2024-2025学年新教材高中数学第十一章立体几何初步11.4.2平面与平面垂直学案新人教B版必修第四册

PAGE11.4.2平面与平面垂直新课程标准学业水平要求1.借助长方体,通过直观感知,了解平面与平面垂直的关系,并归纳出面面垂直的判定与性质定理.2.能运用直观感觉、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的命题.★水平一1.能够了解用数学语言表达的面面垂直的判定与性质定理.(数学抽象)2.了解面面垂直的判定与性质定理的条件与结论之间的逻辑关系.(逻辑推理)3.驾驭一些基本命题的证明,并有条理地表述论证过程.(逻辑推理)★水平二对于一些基本命题,能选择合适的论证方法表述论证过程,能够通过举反例说明某些数学结论不成立.(逻辑推理)必备学问·自主学习导思1.二面角、二面角的平面角是怎样定义的?怎么求二面角的大小?2.平面与平面垂直的判定定理是什么?3.两平面垂直的性质定理是什么?1.二面角(1)二面角的定义从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.(2)图示与记法图示记法二面角α-l-β或二面角P-AB-Q或二面角P-l-Q(3)二面角的平面角定义图示在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角(1)在二面角的定义中,依据“从一条直线动身的两个半平面”,想一想,能否用运动的观点定义二面角?提示:二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成.(2)二面角的平面角的定义中,“棱l上”、“在半平面α和β内”、“垂直于棱”可以缺少一个吗?提示:这三条是构成二面角的平面角的三要素,缺一不行.事实上,二面角的平面角的顶点必需在棱上,角的两边必需分别在两个半平面内,角的两边必需都与棱垂直,这三个缺一不行.前两个要素确定了二面角的平面角在同一个平面内,第三个要素确定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直.2.平面与平面垂直(1)两个平面垂直的定义假如两个平面α与β所成角的大小为90°,则称这两个平面相互垂直,记作α⊥β.(2)画法:两个相互垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.(3)面面垂直的判定定理判定定理符号表示图示假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面相互垂直假如l⊂α,l⊥β,则α⊥β(4)面面垂直的性质定理性质定理符号表示图示假如两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面假如α⊥β,α∩β=m,AO⊂α,AO⊥m,则AO⊥β(1)由面面垂直的定义中“直二面角”可以想到线线垂直和面面垂直有什么关系?提示:作出二面角的平面角,由二面角的平面角是直角推出两个平面垂直,反之,由两个平面垂直也可以推出二面角的平面角是直角,即实现了线线垂直与面面垂直的相互转化.(2)由面面垂直的判定定理中“l⊥α,l⊂β”,可以想到线面垂直和面面垂直有什么关系?提示:可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,则面面垂直.因此证明面面垂直可转化为证明线面垂直.(3)性质定理中若去掉在一个平面内即“AO⊂α”,定理是否成立?提示:不肯定成立,如图,a⊥α,这时也有a⊥l,但a与β不垂直.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角. ()(2)对于确定的二面角而言,平面角的大小与顶点在棱上的位置有关. ()(3)两个平面垂直,其中一个平面内的任一条直线与另一个平面肯定垂直. ()(4)假如平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,则α⊥β. ()提示:(1)×.由二面角的定义:从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角,所以(1)不对,实质上它共有四个二面角.(2)×.对于确定的二面角而言,在其棱上任取两个不同的点,分别作这两个二面角的平面角,因为这两个二面角的平面角所在的边分别平行,且它们的方向相同,所以这两个角相等,即平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,只与二面角的张角大小有关,所以该命题错误.(3)×.不肯定.只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面.(4)×.如图所示,长方体中平面α内有一条直线l垂直于平面β内的一条直线m,但是平面α与平面β不垂直.2.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,那么有 ()A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC【解析】选D.因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BCD.又因为AD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面DBC.3.(教材二次开发:例题改编)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2QUOTE,CC1=QUOTE,二面角C1-BD-C的大小为.

