1722勾股定理的应用(精讲)-2021-2022学年八年级数学下学期重要考点(人教版)

勾股定理的应用题型1：勾股定理的应用求树/旗杆的高度1如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．米 B．米 C．4米 D．6米【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．【解答】解：如图，根据题意BC＝2米，∠BCA＝90°，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4米，∴2+4＝6米．故选：D【变式11】如图，在离地面高度6m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是（）A．12m B．2m C．4m D．6m【分析】根据三角形的内角和定理得到∠DCA＝30°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵CD＝6m，∠CDA＝90°，∠CAD＝60°，∴∠DCA＝30°，∴AC＝2AD，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝（AC）2+62，解得AC＝4，故拉线AC的长是4m，故选：C【变式12】如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（）A．3米 B．4米 C．5米 D．7米【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．【解答】解：由题意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，AC＝5m，由勾股定理得BD＝CE＝＝4（m），故离门4米远的地方，灯刚好打开．故选：B【变式13】如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）A．10米 B．15米 C．16米 D．20米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图，建立数学模型，两棵树的高度差AC＝19﹣10＝9米，间距AB＝DE＝12米，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC＝＝15米．故选：B题型2：勾股定理的实际应用梯子问题2如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（）A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m【分析】先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C的长，进而可得出结论．【解答】解：∵梯子的顶端下滑了0.4米，∴A′C＝2m，∵在Rt△A′B′C中，A′B′＝2.5m，A′C＝2m，∴B′C＝＝＝1.5m，∴BB′＝B′C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8m．故选：D【变式21】如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部C处，已知楼顶C处离地面的距离CA为8m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为4m，要使云梯的顶部能到达C处，估计云梯的长度至少为（）A．8m B．9m C．10m D．12m【分析】利用勾股定理求出BC的长度，估算后即可得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8m，AB＝4m，∴BC＝＝＝（m），∵8＜＜9，∴云梯的长度至少9m，故选：B【变式22】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（）尺．A．8 B．10 C．13 D．12【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理列方程可解答．【解答】解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，由勾股定理得：52+x2＝（x+1）2，解得：x＝12，答：水的深度是12尺，故选：D【变式23】如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（1）开始时，船距岸A的距离是12m；（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动（12﹣）m．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长；（2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴（m），故答案为：12；（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，∴CD＝5（m），∴AD＝（m），∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣）m．故答案为：（12﹣）题型3：勾股定理的实际应用九章算术3在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【分析】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折断处离地面4.55尺．故选：D．【变式31】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2 C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．故选：D【变式32】《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为尺．【分析】设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为（10﹣x）尺，根据勾股定理列方程解方程即可．【解答】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为（10﹣x）尺，由勾股定理得x2+32＝（10﹣x）2，解得x＝4.55，∴折断处离地面的高度为4.55尺，故答案为：4.55题型4：勾股定理的实际应用影响范围4如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过（）小时它就会进入台风影响区．A．10 B．7 C．6 D．12【分析】首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．【解答】解：如图所示：设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：CE＝40x千米，BB′＝20x千米，∵BC＝500km，AB＝300km，∴AC＝400（km），∴AE＝400﹣40x，AB′＝300﹣20x，∴AE2+AB′2＝EB′2，即（400﹣40x）2+（300﹣20x）2＝2002，解得：x1＝15，x2＝7，∴轮船经7小时就进入台风影响区．故选：B【变式41】今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解答】解：（1）∵AC＝600km，BC＝800km，AB＝1000km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴600×800＝1000×CD，∴CD＝480（km），∵以台风中心为圆心周围500km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（3）当EC＝500km，FC＝500km时，正好影响C港口，∵ED＝＝140（km），∴EF＝280km，∵台风的速度为28千米/小时，∴280÷28＝10（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为10小时．【变式42】如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP＝160米，∠NPQ＝30°，拖拉机的速度是5米/秒，拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校是否会受到影响，请说明理由；若受到影响，那么学校受到的影响的时间为多少秒？【分析】作AH⊥MN于H，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AH＝AP＝80，则点A到MN的距离小于100，从而可判断学校会受到影响；以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB＝AC＝100，利用等腰三角形的性质得BH＝CH，利用勾股定理计算出BH＝60，得到BC＝2BH＝120，然后利用速度公式计算出学校受到的影响的时间．【解答】解：过A作AH⊥MN于H，如图，在Rt△APH中，∵∠HPA＝30°，∴AH＝AP＝×160＝80，∵80＜100，∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响；以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB＝AC＝100，而AH⊥BC，∴BH＝CH，在Rt△ABH中，BH＝＝＝60，∴BC＝2BH＝120，∴＝24（秒），答：学校受到的影响的时间为24秒．题型5：勾股定理的实际应用速度问题5如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（）A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里【分析】根据题意得出∠AOB＝90°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：由题意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝∠2＝45°，故∠AOB＝90°，∴AB＝＝15（海里），答：甲、乙两渔船相距15海里，故选：D．【变式51】在海面上有两个疑似漂浮目标．接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行．同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（）A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°【分析】根据勾股定理的逆定理判断△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度数即可．【解答】解：由题意得，OA＝12×1.5＝18（海里），OB＝16×1.5＝24（海里），又∵AB＝30海里，∵182+242＝302，即OB2+OA2＝AB2∴∠AOB＝90°，∵∠DOA＝50°，∴∠BOD＝40°，则另一艘舰艇的航行方向是北偏西40°，故选：C．【变式52】一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点的直线距离有（）千米．A．26 B．18 C．13 D．32【分析】根据题意可知两次航向的方向构成了直角．然后根据题意知两次航行的路程即是两条直角边，根据勾股定理就能计算AC的长．【解答】解：如图，根据题意得：△ABC是直角三角形，∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，根据勾股定理得AC2＝AB2+BC2，∴AC2＝242+102，∴AC＝26km．故选：A【变式53】如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B25m，结果他在水中实际划了65m，求该河流的宽度．【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．【解答】解：根据图中数据，由勾股定理可得：AB＝＝＝60（米）．∴该河流的宽度为60米题型6：勾股定理的实际应用立体图形的最短路径问题6如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为A．15 B．17 C．20 D．25【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，由勾股定理得：，解得．故选：【变式61】如图，一圆柱高为，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，且，则最短路线长为A． B． C． D．【分析】根据题意画出图形，连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出即可．【答案】解：如图展开，连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线长，则，，，，，由勾股定理得：，即蚂蚁爬行的最短路线长是，故选：【变式62】如图，长方体的底面边长为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达，那么所用细线最短需要A． B． C． D．【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【答案】解：将长方体展开，连接、，则，，根据两点之间线段最短，．故选：．【变式63】如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相对方向有一小虫，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．【答案】解：如图所示：最短路径为：，将圆柱展开，，最短路程为．故选：题型7：折叠问题7如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10，当折痕的另一端F在AB边上时，求△EFG的面积．【答案】25.【解析】解：如图，过G作GH⊥AD于H，∵在Rt△GHE中，∠GHE=90°，GE=BG=10，GH=8，∴EH=102-∴AE=10﹣6=4．设AF=x，则EF=BF=8﹣x，∵在Rt△GHE中，∠A=90°，∴AF2+AE2=EF2，即x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，∴AF=3，BF=EF=5