安徽省合肥一中等校华大新高考联盟高三下学期三模联考数学试题

合肥一中2024届高三最后一卷数学试题（考试时间：150分钟满分：120分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时､每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则（）A.2B.3C.4D.52.已知复数满足，则（）A.B.C.D.3.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（）A.B.C.D.4.已知等比数列的前项和为，且，则（）A.1B.或1C.D.或15.已知为三角形的内角，且，则（）A.B.C.D.6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（）A.36种B.48种C.54种D.64种7.已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（）A.B.C.D.8.过且倾斜角为的直线与曲线交于两点，分别过作曲线的两条切线，若交于，若直线的倾斜角为.则的最小值为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下表是某人上班的年收入（单位：万元）与上班年份的一组数据：年份1234567收入2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有（）A.年收入的均值为4.3B.年收入的方差为1.2C.年收入的上四分位数为5D.若与可用回归直线方程来模拟，则10.已知函数，则下列命题正确的有（）A.当时，是的一条对称轴B.若，且，则C.存在，使得的图像向左平移个单位得到的函数为偶函数D.若在上恰有5个零点，则的范围为11.已知函数，则下列命题正确的有（）A.若恒成立，则B.若与相切，则C.存在实数使得和有相同的最小值D.存在实数使得方程与有相同的根且所有的根构成等差数列第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，集合，若，则__________.13.过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为__________.14.在中，设所对的边分别为，且，则以下结论正确的有__________.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）正方体的棱长为是线段上的动点.（1）求证：平面平面；（2）与平面所成的角的正弦值为，求的长.16.（本小题15分）甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立.（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数的数学期望为多少？（保留小数点后一位）（2）由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局则乙胜”，求乙胜的概率.17.（本小题15分）.（1）若的图象在点处的切线经过原点，求；（2）对任意的，有，求的取值范围.18.（本小题17分）已知双曲线的上焦点为，下顶点为，渐近线方程是，过点的直线交双曲线上支于两点，分别交直线于两点，为坐标原点.（1）求的方程；（2）求证：四点共圆；（3）求（2）中的圆的半径的取值范围.19.（本小题17分）给定自然数且，设均为正数，（为常数），.如果函数在区间上恒有，则称函数为凸函数.凸函数具有性质：.（1）判断是否为凸函数，并证明；（2）设，证明：；（3）求的最小值.合肥一中2024届高三最后一卷数学参考答案1.【答案解析】，选D2.【答案解析】选A3.【答案解析】，选C4.【答案解析】由或或选D5.【答案解析】，选B6.【答案解析】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为种，选A7.【答案解析】如图，，，，故选C.8.【答案解析】如图设，则为且过，且，又设，，当且仅当时“”成立，故选C9.【答案解析】，A正确；，В错误；，所以上四分位数为C错误；D正确；故选AD10.【答案解析】对于A，当时，，不是的一条对称轴，对于B，由题意知，对于C，，若为偶函数，则，矛盾对于D，令，由题意知，故选BD11.【答案解析】对于A，由得，令，则在单调递减，单调递增，对于B，设切点为，则切线方程为，即，又不满足式，错，对于C，易知当时和有相同的最小值1，对于D，令，令，则的图象大致如下：设交点为易知由图象知，当直线与曲线和曲线共有三个不同的交点时，直线必经过点，即.因为，所以，即.令，得，解得或.由得.所以当直线与曲线和共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为.因为，即，所以成等差数列，故选ACD12.【答案解析】，由得或13.【答案解析】当斜率不存在时满足题意；当斜率存在时，设直线，由题意知圆心到直线的距离为1得或14.【答案解析】，，，，.15.【答案解析】（1）证明：由题，面，四边形为正方形，所以，而面面，所以面，而面，所以平面平面.（2）设在面上的射影点为，连接，，，即，得，设与平面所成的角的大小为，则，所以，在中，由余弦定理得，，即，解得.16.【答案解析】（1），所以.（2）设，则17.【答案解析】（1），所以，所以；（2）即，令，若，则，合题；若，令，则，当时，递增，而，所以，存在唯一的，使得，所以，当时，递减，当时，递增，故，所以，此时，，故，即；当时，，因而合题；综上所述，的取值范围是求.18.【答案解析】（1）由题，，解得，所以的方程为.（2）（方法一）设，代入，化简整理得，有，解得，，令得，同理，，所以四点共圆.（2）（方法二）设的倾斜角分别为.由对称性，不妨设的斜率，此时均为锐角，所以四点共圆设，代入，化简整