统考版2025届高考数学二轮专题闯关导练四热点问题专练热点十三数学文化文含解析

PAGE热点(十三)数学文化1．[2024·山东菏泽期中](数列中的文化)南北朝时期的数学古籍《张丘建算经》中有如下一道题：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，依等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中心三人未到者，亦依等次更给．”问：每一等人比下一等人多得几斤金？()A.eq\f(4,39)斤B.eq\f(7,78)斤C.eq\f(7,76)斤D.eq\f(5,81)斤2．[2024·福建莆田模拟](程序框图中的文化)将元代闻名数学家朱世杰的《四元玉鉴》中的一首诗改编如下：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表示如图，用x表示壶中原有酒的量，可知最终输出的x＝0，则一起先输入的x的值为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(15,16)C．4D.eq\f(7,8)3．[2024·河南商丘月考](生活中的文化)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问三女几何日会面？”大致意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次会面？”假如回娘家产天均回夫家，当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数为()A．58B．59C．60D．614．[2024·重庆七校联考](推理与证明中的文化)某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今日算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推想肯定正确的是()A．今日是周四B．今日是周六C．A车周三限行D．C车周五限行5．[2024·福建泉州两校联考](函数中的文化)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．”其意思为：“今有人持金出五关，第1关所收税金为持金的eq\f(1,2)，第2关所收税金为剩余持金的eq\f(1,3)，第3关所收税金为剩余持金的eq\f(1,4)，第4关所收税金为剩余持金的eq\f(1,5)，第5关所收税金为剩余持金的eq\f(1,6)，5关所收税金之和恰好重1斤．”则在此问题中，第5关所收税金为()A.eq\f(1,36)斤B.eq\f(1,30)斤C.eq\f(1,25)斤D.eq\f(1,20)斤6．[2024·惠州市考试试题](线性规划中的文化)关于圆周率π，数学发展史上出现过很多有创意的求法，如闻名的蒲丰试验和查理斯试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)，再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m，最终依据统计个数m估计π的值．假如统计结果是m＝34，那么可以估计π的值为()A.eq\f(23,7)B.eq\f(47,15)C.eq\f(17,15)D.eq\f(53,17)7．[2024·四川达州模拟](生活中的文化)里氏震级是由古登堡和里克特制定的一种表明地震能量大小的标度，用来表示测震仪衡量的地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的震波的振幅就越大，其计算公式为M＝lgA－lgA0，其中A，A0分别是距震中100公里处接收到的所关注的这个地震和0级地震的震波的最大振幅，则7级地震震波的最大振幅是5级地震震波的最大振幅的()A．10倍B．20倍C．50倍D．100倍8．[2024·江淮十校其次次联考](立体几何中的文化)长方、堑堵、阳马、鳖臑出自中国古代名著《九章算术·商功》，其中阳马、鳖臑是我国古代对一些特别锥体的称呼．取一长方，如图(1)中的长方体ABCD­A1B1C1D1，沿平面ABC1D1斜切，一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，如图(2)，再沿平面D1BC切开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥D1­ABCD以矩形ABCD为底，棱DD1与底面垂直，称为阳马，余下的三棱锥D1­BCC1是四个面均为直角三角形的四面体，称为鳖臑．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AAA．2eq\r(5)B．5C.eq\r(29)D．4eq\r(2)9.[2024·福建师大附中期中](三角函数中的文化)17世纪德国闻名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一件是勾股定理，另一件是黄金分割．假如把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金三角形ABC中，eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,2).依据这些信息，可得sin234°＝()A.eq\f(1－2\r(5),4)B．－eq\f(3＋\r(5),8)C．－eq\f(\r(5)＋1,4)D．－eq\f(4＋\r(5),8)10．[2024·湖南衡阳八中第四次月考](数列中的文化)元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两，令甲、乙、丙从上作折半差分之．其意思是：现有银一秤一斤十两，将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给5个人，则得银最少的3个人一共得银(规定：1秤＝10斤，1斤＝10两)()A.eq\f(266,127)两B.eq\f(889,127)两C.eq\f(840,31)两D.eq\f(1111,31)两11．[2024·吉林长春外国语学校期中](统计中的文化)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代用算筹(即几寸长的小棍)摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，如图所示．当表示一个多位数时，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式须要纵横相间，其中个位、百位、万位上的数用纵式表示，十位、千位、十万位上的数用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为()A.B.C.D.12．[2024·安徽省高三联考](生活中的文化)某校高一组织五个班的学生参与学农活动，每班从“农耕”“采摘”“酿酒”“野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践，且各班的选择互不相同，已知1班不选“农耕”“采摘”；2班不选“农耕”“酿酒”；3班既不选“野炊”，也不选“农耕”；5班选择“采摘”或“酿酒”．假如1班不选“酿酒”，那么4班不选“农耕”．则选择“饲养”的班级是()A．2班B．3班C．4班D．5班13．[2024·湖北八校联考](三角函数中的文化)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过探讨正五边形和正十边形的作图，发觉了黄金分割值约为0.618，这一数值也可表示为m＝2sin18°.