人教A版必修一课后作业第一章集合与函数概念112

集合间的基本关系学习目标1.理解子集、真子集、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法.知识点一子集思考如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？答案所有的白马都是马，马不一定是白马.梳理对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”).子集的有关性质：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.(3)若A⊆B，B⊆A，则A＝B.知识点二真子集思考在知识点一中，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？答案用真子集.梳理如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集，记作：A?B(或B?A)，读作：A真包含于B(或B真包含A).知识点三空集思考集合{x∈R|x2＜0}中有几个元素？答案0个.梳理定义不含任何元素的集合叫做空集符号用符号表示为∅规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集知识点四Venn图思考图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________.答案A⊆B⊆C梳理一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表达集合间的关系.类型一求集合的子集例1(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论.解(1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}.(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集.如∅，有一个子集，0个真子集.反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.跟踪训练1适合条件{1}⊆A?{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A.15 B.16C.31 D.32答案A解析这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个.类型二判断集合间的关系命题角度1概念间的包含关系例2设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆Q D.Q⊆N⊆M⊆P答案B解析正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，所以选B.反思与感悟一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先得准确理解概念的定义.跟踪训练2我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N、Z、Q、R表示，用符号表示N、Z、Q、R的关系为________.答案N?Z?Q?R命题角度2数集间的包含关系例3设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为()A.A∈B B.B∈AC.A⊆B D.B⊆A答案C解析∵0<2，∴0∈B.又∵1<2，∴1∈B.∴A⊆B.反思与感悟判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.跟踪训练3已知集合A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}，则()A.A∈B B.A?BC.B?A D.B⊆A答案B解析由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2∉A，故有A?B.类型三由集合间的关系求参数(或参数范围)例4已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值.解A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}.(1)当a＝0时，B＝∅⊆A，符合题意.(2)当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝{eq\f(1,a)}，∵eq\f(1,a)≠0，要使A⊇B，只有eq\f(1,a)＝1，即a＝1.综上，a＝0或a＝1.反思与感悟集合A的子集可分三类：∅、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略∅.跟踪训练4已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|2a－3<x<a－2}，且A⊇B，求实数a的取值范围.解(1)当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝∅⊆A，符合题意.(2)当a<1时，要使A⊇B，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<1，,2a－3≥1，,a－2≤2，))这样的实数a不存在.综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}.1.下列集合中，结果是空集的是()A.{x∈R|x2－1＝0} B.{x|x＞6或x＜1}C.{(x，y)|x2＋y2＝0} D.{x|x＞6且x＜1}答案D2.集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为()A.P?T B.P∈TC.P＝T D.P⊈T答案A3.下列关系错误的是()A.∅⊆∅ B.A⊆AC.∅⊆A D.∅∈A答案D4.下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()答案B5.若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A⊆B，则实数a可以是()A.3 B.4C.5 D.6答案D1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法.(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉.3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.课时作业一、选择题1．在下列关系中错误的个数是()①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}；⑤{0,1}⊆{(0,1)}；A．1B．2C．3D．4答案B解析①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用属于来表示，所以②错误；③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B.2．已知集合A＝{x|x＝eq\f(1,9)(2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝eq\f(4,9)k±eq\f(1,9)，k∈Z}，则集合A，B之间的关系为()A．A?B B．B?AC．A＝B D．A≠B答案C解析A＝{x|x＝eq\f(2k＋1,9)，k∈Z}＝{…，－eq\f(5,9)，－eq\f(3,9)，－eq\f(1,9)，eq\f(1,9)，eq\f(3,9)，eq\f(5,9)，…}，B＝{x|x＝eq\f(4k±1,9)，k∈Z}＝{…，－eq\f(5,9)，－eq\f(3,9)，－eq\f(1,9)，eq\f(1,9)，eq\f(3,9)，eq\f(5,9)，…}，故A＝B.3．已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是()①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.A．①③ B．②③C．③④ D．③⑥答案D解析元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．4．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则()A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D答案B解析∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C⊆B.5．设M为非空的数集，M⊆{7,8,9,10}，且M中至少含有一个偶数元素，则这样的集合M共有()A．12个B．13个C．14个D．15个答案A解析集合{7,8,9,10}的所有子集共有24＝16(个)，集合{7,9}的所有子集共有4个，故满足要求的集合M共有16－4＝12(个)．6．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则(a，b)不能是()A．(－1,1) B．(－1,0)C．(0，－1) D．(1,1)答案B解析当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．7．设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是()A．A⊆B B．B⊆AC．B∈A D．A＝B答案C解析∵A＝{x|x⊆B}，∴A＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.二、填空题8．若M⊆P，M⊆Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是________．答案4解析P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M⊆C，这样的集合M共有22＝4个．9．已知{0,1}?A⊆{－1,0,1}，则集合A＝________.答案{－1,0,1}解析由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A⊆{－1,0,1}，所以A＝{－1,0,1}．10．若集合{x|a≤x≤3a－1}表示非空集合，则a的取值范围是________．答案{a|a≥eq\f(1,2)}解析∵集合{x|a≤x≤3a－1}表示非空集合，∴3a－1≥a，解得a≥eq\f(1,2)，∴a的取值范围是{a|a≥eq\f(1,2)}．故答案为{a|a≥eq\f(1,2)}．11．若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a＝________.答案0或1解析当B＝∅时，a＝0，满足B⊆A；当B≠∅时，B＝{eq\f(2,a)}，又B⊆A，∴2≤eq\f(2,a)≤3，即eq\f(2,3)≤a≤1，又a∈Z，∴a＝1.综上知a的值为0或1.12．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．答案M＝P解析∵xy>0，∴x，y同号，又x＋y<0，∴x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.13．若{1，a，eq\f(b,a)}＝{0，a2，a＋b}，则a2018＋b2018＝________.答案1解析据题意得a≠0，∴b＝0，∴{1，a,0}＝{0，a2，a}，∴a2＝1，解得a＝1或a＝－1.当a＝1时，不满足集合的互异性，∴a＝－1，∴a2018＋b2018＝1.故答案为1.三、解答题14．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，试列举满足条件A⊆C⊆B的集合C.解先用列举法表示集合A，B.由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．15．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，求实数a的值．解∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素．当a＝0时，x＝eq\f(2,3).当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0