【解析】如图,连接AC交BD于点O,连接C1O.因为C1D=C1B,O为BD中点,所以C1O⊥BD.因为AC⊥BD,所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,在Rt△C1CO中,C1C=QUOTE,可以计算出C1O=2QUOTE,所以sin∠C1OC=QUOTE=QUOTE.所以∠C1OC=30°.答案:30°关键实力·合作学习类型一二面角的概念及大小的计算(数学运算、直观想象)【典例】如图所示,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为QUOTE.求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小.【思路导引】一方面借助侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为QUOTE,求底面边长和棱锥高的关系,另一方面要作出侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,并解直角三角形求正切值.【解析】取AD中点M,连接MO,PM,因为四边形ABCD是正方形,所以OA=OD,所以OM⊥AD,因为PO⊥底面ABCD,所以∠POA=∠POD=90°,所以△POA≌△POD,所以PA=PD,所以PM⊥AD,所以∠PMO是侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,因为PO⊥底面ABCD,所以∠PAO是侧棱PA与底面ABCD所成的角,所以tan∠PAO=QUOTE,设正方形ABCD的边长为a,则AO=QUOTEa,所以PO=AO·tan∠PAO=QUOTEa×QUOTE=QUOTEa,所以tan∠PMO=QUOTE=QUOTE,所以∠PMO=60°.故侧面PAD与底面ABCD所成的二面角是60°.将本例的条件“侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为QUOTE”改为“底面边长为a,E是PC的中点.若二面角E-BD-C为30°”,求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】取OC的中点F,连接EF,OE,如图所示,因为E为PC的中点,所以EF为△POC的中位线,所以EF∥PO,因为PO⊥底面ABCD,所以EF⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以EF⊥BD,因为OF⊥BD,EF⊥BD,OF∩EF=F,所以BD⊥平面EOF,OE⊂平面EOF,所以BD⊥OE,所以∠EOF为二面角E-BD-C的平面角,所以∠EOF=30°,因为OF=QUOTEOC=QUOTEAC=QUOTEa,所以在Rt△EOF中,EF=OF·tan30°=QUOTEa,所以OP=2EF=QUOTEa,故VP-ABCD=QUOTE×a2×QUOTEa=QUOTEa3.1.求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.2.作二面角的平面角的方法方法一:(定义法)在二面角的棱上找一个特别点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.方法二:(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,连接该点与垂足,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.方法三:(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.提示:二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可依据须要选择特别点作平面角的顶点.1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B-A1C1-B【解析】取A1C1的中点O,连接B1由题意知B1O⊥A1C1,又BA1=BC1,O为A1C1的中点,所以BO⊥A1C1,所以∠BOB1即是二面角B-A1C因为BB1⊥平面A1B1C1D1,OB1⊂平面A1B1C1D所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a,则OB1=QUOTEa,在Rt△BB1O中tan∠BOB1=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以二面角B-A1C1-B1的正切值为QUOTE.2.如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.【解析】因为E为SC的中点,且SB=BC,所以BE⊥SC.又DE⊥SC,BE∩DE=E,所以SC⊥平面BDE,所以BD⊥SC.又SA⊥平面ABC,可得SA⊥BD,因为SC∩SA=S,所以BD⊥平面SAC,从而BD⊥AC,BD⊥DE,所以∠EDC为二面角E-BD-C的平面角.设SA=AB=1,在△ABC中,因为AB⊥BC,所以SB=BC=QUOTE,AC=QUOTE,所以SC=2.在Rt△SAC中,∠DCS=30°,所以∠EDC=60°,即二面角E-BD-C为60°.【补偿训练】1.如图所示的二面角可记为 ()A.α-β-l B.M-l-N C.l-M-N D.l-β-α【解析】选B.依据二面角的记法规则可知B正确.2.如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=QUOTEAD,求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小.【解析】因为AC⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD,AC∩CD=C,所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD,所以AD⊥BD,所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角.在Rt△ACD中,AC=QUOTEAD,所以∠ADC=30°.即平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小为30°.类型二平面与平面垂直的判定(逻辑推理、直观想象)【典例】1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有.

