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文档简介

第三章函数3.3函数的应用(一)教学设计函数的应用是中学重要内容之一,又是数学与生活实践相互衔接的枢纽,特别在应用意识日益加深的今天,函数模的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系,因而函数的应用举例有着不可替代的重要位置,又有重要的现实意义。本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题,并对给定的函数模型进行简单的分析评价【教学目标】1.知识目标:能够运用一次函数、二次函数、分段函数的性质解决某些简单的实际问题.(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景,领悟其中的数学道理,弄清题中出现的量及其数学含义.(2)能根据实际问题的具体背景,进行数学化设计,将实际问题转化为数学问题(即建立数学模型),并运用函数的相关性质解决问题。(3)能处理有民生、经济、物里等方面的实际问题。2.能力目标:通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题,培养学生分析问题,解决问题的能力和运用数学的意识,也体见了函敞知识的应用价值,也渗透了训练的价值.3.情感目标:通过对实际问题的研究解决,渗透了数学建模的思想.提高了学生学习数学的兴趣,使学生对函数思想等有了进一步的了解。【核心素养】1.数学建模:在实际情境中从数学的视角发现问题、分析问题,建立模型,最终解决实际问题。2.数学运算:会根据函数模型的应用的计算求解,求得参数.3.数据分析:对所求的结果要进行检验,是否符合实际条件.【教学重点】1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题,加深对函数概念的理解2.会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题3.了解数学知识来源于生活,又服务于生活.【教学难点】1、增强运用函数思想理解和处理问题的意识,理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法。教师介绍现实生活中函数应用的典型题型,提出研究内容与研究方法引出问题.因为函数可以描述一个量依赖于另外一个量变化而变化的情况,所以函数的知识在实际生活中有着广泛的应用,下面我们通过例子来说明.【典型例题】例1为了鼓励大家节约用水,自2013年以后,上海市实行了阶梯水价制度,其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示。解(1)不难看出,f(x)是一个分段函数,而且:当0<x≤220时,有f(x)=3.45x;当220<x≤300时,有f(x)=220×3.45+(x-220)×4.83=4.83x-303.6;当x>300时,有f(x)=220×3.45+(300-220)×4.83+(x-300)×5.83=5.83x-603.6.因此=3.45x,0<x≤220,f(x)=14.83x-303.6,220<x≤300,=5.83x-603.6,x>300.(2)因为220<260≤300,所以f(260)=4.83×260-303.6=952.2,因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元。由例1可知,可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价等内容.例2城镇化是国家现代化的重要指标,据有关资料显示,1978-2013年,我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿。假设每一年城镇常住人口的增加量都相等,记1978年后第t(限定t<40)年的城镇常住人口为f(t)亿.写出f(t)的解析式,并由此估算出我国2017年的城镇常住人口数.解因为每一年城镇常住人口的增加量都相等,所以f(t)是一次函数,设f(t)=kt+b,其中k,b是常数注意到2013年是1978年后的第2013-1978=35年,因此f(0)=1.7,即b=1.7,f(35)=7.3,35k+b=7.3,解得k=0.16,b=1.7.因此f(t)=0.16t+1.7,t∈N且t<40.又因为2017年是1978年后的第2017-1978=39年,而且f(39)=0.16×39+1.7=7.94,所以由此可估算出我国2017年的城镇常住人口为7.94亿.例2中2017年城镇人口的估算还有其他算法,请读者自己尝试。例3某农家旅游公司有客房160间,每间房单价为200元时,每天都客满。已知每间房单价每提高20元,则客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素,旅游公司把每间房单价提到多少时,每天客房的租金总收入最高?分析可以通过试算来理解题意,如下表所示。解设每间房单价提高x个20元时,每天客房的租金总收入为y元.因为此时每间房单价为200+20x元,而客房出租数将减少10x间,即为160-10x间,因此y=(200+20x)(160-10x)=200(10+x)(16-x)=200(-x2+6x+160)=200[-(x-3)2+169]=-200(x-3)2+33800.从而可知,当x=3时,y的最大值为33800.因此每间房单价提到200+20×3=260元时,每天客房的租金总收入最高。例4某单位计划用围墙围出一块矩形场地,现有材料可筑墙的总长度为L,如果要使围墙围出的场地面积最大,则矩形的长、宽各等于多少?解设矩形的长为x时,场地的面积为S.因为矩形的周长要为L,所以矩形的宽为(L-2x),由x>0,(L-2x)>0可解得0<x<.又因为S=(L-2x)x=-x2+x=所以当x=时,S的最大值为。此时矩形的宽为即所围矩形是长、宽都为的正方形时,场地面积最大。例5已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3000,且当年产量是100时,总成本是6000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q).(1)求f(Q)的解析式;(2)求年产量为多少时,平均成本最小,并求最小值.学生在学习本节内容之前已经学习了几类不同的函数模型,学会了任何选择适当的函数模型分析和解决实际问题,对

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