2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.2离散型随机变量及其分布列教师用书教案新人教A版选择性必修第三册

PAGE7.2离散型随机变量及其分布列新版课程标准学业水平要求1.借助详细实例,了解离散型随机变量及其分布列.2.体会连续型随机变量与离散型随机变量的共性与差异.1.借助教材实例,了解离散型随机变量及其分布列.(数学抽象)2.了解离散型随机变量的性质、两点分布的概念.(数学抽象)3.会求简洁的离散型随机变量的分布列.(数学运算)必备学问·素养奠基1.离散型随机变量(1)随机变量:对于随机试验样本空间Ω中的每一个样本点ω,都有唯一的实数XQUOTE与之对应,我们称X为随机变量.(2)离散型随机变量:可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称之为离散型随机变量.(3)表示:随机变量用大写英文字母表示,如X,Y,Z;随机变量的取值用小写英文字母表示,如x,y,z.(4)本质:通过引入一个取值依靠于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化.2.离散型随机变量的分布列(1)定义:设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率PQUOTE=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.(2)表示:表格Xx1x2…xnPp1p2…pn概率分布图(3)性质:①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=1.3.两点分布对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“胜利”,QUOTE表示“失败”,定义X=QUOTE假如PQUOTE=p,则PQUOTE=1-p,那么X的分布列为X01P1-pp我们称X听从两点分布或0-1分布.若随机变量X的分布列为X12P那么X听从两点分布吗?提示:不听从两点分布,X的取值只能是0,1.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)一只大熊猫一年内的体重是离散型随机变量.()(2)离散型随机变量的取值肯定是有限个.()(3)离散型随机变量是指某一区间内的随意值.()提示:(1)×.大熊猫一年内的体重是连续型随机变量.(2)×.离散型随机变量的取值可能是无限个,但是能一一列出.(3)×.离散型随机变量的取值可以是随意的实数.2.下列变量:①某机场候机室中一天的旅客数量为X;②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X;③某水电站视察到一天中长江的水位为X;④某立交桥一天内经过的车辆数为X.其中不是离散型随机变量的是()A.①中的X B.②中的XC.③中的X D.④中的X【解析】选C.①②④中的随机变量X可能取的值,我们都可以按肯定次序一一列出,因此它们都是离散型随机变量;③中的X可以取某一区间内的一切值,无法按肯定次序一一列出,故它不是离散型随机变量.3.袋中有大小相同的5个钢球,分别标有1,2,3,4,5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球,设两个球号码之和为随机变量X,则X全部可能值的个数是()A.25 B.10 C.9 D.5【解析】选C.第一次可取1,2,3,4,5中的随意一个,由于是有放回地抽取,其次次也可取1,2,3,4,5中的任何一个,两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.关键实力·素养形成类型一离散型随机变量的概念【典例】1.下列所述:①某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差X;②某报社一天内收到的投稿件数X;③一天之内的温度X;④一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分.其中X是离散型随机变量的是()A.②③B.②④C.③④D.③④2.(多选题)抛掷两枚骰子一次,记第一枚骰子掷出的点数减去其次枚骰子掷出的点数之差为X,那么“X≤-4”表示的随机事务的结果是()A.第一枚1点,其次枚4点B.第一枚2点,其次枚6点C.第一枚1点,其次枚5点D.第一枚1点,其次枚6点【思维·引】1.依据离散型随机变量的定义推断;2.利用两次掷出的点数验证.【解析】1.选B.②④中的X可以取的值可以一一列举出来,而①③中的X可以取某一区间内的一切值,属于连续型的.2.选BCD.抛掷两枚骰子,点数之差满意小于等于-4的只有三种状况,故第一枚为1点、其次枚为6点,第一枚为1点、其次枚为5点,第一枚为2点、其次枚为6点.【内化·悟】本例2中,假如掷出的点数之差的肯定值为随机变量X,则X取值有哪些?提示:X=0,1,2,3,4,5.【类题·通】1.关于离散型随机变量的推断(1)把握离散型随机变量的特点:有限个或能一一列出;(2)依据实际状况或条件求出随机变量的取值进行推断.2.关于离散型随机变量取值的意义关键是明确随机试验产生随机变量的方法,就可以反推随机变量的取值对应的试验结果.这个试验结果对于求随机变量取值对应的概率至关重要.【习练·破】在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取一件,取到次品就停止,设抽取次数为X,则X=3表示的试验结果是________.

