2024学年九年级数学上学期同步讲解弧长和扇形面积含解析新版新人教版

弧长和扇形面积学问点1.正多边形与圆2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝＝3.圆锥与侧面绽开图（1）圆锥侧面绽开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：圆锥S侧==πrl，S=πr（l+r）注：易与勾股定理联系，先求母线长，再求面积二、标准例题：例1：如图，在矩形ABCD中有对角线AC与BD相等，已知AB=4,BC=3,则有AB2+BC2=AC2,矩形在直线MN上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点接着向右旋转至图②位置……依次类推，则:(1)AC=__________.(2)这样连续旋转2024次后，顶点B在整个旋转过程中所经过的路程之和是________.【答案】53028π【解析】（1）∵AB2+BC2=AC2,AB=4,BC=3,∴AC2=42+32=25,∴AC=5；（2）转动一次B的路途长是：0，转动其次次的路途长是：π，转动第三次的路途长是：π，转动第四次的路途长是：=2π，以此类推，每四次循环，2024÷4=504余3，顶点B转动四次经过的路途长为：0+++2π=6π,连续旋转2024次经过的路途长为：6π×504+0++=3028π．故答案为：（1）5；（2）3028π．总结：本题考查弧长的计算、矩形的性质、旋转变换等学问，解题的关键是理解题意，敏捷运用所学学问解决问题，属于中考常考题型．例2：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为()A． B． C． D．【答案】A【解析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=，∴∠A=30°，∴OH=OA=，AH=AO•cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=，∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==，故选A.总结：本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等学问，正确添加协助线，娴熟驾驭和敏捷运用相关学问是解题的关键.例3：如图，点为扇形的半径上一点，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且（表示的长），若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：连接交AC于．由折叠的学问可得：，，，，且，设圆锥的底面半径为，母线长为，，．故选：．总结：本题考查的是扇形，娴熟驾驭圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.三、练习1．1．如图，已知在⊙O中，AB=4，AF=6，AC是直径，AC⊥BD于F，图中阴影部分的面积是（）A．

B．

C．

D．【答案】D【解析】解：∵AC是直径，AC⊥BD于F，

∴BF=DF，，

∴∠BAC=∠DAC，

在RT△ABF中，

∴BD=2BF=4，

连接OB、OD、BC，

∵AC是直径，

∴∠ABC=90°，

∴BF2=AF•FC，即（2）2=6FC，

∴FC=2，

∴直径AC=AF+FC=6+2=8，

∴⊙O的半径为4，

∵AB=4，AF=6，

∴，

∴∠BAF=30°，

∴∠BAD=60°，

∴∠BOD=120°，

∵OC=4，FC=2，

∴OF=2，∴故选择：D.2．圆锥的底面半径是5cm，侧面绽开图的圆心角是180°，圆锥的高是（）A．5cm B．10cm C．6cm D．5cm【答案】A【解析】设圆锥的母线长为R，依据题意得2π•5，解得R＝10．即圆锥的母线长为10cm，∴圆锥的高为：5cm．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，记三个半圆的弧长分别为m，n，l，则下列各式成立的是（）A．m+n＜l B．m+n＝l C．m2+n2＞l2 D．m2+n2＝l2【答案】D【解析】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，m＝×π×AC，n＝×π×BC，1＝×π×AB，∴m2＝×π2×AC2，n2＝×π2×BC2，12＝×π2×AB2，∴m2+n2＝×π2×（AC2+BC2）＝×π2×AB2＝12，故选：D．4．一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是()A．2π B．4π C．12π D．24π【答案】C【解析】S=，故选C．5．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点A通时针旋转40°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（）A． B．C．4π D．条件不足，无法计算【答案】C【解析】解：由旋转的性质可知，S△ADE＝S△ABC，则阴影部分的面积＝S△ADE+S扇形DAB﹣S△ABC＝S扇形DAB＝＝4π，故选：C．6．如图，在正方形ABCD中，边长AB=1，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，则线段CD扫过的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，