2.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,四边形BB1D1D是矩形,证明:平面BDD1B1⊥平面A1C【思路导引】1.分这两点的连线与平面之间的关系探讨,得出不同的结论.2.依据题目条件,要证平面BDD1B1⊥平面A1C1CA,只要证BD⊥平面A1C【解析】1.设平面外的点为A,平面内的点为B,过点A作平面α的垂线l,若点B恰为垂足,则全部过AB的平面均与α垂直,此时有多数个平面与α垂直;若点B不是垂足,则l与点B确定唯一一个平面与α垂直.答案:1个或多数个2.由于四边形BB1D1D是矩形,所以BD⊥B1B.又A1A∥B1B,所以BD⊥A1又四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形所以BD⊥AC.因为AC∩A1A=A,所以BD⊥平面A1C因为BD⊂平面BDD1B1,所以平面BDD1B1⊥平面A1C1证明平面与平面垂直的两个常用方法(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是:①找出两相交平面的平面角;②证明这个平面角是直角;③依据定义,这两个相交平面相互垂直.(2)利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只要证线面垂直.即在其中一个平面内找寻一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是:1.已知直线l⊥平面α,则经过l且和α垂直的平面 ()A.有一个 B.有两个C.有多数个 D.不存在【解析】选C.经过l的任一平面都和α垂直.2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1求证:(1)DE∥平面A1C(2)平面B1DE⊥平面A1C【证明】(1)因为D,E分别是AB,BC的中点,所以DE∥AC,又AC∥A1C1,所以DE∥A1C又因为A1C1⊂平面A1C1F,且DE所以DE∥平面A1C(2)因为ABC-A1B1C1所以AA1⊥平面A1B1C1所以AA1⊥A1C1又因为A1C1⊥A1B1,且AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1⊂平面AA1B1B,所以A1C1⊥平面AA1B所以A1C1⊥B1D,又A1F⊥B1D,A1F∩A1C所以B1D⊥平面A1C又因为B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C【补偿训练】1.如图所示,在四面体ABCS中,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.【证明】方法一:(利用定义证明)因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,所以△ASB和△ASC是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.在Rt△BSC中,因为SB=SC=a,所以SD=QUOTEa,BD=QUOTE=QUOTEa.在Rt△ABD中,AD=QUOTEa,在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2,所以∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.方法二:(利用判定定理)因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,所以SA=AB=AC,所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.因为△SBC为直角三角形,所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,所以AD⊥平面SBC.又因为AD⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面SBC.2.如图所示,四边形ABCD是边长为a的菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点,求证:平面BDE⊥平面ABCD.【证明】连接AC,设AC∩BD=O,连接OE.因为O为AC中点,E为PA的中点,所以EO是△PAC的中位线,所以EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD.又因为EO⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABCD.类型三面面垂直性质定理的应用(逻辑推理、直观想象)【典例】1.如图,在多边形PABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,PA=AB=AD=2BC,∠PAD=60°,M是线段PD上的一点,且DM=2MP,若将△PAD沿AD折起,得到几何体P-ABCD.(1)证明:PB∥平面AMC.(2)若BC=1,且平面PAD⊥平面ABCD,求三棱锥P-ACM的体积.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD.(1)求证:DC⊥平面PAD.(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.【思路导引】1.(1)用线面平行的判定定理证明.(2)一方面要留意由平面PAD⊥平面ABCD推出BA⊥平面PAD;另一方面要留意VP-ACM=VC-PAM.2.(1)依据平面PAD⊥平面ABCD和AD⊥DC证明;(2)转化为证明PA⊥平面PCD.【解析】1.(1)连接BD,交AC于点O,连接MO.因为AD∥BC,所以△BCO∽△DAO,因为AD=2BC,所以DO=2BO,因为DM=2MP,所以PB∥MO,因为PB⊄平面AMC,MO⊂平面AMC,所以PB∥平面AMC.(2)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,AB⊥AD,所以BA⊥平面PAD.因为BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD,则三棱锥C-PAM的高等于点B到平面PAD的距离,即BA=2,因为S△PAM=QUOTES△PAD=QUOTE×QUOTE×AP×AD×sin60°=QUOTE,所以VP-ACM=VC-PAM=QUOTES△PAM·BA=QUOTE.2.(1)因为底面ABCD是矩形,所以AD⊥DC,又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,且DC⊂平面ABCD,所以DC⊥平面PAD.(2)由(1)得DC⊥平面PAD.又因为PA⊂平面PAD,所以DC⊥PA,又因为PA⊥PD,DC∩PD=D,所以PA⊥平面PCD,又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.1.