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合肥一中2024届高三最后一卷数学试题(考试时间:150分钟满分:120分)注意事项:1.答题前,务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答题时、每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答题时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束,务必将答题卡和答题卷一并上交.第I卷(选择题)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量,则()A.2B.3C.4D.52.已知复数满足,则()A.B.C.D.3.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为,焦距为,则该椭圆的方程为()A.B.C.D.4.已知等比数列的前项和为,且,则()A.1B.或1C.D.或15.已知为三角形的内角,且,则()A.B.C.D.6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研,若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为()A.36种B.48种C.54种D.64种7.已知四棱锥的各顶点在同一球面上,若,为正三角形,且面面,则该球的表面积为()A.B.C.D.8.过且倾斜角为的直线与曲线交于两点,分别过作曲线的两条切线,若交于,若直线的倾斜角为.则的最小值为()A.B.C.D.二、多选题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.下表是某人上班的年收入(单位:万元)与上班年份的一组数据:年份1234567收入2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有()A.年收入的均值为4.3B.年收入的方差为1.2C.年收入的上四分位数为5D.若与可用回归直线方程来模拟,则10.已知函数,则下列命题正确的有()A.当时,是的一条对称轴B.若,且,则C.存在,使得的图像向左平移个单位得到的函数为偶函数D.若在上恰有5个零点,则的范围为11.已知函数,则下列命题正确的有()A.若恒成立,则B.若与相切,则C.存在实数使得和有相同的最小值D.存在实数使得方程与有相同的根且所有的根构成等差数列第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知集合,集合,若,则__________.13.过的直线被曲线所截得的线段长度为,则直线的方程为__________.14.在中,设所对的边分别为,且,则以下结论正确的有__________.(1);(2);(3);(4);(5).四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)正方体的棱长为是线段上的动点.(1)求证:平面平面;(2)与平面所成的角的正弦值为,求的长.16.(本小题15分)甲和乙进行中国象棋比赛,每局甲赢的概率为0.8,甲输的概率为0.2,且每局比赛相互独立.(1)若比赛采取三局两胜制,且乙已经赢得比赛,则比赛需要的局数的数学期望为多少?(保留小数点后一位)(2)由于甲、乙实力悬殊,乙提出“甲赢5局之前乙赢2局则乙胜”,求乙胜的概率.17.(本小题15分).(1)若的图象在点处的切线经过原点,求;(2)对任意的,有,求的取值范围.18.(本小题17分)已知双曲线的上焦点为,下顶点为,渐近线方程是,过点的直线交双曲线上支于两点,分别交直线于两点,为坐标原点.(1)求的方程;(2)求证:四点共圆;(3)求(2)中的圆的半径的取值范围.19.(本小题17分)给定自然数且,设均为正数,(为常数),.如果函数在区间上恒有,则称函数为凸函数.凸函数具有性质:.(1)判断是否为凸函数,并证明;(2)设,证明:;(3)求的最小值.合肥一中2024届高三最后一卷数学参考答案1.【答案解析】,选D2.【答案解析】选A3.【答案解析】,选C4.【答案解析】由或或选D5.【答案解析】,选B6.【答案解析】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数,再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数,所以总数为种,选A7.【答案解析】如图,,,,故选C.8.【答案解析】如图设,则为且过,且,又设,,当且仅当时“”成立,故选C9.【答案解析】,A正确;,В错误;,所以上四分位数为C错误;D正确;故选AD10.【答案解析】对于A,当时,,不是的一条对称轴,对于B,由题意知,对于C,,若为偶函数,则,矛盾对于D,令,由题意知,故选BD11.【答案解析】对于A,由得,令,则在单调递减,单调递增,对于B,设切点为,则切线方程为,即,又不满足式,错,对于C,易知当时和有相同的最小值1,对于D,令,令,则的图象大致如下:设交点为易知由图象知,当直线与曲线和曲线共有三个不同的交点时,直线必经过点,即.因为,所以,即.令,得,解得或.由得.所以当直线与曲线和共有三个不同的交点时,从左到右的三个交点的横坐标依次为.因为,即,所以成等差数列,故选ACD12.【答案解析】,由得或13.【答案解析】当斜率不存在时满足题意;当斜率存在时,设直线,由题意知圆心到直线的距离为1得或14.【答案解析】,,,,.15.【答案解析】(1)证明:由题,面,四边形为正方形,所以,而面面,所以面,而面,所以平面平面.(2)设在面上的射影点为,连接,,,即,得,设与平面所成的角的大小为,则,所以,在中,由余弦定理得,,即,解得.16.【答案解析】(1),所以.(2)设,则17.【答案解析】(1),所以,所以;(2)即,令,若,则,合题;若,令,则,当时,递增,而,所以,存在唯一的,使得,所以,当时,递减,当时,递增,故,所以,此时,,故,即;当时,,因而合题;综上所述,的取值范围是求.18.【答案解析】(1)由题,,解得,所以的方程为.(2)(方法一)设,代入,化简整理得,有,解得,,令得,同理,,所以四点共圆.(2)(方法二)设的倾斜角分别为.由对称性,不妨设的斜率,此时均为锐角,所以四点共圆设,代入,化简整
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