∴CC1=2AC=2×AB=2，

∴线段CD扫过的面积=×（）2•π-×π=π，

故选：B．7．已知的扇形的圆心角为，半径长为，则该扇形的弧长为A． B． C． D．【答案】B【解析】依据弧长公式：l==3π，故选B．8．一个圆锥形的圣诞帽高为10cm，母线长为15cm，则圣诞帽的表面积为（）A．75cm2 B．150cm2 C．150cm2 D．75cm2【答案】A【解析】解：高为10cm，母线长为15cm，由勾股定理得，底面半径==5cm，底面周长=10πcm，

侧面面积=×10π×15=75πcm2．

故选：A．9．如图，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．无法确定【答案】C【解析】设OA＝a，扇形OAB的面积＝，以OA，OB为直径在扇形内作的半圆的面积＝P＝扇形OAB的面积﹣（以OA为直径的半圆的面积+以OB为直径的半圆的面积）+Q＝×2+Q＝Q故选C．10．如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是（）A．15π B．30π C．45π D．60π【答案】D【解析】解：圆锥的母线，∴圆锥的侧面积，故选：D．11．如图，四边形ABCD为矩形，以A为圆心，AD为半径的弧交AB的延长线于点E，连接BD，若AD=2AB=4，则图中阴影部分的面积为______．【答案】π+2-4【解析】解：BC交弧DE于F，连接AF，如图，AF=AD=4，∵AD=2AB=4∴AB=2，在Rt△ABF中，∵sin∠AFB==，∴∠AFB=30°，∴∠BAF=60°，∠DAF=30°，BF=AB=2，∴图中阴影部分的面积=S扇形ADF+S△ABF-S△ABD=+×2×2-×2×4=π+2-4．12．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_____cm2．（结果保留π）【答案】【解析】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′＝60°，△BCO≅△B′C′O，∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，∴∠B′OB＝120°，∵AB＝2cm，∴OB＝1cm，OC′＝，∴S扇形B′OB＝＝π，S扇形C′OC＝＝，∵阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC∴阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC＝π﹣＝π；故答案为：π．13．如图，在扇形中，半径与的夹角为，点与点的距离为，若扇形恰好是一个圆锥的侧面绽开图，则该圆锥的底面半径为______.【答案】【解析】解：连接，过作于，∵，，∴，，∴，∵，∴故答案是：14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为___．【答案】6.【解析】圆锥的底面周长cm，设圆锥的母线长为，则：，解得，故答案为：．15．已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面绽开图的圆心角是_____度．【答案】90【解析】解：设圆锥的母线为a，依据勾股定理得，，设圆锥的侧面绽开图的圆心角度数为，依据题意得，解得，即圆锥的侧面绽开图的圆心角度数为．故答案为：90．16．如图，中，，平分交于点，是上一点，经过、两点的分别交、于点、，，，则劣弧的长为_______________【答案】【解析】连接DF，OD，∵CF是⊙O的直径，∴∠CDF=90°，∵∠ADC=60°，∠A=90°，∴∠ACD=30°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCF=30°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=30°，∴∠COD=120°，在Rt△CAD中，CD=2AD=2，在Rt△FCD中，CF===4，∴⊙O的半径=2，∴劣弧的长==π，故答案为：π．17．将圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为_______．【答案】4【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为，依据题意得，解得，所以圆锥的高．故答案为4．18．如图所示，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移的距离为多少厘米？(保留)【答案】20πcm【解析】=20πcm．故答案为：20πcm．19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；（3）求（2）中点C运动的路径长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）如图所示：OC=,点C运动的路径长为:.20．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝5，且AC+BC＝6，求AB的长．【答案】.【解析】，∵，∴，即：，依据等式性质,两边都减去两个弓形面积,则，∵，∴，∴.∵，∴，即，∴.21．如图，AB为的直径，且，点C是上的一动点(不与A，B重合)，过点B作的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．(1)求证：EC是的切线；(2)当时，求阴影部分面积．【答案】(1)证明见