应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个留意点(1)一个意识若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直.(2)三个留意点:①两个平面垂直,是前提条件;②直线必需在其中一个平面内;③直线必需垂直于它们的交线.2.证明线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理;(2)面面垂直的性质定理;(3)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(a,b为直线,α为平面);(4)若a⊥α,α∥β,则a⊥β(a为直线,α,β为平面).3.解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量,一般状况下,在折线同侧的量,折叠前后不变,“跨过”折线的量,折叠前后可能会发生改变,这是解决这类问题的关键.(2)在解题时细致谛视从平面图形到立体图形的几何特征的改变状况,留意相应的点、直线、平面间的位置关系,线段的长度,角度的改变状况.如图,四棱锥V-ABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.求证:平面VBC⊥平面VAC.【证明】因为平面VAB⊥平面ABCD,且BC⊥AB,平面VAB∩平面ABCD=AB,BC⊂平面ABCD.所以BC⊥平面VAB,又VA⊂平面VAB,所以BC⊥VA,又VB⊥平面VAD,所以VB⊥VA,又VB∩BC=B,所以VA⊥平面VBC,因为VA⊂平面VAC,所以平面VBC⊥平面VAC.【补偿训练】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证:BC⊥AB.【证明】如图,在平面PAB内,作AD⊥PB于点D.因为平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB,AD⊥PB,AD⊂平面PAB,所以AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,所以AD⊥BC.又因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又因为PA∩AD=A,所以BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB,所以BC⊥AB.备选类型垂直关系的综合应用(逻辑推理、直观想象)【典例】如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB的中点,过A,D,N三点的平面交PC于M,E为AD的中点.求证:(1)EN∥平面PDC;(2)BC⊥平面PEB;(3)平面PBC⊥平面ADMN.【思路导引】(1)证明EN∥DM;(2)由AD∥BC可证AD⊥平面PEB;(3)利用(2)可证PB⊥平面ADMN.【证明】(1)因为AD∥BC,BC⊂平面PBC,AD⊄平面PBC,所以AD∥平面PBC.又因为平面ADMN∩平面PBC=MN,所以AD∥MN.又因为BC∥AD,所以MN∥BC.又因为N是PB的中点,所以点M为PC的中点.所以MN∥BC且MN=QUOTEBC,又因为E为AD的中点,所以MN∥DE,且MN=DE.所以四边形DENM为平行四边形.所以EN∥DM,且EN⊄平面PDC,DM⊂平面PDC.所以EN∥平面PDC.(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,所以BE⊥AD.又因为侧面PAD是正三角形,且E为AD中点,所以PE⊥AD,因为BE∩PE=E,所以AD⊥平面PBE.又因为AD∥BC,所以BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥平面PBE,又PB⊂平面PBE,所以AD⊥PB.又因为PA=AB,N为PB的中点,所以AN⊥PB,且AN∩AD=A,所以PB⊥平面ADMN.又因为PB⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面ADMN.线面、面面垂直的综合问题的解题策略(1)重视转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化,即证面面垂直,转化为证线面垂直;证线面垂直转化为证线线垂直.(2)充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题时,通常要先证出一个关键的线面垂直关系,由此动身才能证出其他线线垂直、线面垂直关系,因此要留意线面垂直在解题过程中的枢纽作用.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,AB=BC,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PA⊥BD;(2)求证:平面BDE⊥平面PAC.【证明】(1)因为PA⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC=B,所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)知,PA⊥BD,又AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC.因为BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.课堂检测·素养达标1.下列说法中,错误的是 ()A.假如平面α⊥平面β,那么平面α内肯定存在直线平行于平面βB.假如平面α不垂直于平面β,那么平面α内肯定不存在直线垂直于平面βC.假如平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.假如平面α⊥平面β,那么平面α内全部直线都垂直于平面β【解析】选D.假如平面α⊥平面β,那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β,其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直,故D错误.2.如图,AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC-A的平面角为 ()A.∠PAC B.∠CPA C.∠PCA D.∠CAB【解析】选C.因为AB为圆的直径,所以AC⊥BC.因为PA⊥BC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.所以BC⊥PC.所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.3.(教材二次开发:练习改编)下列四个说法中,正确的序号有.

