高考总复习文数（人教版）课时作业提升61变量间的相关关系与统计案例

课时作业提升(六十一)变量间的相关关系与统计案例A组夯实基础1．已知x与y之间的一组数据：x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2.1x＋0.85，则m的值为()A．1 B．0.85C．0.7 D．0.5解析：选D回归直线必过样本中心点(1.5，eq\o(y,\s\up6(－)))，故eq\o(y,\s\up6(－))＝4，m＋3＋5.5＋7＝16，得m＝0.5．2．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要的时间为()A．6.5h B．5.5hC．3.5h D．0.3h解析：选A将600代入线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.01x＋0.5中得需要的时间为6.5h．3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若该大学某女生身高增加1cm，D．若该大学某女生身高为170cm，解析：选DA中由于回归方程中的x系数为正，所以具有正的线性相关关系，A正确；B由线性回归方程的推导可知回归方程必过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，B正确；C中，身高增加1cm，则Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85(kg)，C正确．D中，将170代入回归方程得y＝58.79kg，这个值只能是一个推测的结果，和实际值允许有误差，D错误．4．已知x，y的取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3从所得散点图中分析可知：y与x线性相关，且eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则x＝13时，y等于()A．1.45 B．13.8C．13 D．12.8解析：选B由题意，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25，∵y与x线性相关，且eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq\o(a,\s\up6(^))，∴5.25＝0.95×4＋eq\o(a,\s\up6(^))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝1.45，从而当x＝13时，有y＝13.8.故选B．5．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30总计105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为eq\f(2,7)，则下列说法正确的是()A．列联表中c的值为30，b的值为35B．列联表中c的值为15，b的值为50C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”解析：选C由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．根据列联表中的数据，得到K2＝eq\f(105×10×30－20×452,55×50×30×75)≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．6．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．解析：eq\o(x,\s\up6(－))＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝40，回归方程过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，∴40＝－2×10＋eq\o(a,\s\up6(^)).∴eq\o(a,\s\up6(^))＝60.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60．令x＝－4，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝(－2)×(－4)＋60＝68．答案：687．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到K2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844，因为K2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．解析：∵K2≈4.844＞3.841，∴有95%的把握认为主修统计专业与性别有关系，即作出“主修统计专业与性别有关系”的判断，出错的可能性不超过5%．答案：5%8．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm)与肱骨长度y(cm)的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.197x－3.660，由此估计，当股骨长度为50cm时，肱骨长度的估计值为________cm．解析：根据回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1.197x－3.660，将x＝50代入，得y＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19cm．答案：56.199．(2018·菏泽质检)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程．预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．(2)由对照数据，计算得：eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝86，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5(吨)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5(吨)．已知eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝3.5－0.7×4.5＝0.35．因此，所求的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35．(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．B组能力提升1．(2018·重庆测试)为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是()A．有95%的把握认为“X和Y有关系”B．有95%的把握认为“X和Y没有关系”C．有99%的把握认为“X和Y有关系”D．有99%的把握认为“X和Y没有关系”解析：选A依题意，K2＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05，因此有95%的把握认为“X和Y有关系”，选A．2．(2018·河南八市联考)某公司在2018年上半年的收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的统计资料如表所示：月份123456收入x12.314.515.017.019.820.6支出y5.635.755.825.896.116.18根据统计资料，则()A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系解析：选C月收入的中位数是eq\f(15＋17,2)＝16，由表可知收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选C．3．(2018·临沂质检)已知变量x与y之间的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－3＋2x，若eq\i\su(i＝1,10,x)i＝17，则eq\i\su(i＝1,10,y)i的值等于()A．3 B．4C．0.4 D．40解析：选B依题意eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(17,10)＝1.7，而直线eq\o(y,\s\up6(^))＝－3＋2x一定经过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，所以eq\o(y,\s\up6(－))＝－3＋2eq\o(x,\s\up6(－))＝－3＋2×1.7＝0.4，所以eq\i\su(i＝1,10,y)i＝0.4×10＝4．4．(2018·河南八市联考)为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如下表所示：开业天数1020304050销售额/天(万元)62758189根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________．解析：设表中模糊看不清的数据为m．因为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10＋20＋30＋40＋50,5)＝30，又样本中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))在回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9上，所以eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(m＋307,5)＝0.67×30＋54.9，得m＝68．答案：685．(2018·烟台质检)在2017年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.5m10.511销售量y11n865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝________．解析：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(9＋9.5＋m＋10.5＋11,5)＝8＋eq\f(m,5)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(11＋n＋8＋6＋5,5)＝6＋eq\f(n,5)，回归直线一定经过样本点中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，即6＋eq\f(n,5)＝－3.2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋\f(m,5)))＋40，即3.2m＋n＝42．又因为m＋n＝20，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3.2m＋n＝42，,m＋n＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝10，,n＝10，))故n＝10．答案：106．(2018·沈阳质检)为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：未发病发病总计未注射疫苗20xA注射疫苗30yB总计5050100现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为eq\f(2,5)．(1)求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？(3)能够有多大把握认为疫苗有效？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)，n＝a＋b＋c＋dP(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828解：(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件E，由已知得P(E)＝eq\f(y＋30,100)＝eq\f(2,5)，所以y＝10，B＝40，x＝40，A＝60．(2)未注射疫苗发病率为eq\f(40,60)＝eq\f(2,3)，注射疫苗发病率为eq\f(10,40)＝eq\f(1,4)．发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，且注射疫苗的发病率小，故判断疫苗有效．(3)K2＝eq\f(100×20×10－30×402,50×50×40×60)＝eq\f(50,3)≈16.667＞10.828．所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效．7．(2016·全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1—7分别对应年份2008—2014．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝40.17，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646．参考公式：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq