12一元二次方程的解法（四）

1.2一元二次方程的解法（四）【推本溯源】1.用配方法解一元二次方程配方法：公式法：2.那还有其他方法解吗？我们可以对进行因式分解，，所以只需要即可，所以要么x=0，要么x1=0，所以解出来x=0或x=1.因此，当一个一元二次方程的一边为0，另一边能分解成为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。3.常见的因式分解法的类型方法常见类型因式分解的形式方程的解提公因式法x²±bx=0x（x±b）=0X1=0，x2=±b平方差法x²a²=0（x+a）（xa）=0X1=a，x2=a完全平方法x²±2ax+a²=0（x±a）²=0X1=x2=±a十字相乘法x²±（a+b）x+ab=0（x±a）（x±b）=0X1=±a，x2=±b4.因式分解法的步骤（1）移项：将方程的右边化为0；（2）化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）转化：令两个一次因式分别为0，转化为两个一元一次方程；（4）求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。5.用对应的因式分解法解下列方程（1）（2）（3）（4）【解惑】例1：方程的根是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】变形后利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：移项，得，因式分解，得，则或，解得．故选：D【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．例2：方程的根是______．【答案】，，【分析】利用因式分解法求方程的解即可．【详解】解：因式分解得：，∴，，，∴原方程的解为，，．【点睛】本题主要考查因式分解的解高次方程，进行因式分解是解方程的关键．例3：如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？__________．（填“可能”或“不可能”）【答案】不可能【分析】先求出方程的解，再根据三角形三边关系定理判断即可得到答案．【详解】解：，，或，即三边为6、11、20，，不符合三角形三边关系定理，这个三角形的第三边的长不可能是20，故答案为：不可能．【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，能求出一元二次方程的解是解此题的关键．例4：若规定符号的意义：．（1）计算：__________．（2）若，则，的值为__________．【答案】58或15【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）由题意求得或，根据新定义化简所求式子后整体代入即可得解．【详解】解∶（1）根据题中的新定义得∶原式；（2）∵，∴，得，∴或，当时，，当时．故答案为∶（1）5；（1）8或15．【点睛】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．例5：用适当的方法解下列各一元二次方程：(1)；(2)（用配方法）；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，【分析】（1）（4）用因式分解的十字相乘法求解比较简便；（2）先把常数项移到等号的另一边，把二次项系数化为1，配方，利用直接开平方法求解；（3）把看成一个整体，利用因式分解的十字相乘法求解比较简便；（5）先整理方程，用公式法比较简便．【详解】（1）解：，整理，得，．或．，；（2）（用配方法），移项，得，二次项系数化为1，得，配方，得，．．，；（3），，即．或．，；（4），，或，，；（5），方程整理，得，．，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解决本题的关键．【摩拳擦掌】1．（2023·全国·九年级假期作业）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是()A． B． C．或 D．或或【答案】B【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长．【详解】解：，，，，，，有两种情况：①三角形的三边为，，，此时不符合三角形三边关系定理，②三角形的三边为，，，此时符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为，故选：B．【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．2．（2023·江苏·九年级假期作业）方程：的较小的根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用因式分解法求出两个根，再从中找出较小的根即可．【详解】解：提公因式，得：，整理得：，∴，∵，∴较小的根是，故选：D．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是通过提取公因式将等号左边的式子进行因式分解．3．（2023春·上海徐汇·八年级上海市园南中学校考阶段练习）方程的根是（

）A．0， B．， C．0， D．，0，【答案】D【分析】把方程进行因式分解得到，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，解得或，故选D．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解高次方程，正确对方程进行因式分解是解题的关键．4．（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【分析】先求出方程的解，设第三边为，根据三角形的三边关系定理得出，求出，再逐个判断即可．【详解】解：，，或，解得：，，即三角形的两边为2和4，设第三边为，5．（2023·江苏苏州·统考三模）关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是_________________．【答案】/【分析】先计算，再利用因式分解法解方程得，，再根据题意得到，然后解不等式组即可．【详解】解：根据题意，，解方程得，，∵该方程有一个大于的非正数根，，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程、解一元一次不等式组，理解一元二次方程的解，正确得到关于a的不等式组是解答的关键．6．（2023秋·广东茂名·九年级统考期末）已知一元二次方程，则它的两个根是，______．【答案】4【分析】根据因式分解法直接求解即可得到答案；【详解】解：∵，∴或，解得：，，故答案为：4；【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法．7．（2023·全国·九年级假期作业）方程的解为________．【答案】，【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】解：分解因式得：，∴或，解得：，，故答案为：，．【点睛】本题主要考查的知识点是解一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握因式分解法解一元二次方程．8．（2023·全国·九年级假期作业）某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是__________．【答案】【分析】根据给定的图找出其中的规律，列一元二次方程，求解即可．【详解】解：第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，第个图有个棋子，第个图有个棋子，第个图有个棋子，依题意，，解得：（舍去），故答案为：．【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律，列出方程是解题的关键．9．（2023春·湖南怀化·八年级校考期中）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用直接开平方法求解即可．【详解】（1）解：，，∴或，∴，；（2）解∶，，∴，∴，．【点睛】此题考查利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．10．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程．【详解】（1）∴或∴解得，；（2）∴或∴解得，．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．11．（2023·全国·九年级假期作业）用适当方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)(6)，【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．【详解】（1）解：直接开平方可得：，或∴原方程的解为：，；（2）解：因式分解得：，∴原方程的解为：，；（3）解：，平方差因式分解得：，整理得：，∴原方程的解为：，；（4），提取公因式可得：，整理得：，∴原方程的解为：，；（5）解：∵方程，，∴原方程的解为：；（6），，因式分解得：，∴原方程的解为：，【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．【知不足】1．（2023·四川凉山·统考中考真题）分式的值为0，则的值是（