①α∥β,β⊥γ,则α⊥γ;②α∥β,β∥γ,则α∥γ;③α⊥β,γ⊥β,则α⊥γ;④α⊥β,γ⊥β,则α∥γ.【解析】③④不正确,如图所示,α⊥β,γ⊥β,但α,γ相交且不垂直.答案:①②4.如图所示,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,视察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是.

【解析】如图,因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB⊂β,OC⊂β且OB∩OC=O,依据线面垂直的判定定理,可得OA⊥β.又OA⊂α,依据面面垂直的判定定理,可得α⊥β.答案:面面垂直的判定定理5.如图所示,三棱锥P-ABC中,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,△PAC是直角三角形,∠PAC=90°,平面PAC⊥平面ABC.求证:平面PAB⊥平面PBC.【证明】因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PA⊥AC,所以PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.又因为AB⊥BC,AB∩PA=A,AB⊂平面PAB,PA⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC,所以平面PAB⊥平面PBC.课时素养评价十九平面与平面垂直(15分钟·30分)1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 ()A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂α D.m∥n,m⊥α,n⊥β【解析】选C.因为n⊥β,m∥n,所以m⊥β,又m⊂α,由面面垂直的判定定理,得α⊥β.2.如图所示,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,则图中相互垂直的平面共有 ()A.3对 B.4对 C.5对 D.6对【解析】选D.因为PA⊥平面ABCD,且PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAD,PA⊂平面PAC,所以平面PAB和平面PAC和平面PAD都与平面ABCD垂直,又AD⊥PA,AD⊥AB,所以AD⊥平面PAB,又AD⊂平面PAD,所以平面PAB⊥平面PAD,同理可证平面PBC⊥平面PAB,平面PCD⊥平面PAD.3.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是 ()A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β【解析】选D.A中,m,n可能为平行、垂直、异面直线;B中,m,n可能为异面直线;C中,m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立.4.矩形ABCD的两边AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD,且PA=QUOTE,则二面角A-BD-P的度数为 ()A.30° B.45° C.60° D.120°【解析】选A.过A作AE⊥BD,连接PE,则∠AEP为所求角.由AB=3,AD=4知BD=5.又AB·AD=BD·AE,所以AE=QUOTE,所以tan∠AEP=QUOTE=QUOTE.所以∠AEP=30°.5.如图所示,平面α⊥平面β,在α与β交线上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和β内,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=3,BD=12,则CD=.

