析】(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0.因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)．结合图象可得，原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示，结合图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}．(3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3.函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．结合图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}．反思感悟解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准．通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式．(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根．(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)写解集．结合图象写出不等式的解集．题型二：含参一元二次不等式的解法【练习2】已知，关于x的不等式（1）当时，求x的解集.（2）当时，求x的解集(用a来表示).【解析】（1）由，原不等式可化为，然后解不等式即可（2）由，得，然后分三种情况讨论解不等式即可【详解】解：（1）当时，原不等式可化为，即，解得，所以解集为，（2）由，得，①当即或时，不等式的解集为；②当即或时，不等式的解集为；③即时，不等式的解集为，综上，当或时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，反思感悟在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑(1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.(2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.题型三：三个“二次”之间对应关系的应用【练习3】二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表所示：x－3－2－101234y60－4－6－6－406则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．【解析】根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)图象的草图，如图．由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2或x>3}．注意点：(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标．(2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集．(3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集．课堂总结1．知识清单：(1)一元二次不等式的概念及解法．(2)含参的一元二次不等式的解法．2．方法归纳：数形结合法、分类讨论法．3．常见误区：解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准．作业设计(1)整理本节课的题型；(2)课本P53的练习1~2题；(3)课本P55的习题2.3的1~4题.附教材P53练习及参考答案练习（第53页）1.求下列不等式的解集：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【解析】【小问1详解】解：，解得或，所以不等式的解集是或；【小问2详解】由，得，即，解得，所以原不等式的解集为：；【小问3详解】不等式的相应方程的两个根为，，则不等式的解集为；【小问4详解】不等式，即为，所以原不等式无解；【小问5详解】不等式即为，则，解得或，所以原不等式的解集为或；【小问6详解】其相应方程的判别式为，所以不等式的解集为R；2.当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0?(1);(2);(3);(4).【解析】1）二次函数令由一元二次方程的求根公式可知所以结合二次函数的图像与性质可知,开口向上,与轴有两个交点,所以当时,