2025届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第九节函数模型及其应用教师文档教案文北师大版

PAGE第九节函数模型及其应用授课提示：对应学生用书第34页[基础梳理]1．几类常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的改变随x的增大渐渐表现为与y轴平行随x的增大渐渐表现为与x轴平行随n值改变而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax＜xn＜ax解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学学问，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义，以上过程用框图表示如下：[四基自测]1．(基础点：指数函数换型)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，支配使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x改变的函数解析式为()A．y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m)B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)C．y＝a(1＋xp%)(0＜x＜m)D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)答案：B2．(基础点：拟合函数模型)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现打算用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y＝2x B．y＝log2xC．y＝eq\f(1,2)(x2－1) D．y＝2.61cosx答案：B3．(基础点：分段函数模型)某城市客运公司确定客票价格的方法是：假如行程不超过100km，票价是0.5元/km，假如超过100km，超过100km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．答案：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤100,0.4x＋10，x＞100))4．(基础点：二次函数模型)有一批材料可以建成200m长的围墙，假如用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为________．(围墙厚度不计)答案：2500m2授课提示：对应学生用书第35页考点一由函数图像刻画改变过程挖掘体会函数中变量的关系/自主练透[例](1)(2024·安阳模拟)如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷漫步行走的路途可能是()[解析]由图形可知，张大爷的行走路途是：起先一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，C符合．[答案]C(2)2024年6月，上海合作组织青岛峰会后，青岛成为国内外旅游的好去处，随着游客的增加，菜价上涨，某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预料，这四种方案均能在规定的时间T内完成预料的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()[解析]由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应当渐渐增大．[答案]B[破题技法]推断函数图像与实际问题中两变量改变过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当依据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．(2)验证法：当依据题意不易建立函数模型时，则依据实际问题中两变量的改变特点，结合图像的改变趋势，验证是否吻合，从中解除不符合实际的状况，选择出符合实际状况的答案．考点二已知函数模型的实际问题挖掘函数模型的应用/互动探究[例]为了实行习近平总书记提出的“决战决胜脱贫攻坚战”，某地开展了“万名干部下基层”，以实际行动践行初心使命，某工作队结合所驻村的自然条件，帮助村民投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，依据以往的种菜阅历，发觉种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满意P＝80＋4eq\r(2a)，Q＝eq\f(1,4)a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1)求f(50)的值；(2)试问如何支配甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？[解析](1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，∴f(50)＝80＋4eq\r(2×50)＋eq\f(1,4)×150＋120＝277.5(万元)．(2)f(x)＝80＋4eq\r(2x)＋eq\f(1,4)(200－x)＋120＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋250，依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥20，,200－x≥20))⇒20≤x≤180，故f(x)＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋250(20≤x≤180)．令t＝eq\r(x)，则t∈[2eq\r(5)，6eq\r(5)]，y＝－eq\f(1,4)t2＋4eq\r(2)t＋250＝－eq\f(1,4)(t－8eq\r(2))2＋282，当t＝8eq\r(2)，即x＝128时，f(x)取得最大值，f(x)max＝282.∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．[破题技法]对于已知函数模型解决问题(1)将题目中已知函数变量转化为实际量理解．(2)依据实际意义，求自变量x的取值范围(定义域)．(3)依据函数模型，确定要解决的问题及方法．(4)回答实际问题．考点三构建函数模型的实际问题挖掘1构建一次函数、二次函数、分段函数模型/自主练透[例1](2024·西宁模拟)牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必需留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．[解析](1)依据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为eq\f(x,m)，故空闲率为1－eq\f(x,m)，由此可得y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m)))(0<x<m)．(2)对原二次函数配方，得y＝－eq\f(k,m)(x2－mx)＝－eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(km,4).即当x＝eq\f(m,2)时，y取得最大值eq\f(km,4).(3)由题意知为给羊群留有肯定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x＋y<m.因为当x＝eq\f(m,2)时，ymax＝eq\f(km,4)，所以0<eq\f(m,2)＋eq\f(km,4)<m，解得－2<k<2.又因为k>0，所以0<k<2.挖掘2构建y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)函数模型/互动探究[例2](2024·烟台模拟)小王高校毕业后，确定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流淌成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋eq\f(100,x)－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流淌成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？[解析](1)因为每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意得：当0<x<8时，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋x))－3＝－eq\f(1,3)x2＋4x－3，当x≥8时，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(100,x)－38))－3＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))，所以L(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0<x<8，,35－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))，x≥8.))(2)当0<x<8时，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋9，此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．当x≥8时，L(x)＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq\r(x·\f(100,x))＝35－20＝15(万元)．此时，当且仅当x＝eq\f(100,x)，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．挖掘3构建指数、对数模型的实际问题/互动探究[例3]候鸟每年都要随季节的改变而进行大规模地迁徙，探讨某种鸟类的专家发觉，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3eq\f(Q,10)(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？[解析](1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3eq\f(30,10)＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故a＋blog3eq\f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,a＋2b＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1.))(2)由(1)知，v＝a＋blog3eq\f(Q,10)＝－1＋log3eq\f(Q,10).所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，即－1＋log3eq\f(Q,10)≥2，即log3eq\f(Q,10)≥3，解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．挖掘4拟合函数的选择/互动探究[例4]某种特色水果每年的上市时间从4月1号起先仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格起先下降，后期价格在原有价格基础之上接着下跌．现有三种价格改变的模拟函数可供选择：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋7；③f(x)＝logq(x＋p)．其中p，q均为常数且q＞1.(注：x表示上市时间，f(x)表示价格，记x＝0表示4月1号，x＝1表示5月1号，…，以此类推x∈[0，5])(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格改变态势，请你选择，并简要说明理由；(2)对(1)中所选的函数f(x)，若f(2)＝11，f(3)＝10，记g(x)＝eq\f(f（x）－2x－13,x＋1)，经过多年的统计发觉，当函数g(x)取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预料明年拓展外销市场的时间是几月1号？[解析](1)依据题意，该种水果价格改变趋势是先单调递增后始终单调递减，基本符合开口向下的二次函数改变趋势，故应当选择②f(x)＝px2＋qx＋7.(2)由f(2)＝11，f(3)＝10解得f(x)＝－x2＋4x＋7.g(x)＝eq\f(f（x）－2x－13,x＋1)＝－eq\f(x2－2x＋6,x＋1)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,x＋1)＋（x＋1）－4)).因为－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,x＋1)＋（x＋1）－4))≤－2，当且仅当x＋1＝3即x＝2时等号成立．所以明年拓展外销的时间应为6月1号．[破题技法]1.建立函数模型的技巧(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下