【解析】连接BC.因为BD⊥AB,α⊥β,α∩β=AB,所以BD⊥α.因为BC⊂α,所以BD⊥BC,所以△CBD是直角三角形.在Rt△BAC中,BC=QUOTE=5.在Rt△CBD中,CD=QUOTE=13.答案:136.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1(1)求证:A1E⊥BD.(2)当E恰为棱CC1的中点时,求证:平面A1BD⊥平面EBD.【解题指南】(1)欲证A1E⊥BD,只需证明BD垂直A1E所在平面即可.(2)要证平面A1BD⊥平面EBD,只需求出二面角为直二面角即可,或证明一个平面内的某始终线垂直于另一个面.【证明】连接AC,设AC∩DB=O,连接A1O,OE,(1)因为AA1⊥底面ABCD,所以BD⊥A1A又BD⊥AC,A1A∩AC=A,所以BD⊥平面ACEA1因为A1E⊂平面ACEA1,所以A1E⊥BD.(2)在等边三角形A1BD中,BD⊥A1O,因为BD⊥平面ACEA1,OE⊂平面ACEA1,所以BD⊥OE,所以∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设棱长为2a因为E为棱CC1的中点,由平面几何学问,得EO=QUOTEa,A1O=QUOTEa,A1E=3a,满意A1E2=A1O2+EO2,所以∠A1OE=90°,即平面A1BD⊥平面EBD.(30分钟·60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是 ()A.l⊂α,m⊂β,且l⊥mB.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥nC.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥mD.l⊂α,l∥m,且m⊥β【解析】选D.A选项,l⊂α,m⊂β,且l⊥m,如图1,α,β不垂直;B选项,l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥n,如图2,α,β不垂直;C选项,m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m,直线l没有确定,则α,β的关系也不能确定;D选项,l⊂α,l∥m,且m⊥β,则必有l⊥β,依据面面垂直的判定定理知,α⊥β.2.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为AD的中点,现分别沿BE,CE将△ABE,△DCE翻折,使得点A,D重合于F,此时二面角E-BC-F的余弦值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.取BC的中点O,连接OE,OF,因为BA=CD,所以BF=FC,即三角形BFC是等腰三角形,则FO⊥BC,因为BE=CE,所以△BEC是等腰三角形,所以EO⊥BC,则∠FOE是二面角E-BC-F的平面角,因为EF⊥CF,BF⊥EF,所以EF⊥平面BCF,EF⊥FO,则直角三角形EFO中,OE=AB=2,EF=DE=QUOTE,所以OF=QUOTE=QUOTE=QUOTE,则cos∠FOE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别是AB,AD,AA1的中点,又P,Q分别在线段A1B1,A1D1上,且A1P=A1A.l∥平面BDD1B1B.l⊥MCC.当m=QUOTE时,平面MPQ⊥MEFD.当m改变时,直线l的位置不变【解析】选C.因为A1P=A1Q=m,所以PQ∥B1D1,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,所以PQ∥EF,因为平面MEF∩平面MPQ=l,所以PQ∥EF∥l.选项A,D明显成立;因为BD∥EF∥l,BD⊥平面ACC1A1所以l⊥平面ACC1A1因为MC⊂平面ACC1A1所以l⊥MC,所以B选项成立;易知AC1⊥平面MEF,A1C⊥平面MPQ,而直线AC1与A14.如图,AB是圆锥SO的底面圆O的直径,D是圆O上异于A,B的随意一点,以AO为直径的圆与AD的另一个交点为C,P为SD的中点.现给出以下结论:①△SAC为直角三角形;②平面SAD⊥平面SBD;③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行.其中正确结论的个数是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.①因为SO⊥底面圆O,所以SO⊥AC,C在以AO为直径的圆上,所以AC⊥OC,因为OC∩SO=O,所以AC⊥平面SOC,AC⊥SC,即△SAC为直角三角形,故①正确;②假设平面SAD⊥平面SBD,在平面SAD中过A作AH⊥SD交SD于H,则AH⊥平面SBD,所以AH⊥BD,又因为BD⊥AD,所以BD⊥平面SAD,又CO∥BD,所以CO⊥平面SAD,所以CO⊥SC,又在△SOC中,SO⊥OC,在一个三角形内不行能有两个直角,故平面SAD⊥平面SBD不成立,故②错误;③连接DO并延长交圆于E,连接PO,SE,因为P为SD的中点,O为ED的中点,所以OP是△SDE的中位线,所以PO∥SE,即SE∥平面APB,即平面PAB必与圆锥SO的母线SE平行,故③正确.