命题与逻辑基础知识与问题

高中数学基础知识一命题、逻辑

一、命题

1、命题的概念：判断真假的陈述句；命题分类：真命题、假命题.

2、四种命题的构造与关系:

“若A,则B”形式的命题中的A称为命题的条件,B称为命题的结论。

(1)、四种命题

命题表述形式

(2)、四种命题间的逆否关系

原命题若A,则B

(3)、四种命题的真假性:

逆命题若B,则A

否命题若「A则」8

逆否命题若->B则「A

原命题逆命题否命题逆否命题

真真真真

真假假真

假真真假

假假假假

二、充分条件与必要条件

1、定义：(1)如果A?B,则A是B的充分条件，B是A的必要条件;

(2)如果A?B,B?A,即：若AoB,则A是B的充要条件(充分必要条件).

2、符号的意义:

(1)如果“若A则B”为真，记为:A?B；

仅供个人学习参考

(2)如果“若A则B”为真，且“若B则A”也为真，那么记为A=

3、充分、必要条件判断方法：

设命题条件为P，结论为q

pnq

(1)定义法：①夕是g的充分不必要条件ojp中q

pnq

②。是P的必要不充分条件o(p小g

pnq

③。是，的充要条件〃

p书q

④夕是q的既不充分也不必要条件ojpyq

(2)集合法:设P={x|xwp(x)},Q=夕(x)},

①若PW则夕是g的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

②若P二Q,则0是Q的充要条件(g也是。的充要条件).

③若集合P、Q间不存在包含或被包含关系，即PQ且QP,则夕是q的既不充分也不必要条

件.

(3)等价转换(逆否命题)法：

①「(7是「2的充分不必要条件OP是Q的充分不必要条件

②「q是「夕的必要不充分条件QP是q的充分不必要条件

③「°是「〃的充分要条件O夕是＜7的充要条件

④是「P的既不充分又不必要条件。夕是g的既不充分又不必要条件

三、简单的逻辑联结词

仅供个人学习参考

1、概念：命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词.

2、简单复合命题构造：

①或命题：用联结词“或”联结命题P和命题q,构造新命题：记作pVq,读作“p或q”.

②且命题：用联结词“且”联结命题P和命题q,构造新命题：记作pAq,读作“p且q”.

③非命题：对一个命题P全盘否定，就得到一个新命题，记作?P，读作“非P”或“P的否定”.

3、简单复合命题的真值表：

PqpNqP'q?P

其鼻真其

假真假真真

真假假真假

假假假假其

*p/\q:p、g有一假为假，*p\/q:p、q有一宾为其，“与?p:真假相对即一真一假.

四、量河

1、全称量词与存在量词：

(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.

(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”

等.

(3)全称量词用符号“？”表示；存在量词用符号“？”表示.

2、全称命题与特称命题：

(1)含有全称量词的命题叫全称命题：“对朗中任意一个必有夕(才)成立"，简记为：

夕(x)”。读作"对任意X属于机有,(X)成立”.

(2)含有存在量词的命题叫特称命题：“存在"中的一个吊，使夕(就成立”，简记为：“？痴

£机PE)”o读作“存在"中的元素吊，使〃(无)成立”.

3、命题的否定：

(1)含有量词命题的否定(其中p(x)是一个关于x的命题.)

全称命题RDxwM,p(x)的否定「夕：全称命题的否定为存在命题

存在命题p：HxeM,p(x)的否定「小VXGM,^P(X)；存在命题的否定为全称命题

(2)含有逻辑连接词命题的否定：或/的否定："「夕且

“。且,”的否定：”「0或

(3)“若p则q”命题的否定：只否定结论

特别提醒：

“命题的否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定(即非P)：只否定命题夕的结论，即“若

夕则「g”；

而否命题：是对命题P的条件与结论进行双否；“否命题”是“若「〃则

高考真题

(2015卷-1理)(3)设命题p：3nEN,n2>2\则「p为()

(A)VHG/V,/?2>2H(B)BneN,n2<2n

(C)V〃£N,〃242"(D)最WN,/二2"

(2013课标I-文)(5)已知命题p:VxcR,2A<3J；命题夕：HrsH,d=l-d,则下列命题中

为真命题的是：()

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(A)p(B)—ip/\q(C)pA—(D)

(2010课标卷-理)(5)己知命题

p”函数y=2-2-*在R为增函数，p2：函数y=2*+2T在R为减函数，

-

则在命题4:P|vp2,q2：P［八P2,%：(「pJvPz和/：PiNiPz)中，真命题是

(A)%,%(B)%，%(C)%，%(D)q”q$

(2009-文.理)(4)有四个关于三角函数的命题:

-1n•2X,2X1

Pi：dxeR,sm~—+cos~—=—p:Hr,>GR,sin(x-y)=sin-siny

2222

=sinxP4:sinx=cosy=x+y=工其中假命题的是

p3:Vxe［。㈤，后号

(A)Pi，p4(B)P4(3)PcP3(4)p?,P3

(2007-文-理)2.己知命题p:DxeR,sinxWl,则()

(A)A.—)/?:3xGR,sinx1(B).-1/2:VxGR,sinx1

(C).—tp:3xeR,sinx>1(D).->p:VxeR,sinx>1

典型题例

一、复合命题真假性问题

1、若命题«pW为假命题，且“「p”为假命题，则()

A.p或q"为假B.q假C.q真D.p假

*2、已知夕：？x£R,/+2W0,Q：?>£R,^—2勿x+l>0,若夕Vg为假命题，则实数m的取值范

围是________

二、命题的否定

3、设命题p:加CN,〃2>2",则「p为（）

A.VnwN,〃2>2"B.3neN,n2<2nC.Vne^,n2<2MD.3neN,n2=2n

*4、（2016.浙江高考）命题“VxwH,+ZEN*,使得〃之一”的否定形式是（）

A.VxwwN*,使得〃v/B.VxwR,V〃wN*,使得〃v一

C.3xe/?,3ne7V*,使得〃v/D.玄R,v〃eN*,使得〃<f

5、命题p：“VxeR,前eR,使得相城+lvO或m>d+l”的否定形式-p是

三、集合法判断充分、必要条件

6^已知条件p:|方-4区6；条件4：（/-1>-m?40（加>0）,若〃是。的充分不必要条件，则