）A．0 B． C．1 D．0或1【答案】A【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．【详解】解：∵分式的值为0，∴，解得，故选A．【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．2．（2023·全国·九年级假期作业）若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是(

)A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】将代入方程得：，解得：，再把代入原方程求解．【详解】解：将代入方程得：，解得：，∴原方程为：，则，解得：或，∴另一个根为1．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题．3．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二六中学校考三模）方程的解是（

）A． B． C．， D．，【答案】D【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：，可得：或，解得：，．故选：D．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．4．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程的解是________．【答案】【分析】原方程可转化为，再化为两个一次方程即可．【详解】解：∵，∴，∴或，解得．故答案为：．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的掌握因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键．5．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程的解是________．【答案】【分析】先移项，再提取公因式分解因式，把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】∵，∴．∴．∴或，解得．故答案为：．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解方程是解本题的关键．6．（2023·江苏·九年级假期作业）若代数式的值与的值相等，则x的值为___________．【答案】，【分析】先列方程，再把方程化为一般式，然后利用公式法解方程．【详解】解：根据题意得，整理得，，，，．故答案为：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．7．（2023春·上海浦东新·八年级上海市进才中学校考阶段练习）在直角梯形中，（），，，是上一点，且，，，那么直角梯形的面积是______．

【答案】27【分析】过作，交延长线于，延长至，使，连接，证得四边形为正方形，证明，得到，，，从而证明，则有，进一步推出，即可求得的长，设，在中，由勾股定理，可得方程，解方程即可求得的长，继而求得直角梯形的面积．【详解】解：过作，交延长线于，延长至，使，连接．

在直角梯形中，，，又，，四边形为正方形．，，∴，∴，，，，∴，即，即，∴，又，，∴，∴，∴，∴，，即，设，则，，在中，，即，解得：或（舍去），，．故答案为：27．【点睛】此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．8．（2023·山西阳泉·统考一模）阅读与思考：阅读下列材料并完成相应的任务．邻根方程如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程是“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．任务：(1)判断：方程______“邻根方程”（填“是”或“不是”）；(2)已知关于的一元二次方程是常数是“邻根方程”，求的值．【答案】(1)是(2)或【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断；（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根据“邻根方程”的定义得到或，然后解关于的方程即可．【详解】（1）解方程得，，比大，方程是“邻根方程”；（2），，或，，，方程是常数是“邻根方程”，或，或．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．9．（2023·江苏·九年级假期作业）用适当的方法解下列方程：(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）先移项，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（3）移项后求出的值，再代入公式求出方程的解即可；（4）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【详解】（1）解：，，配方，得，，开方，得，，；（2），，，，或，解得，；（3），，∵，∴方程有两个不相等的实数根，解得，；（4），，或，解得，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．10．（2023·江苏·九年级假期作业）我们已探索过二元一次方程组、分式方程及一元二次方程方程的解法，在学习过程中感受到转化数学思想及检验反思的数学方法．(1)你能否用这些数学思想方法来探索方程的解？(2)在求解的过程中，你有何疑惑，请尝试解决这些疑惑？【答案】(1)是原方程的解(2)见解析【分析】（1）根据两边分别平方，把无理方程转化为有理方程，结果一定要检验；（2）根据解题过程解答．【详解】（1）解：移项，得，方程两边平方，得，即，解方程，得或，经检验：是原方程的解；（2）疑惑是：如何把无理方程化为有理方程，通过两边平方解决．【点睛】本题主要考查了无理方程以及解一元二次方程，利用转化思想分析问题是解题的关键．【一览众山小】1.（2023·云南楚雄·统考二模）已知，则代数式（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由可得，则有，即，然后问题可求解．【详解】解：∵，∴，解得：，∵，∴，∴；故选B．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．2．（2023·全国·九年级假期作业）在正数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解是（）A．或 B． C．或 D．【答案】D【分析】根据规则可得：，再解此方程，即可求解．【详解】解：根据题意得：，得，得，故或，解得（舍去），，所以，原方程的解为，故选：D．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．3．（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线上，已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为（

）

A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据题意求出A、P坐标，然后根据等腰直角三角形的性质进行分类讨论求解即可．【详解】解：由题意，将代入直线，得：，∴直线，令，得：，则A点坐标为，将代入，得：，∴P点坐标为，∵，，∴，设，①若，则为等腰直角三角形，，∵，，∴，解得：，∴M点的坐标为；

②若，则为等腰直角三角形，，此时，点和点关于点所在直线对称，∴，解得：，∴M点的坐标为；

③∵M是x轴上的动点，∴或，不存在的情况，综上，满足条件的点M的坐标为或，故选：C．【点睛】本题考查一次函数的解析式，以及直角三角形的存在性问题，准确求解一次函数的解析式，以及熟练运用等腰三角形的性质求解是解题关键．4．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（

）

A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解．【详解】解：∵反比例函数的图象过点∴∴设直线的解析式为，∴，解得：,∴直线的解析式为，联立，解得：或，∴，设，∵，解得：或，∴的坐标为或，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键．5．（2023·湖南·统考中考真题）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据经过确定解析式为，设正方形的边长为x，则点，代入解析式计算即可．【详解】∵经过，∴解析式为，设正方形的边长为x，则点，∴，解得（舍去），故点，故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，正方形的性质，解方程，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．6．（2023春·江苏·八年级期末）当______时，函数是反比例函数．【答案】1【分析】根据反比例函数定义列出代数式求解即可得到答案．【详解】解：∵是反比例函数，∴，解得，故答案为：1．【点睛】本题考查反比例函数定义、解方程及不等式，熟练掌握反比例函数定义，掌握因式分解解方程及不等式是解决问题的关键．7．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，交于点D，垂足为C，连接，过点B作轴，垂足为E．若的面积为1，D为的中点．

（1）四边形的面积为___________；（2）k的值为___________；（3）若A，B两点的横坐标恰好是方程的两个不同实根，则点E到直线的距离为___________．【答案】1//【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义得到与面积相等，进而得到四边形面积与面积相等，即可得到结果；（2）证明，根据D为中点，得到面积之比为，求出面积，得到面积，即可确定出k的值；（3）先根据因式分解法解一元二次方程，确定点A的坐标，根据勾股定理可得的长，最后根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：（1）∵A、B是双曲线y=上的两点，轴，轴，∴，即，∵，∴，故答案为：1；（2）∵轴，轴，∴，∴，∵D为中点，∴，∴，∴，∴，∴；故答案为：；（3）∵，∴，∴，∴点A的横坐标为1，点B的横坐标为2，当时，，∴，∴，连接AE，设点E到的距离为h，

∴=AO•h，∴，即点E到直线OA的距离是．故答案为：．【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特点，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解本题的关键．8．（2023·上海·八年级假期作业）已知正比例函数，那么它的图像经过____________象限．【答案】一、三【分析】根据正比例函数的定义及解一元二次方程确定，再由正比例函数的性质求解即可．【详解】解：∵，∴或，又∵，∴．∴图像过一、三象限．故答案为：一、三【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质，解一元二次方程，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．9．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________．

【答案】【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，

∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5，∴，设，则，则∴即∴∴，∴，∵折叠，∴，∴，∵，∴，又,∴，∴在中，即解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．（2023·安徽六安·统考二模）如图是用棋子摆成的图案：

根据图中棋子的排列规律解决下列问题：(1)第4个图中有__________颗棋子，第5个图中有__________颗棋子；(2)写出你猜想的第n个图中棋子的颗数（用含n的式子表示）是__________，(3)请求出第多少个图形中棋子的个数是274个．【答案】(1)22，32(2)(3)第16个【分析】（1）观察图形发现图形的规律，然后例用规律写出第4和第5个图中的棋子数即可；（2）根据发现的规律用含n的式子表示出来即可．（3）由题意得：，然后解方程求解即可．【详解】（1）（1）观察发现第1个图形有颗棋子；第2个图形有颗棋子；第3个图形有颗棋子；∴第4个图形有颗棋子；第5个图形有颗棋子；故答案为：22，32；（2）由（1）得：第n个图形中棋子的颗数为，（3）由题意得：解方程得：（舍去），答：第16个图形中棋子的个数是274个．【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解一元二次方程，解题的关键是根据各个图形中棋子的颗数发现规律，难度不大．11．（2023·河南驻马店·统考三模）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（），例如：当时，表示的两位数是45．(1)尝试：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，______．(2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．(3)运用：若与的和为6325，求a的值．【答案】(1)；(2)相等，理由见解析；(3)7．【分析】（1）仔细观察①②③，用含有相同规律的代数式表示即可解答；（2）由再计算即可解答；（3）由与的和为6325，列方程后整理可得，再解一元二次方程并结合a的意义即可解答．【详解】（1）解：由①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．故答案为．（2）解：相等，理由如下：．（3）解：与的和为6325，，整理得：，解得：或7，，．【点睛】本题主要考查的是数字的规律探究、完全平方公式的应用、单项式乘以多项式、利用平方根的含义解方程等知识点，理解题意、列出运算式或方程是解本题的关键．12．（2023·江苏·九年级假期作业）按要求解方程：(1)直接开平方法：；(2)配方法：；(3)公式法：；(4)因式分解法：；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】(1)先把方程两边开