故正确的是①③.【补偿训练】如图,BC为圆O的直径,D为圆周上异于B,C的一点,AB垂直于圆O所在的平面,BE⊥AC于点E,BF⊥AD于点F.给出以下命题:①BF⊥DE;②BE⊥CD;③平面ABD⊥平面ACD;④平面BEF⊥平面ACD.其中正确命题的个数为 ()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由题可知,AB⊥平面BCD,则有AB⊥CD,且CD⊥BD,可得CD⊥平面ABD,又CD⊂平面ACD,得:平面ABD⊥平面ACD,故③正确;由CD⊥平面ABD,得CD⊥BF,又BF⊥AD,得BF⊥平面ACD,又DE⊂平面ACD,所以BF⊥DE,故①正确;由BF⊥平面ACD,BF⊂平面BEF,得平面BEF⊥平面ACD,故④正确;不正确的是②BE⊥CD.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,下列四个命题中正确命题是 ()A.若α∥β,则l⊥mB.若l⊥m,则α∥βC.若α⊥β,则l∥mD.若l∥m,则α⊥β【解析】选AD.A选项,若α∥β,因为l⊥α,则l⊥β,又因为m⊂β,所以l⊥m.故A正确;B选项,举反例,当α∩β=m时,满意l⊥α,m⊂β,l⊥m,故B错;C选项,举反例,当α∩β=m时,满意l⊥α,m⊂β,α⊥β,则l⊥m,故C错;D选项,若l∥m,则m⊥α,因为m⊂β,所以α⊥β,D正确.【补偿训练】(多选题)已知两条直线l,m及三个平面α,β,γ,下列条件中能推出α⊥β的是 ()A.l⊂α,l⊥βB.l⊥α,m⊥β,l⊥mC.α⊥γ,β∥γD.l⊂α,m⊂β,l⊥m【解析】选ABC.由假如一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直知选项A正确;选项B明显正确;由假如两个相互平行的平面有一个垂直于一个平面,那么另一个平面也垂直这个平面知选项C正确;D选项α与β可能平行.6.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是D1B,A1A.CE∥D1B.平面AFD∥平面B1EC1C.AB1⊥EFD.平面AED⊥平面ABB1A【解析】选CD.A选项,如图,在D1B,A1C因为ABCD-A1B1C1D1则四边形A1BCD1为矩形,因为∠FD1C+∠ECD1<∠A1D1C+∠BCD1=180所以CE与D1F不平行,故A错误;B选项,不妨取F与A1重合,E与O重合,此时平面AFD与平面B1EC1相交,故B错误;C选项,AB1⊥A1B,AB1⊥BC,且A1B∩BC=B,则AB1⊥平面A1BCD1,则AB1⊥EF,故C正确;D选项,AD⊥平面ABB1A1,而AD⊂平面AED,则平面AED⊥平面ABB1【补偿训练】(多选题)在正四面体ABCD中,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,下面四个结论中正确的是 ()A.BC∥平面AGFB.EG⊥平面ABFC.平面AEF⊥平面BCDD.平面ABF⊥平面BCD【解析】选ABD.如图所示.A选项,因为F,G分别是CD,DB的中点,所以GF∥BC,则BC∥平面AGF,故A正确;B选项,因为E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,所以CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF,因为EG∥CD,所以EG⊥平面ABF,故B正确;D选项,因为CD⊥平面ABF,CD⊂平面BCD,所以平面ABF⊥平面BCD,故D正确;只有C错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知正方形ABCD的边长为1,将△ADC沿对角线AC折起,若折叠后平面ACD⊥平面ACB,则此时AC与BD所成角的大小是,点B,D之间的距离是.

【解析】如图所示,取AC的中点O,连接OB,OD.因为DA=DC,BA=BC,O为AC的中点,所以DO⊥AC,BO⊥AC,又DO∩BO=O,所以AC⊥平面BOD,又BD⊂平面BOD,所以AC⊥BD,即此时AC与BD所成的角是90°.因为平面ACD⊥平面ACB,平面ACD∩平面ACB=AC,DO⊥AC,所以DO⊥平面ABC,所以DO⊥OB,又OB=OD=QUOTEAC=QUOTE,所以BD=QUOTE=1.答案:90°1【补偿训练】如图所示,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=QUOTE,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=.