若m2＋n＝4，则eq\f(1－2cos227°,3m\r(n))＝________.14．[2024·江苏南京高三联合体调研](概率中的文化)欧阳修在《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技术让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为acm的正方形孔，若随机地向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽视不计)正好落入孔中的概率为eq\f(1,4π)，则a＝________.15．[2024·陕西西安期中](数列中的文化)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家探讨过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n；正方形数N(n,4)＝n2；五边形数N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n；六边形数N(n,6)＝2n2－n；……可以推想N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.16．[2024·合肥市高三其次次教学质量检测](推理中的文化)为了考查考生对于数学学问形成过程的驾驭状况，某高校自主招生考试面试中的一个问题是：写出对数的换底公式，并加以证明．甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案．公布他们的答案后，三名考生之间有如下对话．甲说：“我答错了．”乙说：“我答对了．”丙说：“乙答错了．”评委看了他们的答案，听了他们之间的对话后说：“你们三人的答案中只有一人是正确的，你们三人的对话中只有一人说对了．”依据以上信息，面试问题答案正确的考生为________．热点(十三)数学文化1．答案：B解析：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d(d>0)，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，a8＋a9＋a10＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，3a1＋24d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(8,13)，d＝\f(7,78)，))所以每一等人比下一等人多得eq\f(7,78)斤金．故选B.2．答案：D解析：这是一道函数与程序框图相结合的题．当i＝1时，酒量为2x－1；当i＝2时，酒量为2(2x－1)－1＝4x－3；当i＝3时，酒量为2(4x－3)－1＝8x－7；当i＝4时，酒量为0，即2(4x－3)－1＝0，解得x＝eq\f(7,8).故选D.3．答案：C解析：由题意知，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家，当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿同时回娘家的天数分别为8,6,5，三个女儿同一天回娘家的天数为1，因此，从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数为33＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.故选C.4．答案：A解析：在限行政策下，要保证每天至少有四辆车可以上路行驶，周一至周五每天只能有一辆车限行．由周末不限行，B车昨天限行知，今日不是周一，也不是周日；由E车周四限行且明天可以上路可知，今日不是周三；由E车周四限行，B车昨天限行知，今日不是周五；从今日算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，假如今日是周二，A，C两车连续上路行驶到周五，只能同时在周一限行，不符合题意；假如今日是周六，则B车周五限行，又E车周四限行，所以A，C两车连续上路行驶到周二，只能同时在周三限行，不符合题意．所以今日是周四．故选A.5．答案：C解析：设此人持金x斤，依据题意知第1关所收税金为eq\f(x,2)斤；第2关所收税金为eq\f(x,6)斤；第3关所收税金为eq\f(x,12)斤；第4关所收税金为eq\f(x,20)斤；第5关所收税金为eq\f(x,30)斤，易知eq\f(x,2)＋eq\f(x,6)＋eq\f(x,12)＋eq\f(x,20)＋eq\f(x,30)＝1，解得x＝eq\f(6,5).则第5关所收税金为eq\f(1,25)斤．故选C.6．答案：B解析：由题意，120对正实数对(x，y)中的x，y满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<10<y<1))，该不等式组表示的平面区域的面积为1.正实数对(x，y)中的x，y能与1构成钝角三角形的三边，则x，y需满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y>1x2＋y2－1<00<x<10<y<1))，该不等式组表示的平面区域的面积为eq\f(π,4)－eq\f(1,2)，则eq\f(π,4)－eq\f(1,2)≈eq\f(34,120)，eq\f(π,4)≈eq\f(94,120)，π≈eq\f(47,15)，故选B.7．答案：D解析：对公式M＝lgA－lgA0进行转化得M＝lgeq\f(A,A0)，即eq\f(A,A0)＝10M，A＝A0·10M，当M＝7时，地震震波的最大振幅为A7＝A0·107，当M＝5时，地震震波的最大振幅为A5＝A0·104，则eq\f(A7,A5)＝eq\f(A0·107,A0·105)＝100.故选D.8．答案：C解析：依据题意得，该阳马的最长棱长为D1B＝eq\r(4＋9＋16)＝eq\r(29).故选C.9．答案：C解析：由题意可知∠ACB＝72°，且cos72°＝eq\f(\f(1,2)BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,4)，所以cos144°＝2cos272°－1＝－eq\f(\r(5)＋1,4)，所以sin234°＝sin(144°＋90°)＝cos144°＝－eq\f(\r(5)＋1,4).故选C.10．答案：C解析：一秤一斤十两共120两，将这5人所得银的数量由小到大排列，记为数列{an}，则{an}是公比q＝2的等比数列，于是得S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(a11－25,1－2)＝120，解得a1＝eq\f(120,31).故得银最少的3个人一共得银的数量为a1＋a2＋a3＝eq\f(120,31)×(1＋2＋22)＝eq\f(840,31)(两)．故选C.11．答案：A解析：依据题意得，个位、百位、万位上的数用纵式表示，十位、千位、十万位上的数用横式表示，所以8771用算筹可表示为.故选A.12．答案：B解析：通解由题意可知五个班级和五项活动一一对应，作出如下表格(不选活动项目打“×”，选择活动项目打“√”)，当5班选“采摘”时，则4班选“农耕”，依据假如1班不选“酿酒”，那么4班不选“农耕”，得1班选“酿酒”，再依据五个班级和五项活动一一对应，易得选“饲养”的是3班．农耕采摘酿酒野炊饲养1班××√2班××√3班××√4班√5班√当5班选“酿酒”时，则4班选“农耕”，依据假如1班不选“酿酒”，那么4班不选“农耕”，得1班选“酿酒”，则1班和5班都选“酿酒”，与题意冲突，舍去这种状况．综上可知，选B.优解由题意知，1班、2班、3班、5班均不选“农耕”，所以4班选“农耕”，依