【解析】取AB的中点E,连接DE,CE.因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,且DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,故DE⊥CE.由已知可得DE=QUOTE,EC=1,在Rt△DEC中,CD=QUOTE=2.答案:28.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满意条件①BM⊥DM,②DM⊥PC,③BM⊥PC中的时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可).

【解析】因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,因为底面各边都相等,所以AC⊥BD,因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC,所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.答案:②(或③)四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,△ABC是正三角形,线段EA和DC都垂直于平面ABC,设EA=AB=2a,DC=a,且F为BE的中点.(1)求证:DF∥平面ABC.(2)求证:AF⊥BD.(3)求平面BDF与平面ABC所成的较小二面角的大小.【解析】(1)如图所示,取AB中点G,连接CG,FG.因为EF=FB,AG=GB,所以FG∥EA,且FG=QUOTEEA,又DC∥EA,且DC=QUOTEEA,所以FG∥DC,且FG=DC,所以四边形CDFG为平行四边形,所以DF∥CG,因为DF⊄平面ABC,CG⊂平面ABC,所以DF∥平面ABC.(2)因为EA⊥平面ABC,所以EA⊥CG.又△ABC是正三角形,G是AB的中点,所以CG⊥AB.又EA∩AB=A,所以CG⊥平面AEB.又因为DF∥CG,所以DF⊥平面AEB.所以DF⊥AF.因为AE=AB,EF=FB,所以AF⊥BE,又BE∩DF=F,所以AF⊥平面BED,所以AF⊥BD.(3)延长ED交AC延长线于G′,连接BG′.由DC∥EA,且DC=QUOTEEA知,D为EG′的中点,所以FD∥BG′.又CG⊥平面ABE,FD∥CG,所以BG′⊥平面ABE.所以∠EBA为所求二面角的平面角.在等腰直角三角形AEB中,可得∠EBA=45°.所以平面BDE与平面ABC所成的较小二面角是45°.10.已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且QUOTE=QUOTE=λ(0<λ<1).(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD.【解析】(1)因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.又QUOTE=QUOTE=λ(0<λ<1),所以不论λ为何值,恒有EF∥CD,所以EF⊥平面ABC,又EF⊂平面BEF,所以不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知,EF⊥BE,又平面BEF⊥平面ACD,所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC.因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,AB⊥平面BCD,所以BD=QUOTE,AB=QUOTEtan60°=QUOTE,所以AC=QUOTE=QUOTE,由AB2=AE·AC得AE=QUOTE,所以λ=QUOTE=QUOTE,故当λ=QUOTE时,平面BEF⊥平面ACD.【补偿训练】(2024·全国卷Ⅲ)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧QUOTE所在平面垂直,M是QUOTE上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.【解析】(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为QUOTE上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)存在,AM的中点即为符合题意的点P.证明如下:取AM的中点P,连接AC,BD交于点N,连接PN.因为四边形ABCD是矩形,所以N是AC的中点,在△ACM中,点P,N分别是AM,AC的中点,所以PN∥MC,又因为PN⊂平面PBD,MC⊄平面PBD,所以MC∥平面PBD,所以,在线段AM上存在点P,即AM的中点,使得MC∥平面PBD.1.如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如图①).将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图②).在折起的过程中,则下列表述:①AC∥平面BEF;②四点B,C,E,F可能共面;③若EF⊥CF,则平面ADEF⊥平面ABCD;④平面BCE与平面BEF可能垂直.其中正确的是.

【解析】对于①,连接AC,BD交于点M,取BE的中点N,连接MN,FN,如图所示.则AF=QUOTEDE且AF∥DE,四边形ABCD是矩形,且AC∩BD=M,所以M为BD的中点,因为N为BE的中点,所以MN∥DE且MN=QUOTEDE,所以MN∥AF且MN=AF,所以四边形AFNM为平行四边形,所以AM∥FN,即AC∥