【解析】X=3表示共抽取3次,前2次均是正品,第3次是次品.答案:共抽取3次,前2次均是正品,第3次是次品【加练·固】一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最终结果都加上6分,求最终得分η的可能取值,并判定η是否为离散型随机变量.【解析】(1)ξ0123结果取得3个黑球取得1个白球,2个黑球取得2个白球,1个黑球取得3个白球(2)由题意可得:η=5ξ+6,而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3},所以η对应的各值是:5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.故η的可能取值为6,11,16,21.明显,η为离散型随机变量.类型二离散型随机变量的分布列的性质【典例】1.离散型随机变量X的分布列为X01P9C2-C3-8C则常数C的值为()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE或QUOTE D.以上都不对2.设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求:(1)2X+1的分布列;(2)求P(1<X≤4)的值.【思维·引】1.利用分布列中概率和为1求出C值,再验证是否符合性质(1);2.(1)求出2X+1的取值,再求出对应的概率后列分布列;(2)依据分布列求出当1<X≤4时的概率.【解析】1.选B.由离散型随机变量X的分布列,得QUOTE解得C=QUOTE或QUOTE(舍去).2.由分布列的性质知:0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.(1)由题意可知P(2X+1=1)=P(X=0)=0.2,P(2X+1=3)=P(X=1)=0.1,P(2X+1=5)=P(X=2)=0.1,P(2X+1=7)=P(X=3)=0.3,P(2X+1=9)=P(X=4)=0.3.所以2X+1的分布列为:2X+113579P0.20.10.10.30.3(2)P(1<X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.1+0.3+0.3=0.7.【内化·悟】本例1中,C为什么不能取QUOTE?提示:若C=QUOTE,则3-8C=3-QUOTE=-QUOTE<0,不符合分布列的性质.【类题·通】关于离散型随机变量的分布列的性质(1)X的各个取值表示的事务是互斥的,可以利用互斥事务和的概率公式求随机变量在肯定范围内的概率;(2)两特性质p1+p2+…=1,且pi≥0,i=1,2,…,要逐一验证,特殊不能忽视pi≥0.【习练·破】1.(2024·重庆高二检测)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=mk(k=1,2,3,4,5),则实数m=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=mk(k=1,2,3,4,5),所以m+2m+3m+4m+5m=1,解得实数m=QUOTE.2.已知随机变量X的分布列:X12345Pa(1)求a;(2)求P(X≥4),P(2≤X<5).【解析】(1)由QUOTE+QUOTE+a+QUOTE+QUOTE=1,得a=QUOTE.(2)P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=QUOTE+QUOTE=QUOTE,P(2≤X<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.类型三求离散型随机变量的分布列【典例】某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关须要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确得0分,第三个问题回答正确得20分,回答不正确得-10分.假如一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是QUOTE,回答第三个问题正确的概率为QUOTE,且各题回答正确与否相互之间没有影响.若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关胜利.(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列.(2)求这位挑战者闯关胜利的概率.【思维·引】(1)先确定总得分X的取值,再分别求出概率后列分布列;(2)利用分布列求X≥10的概率.【解析】(1)这位挑战者回答这三个问题的总得分X全部可能的取值为-10,0,10,20,30,40,P(X=-10)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=0)=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=10)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=20)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=30)=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=40)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以X的分布列为:X-10010203040P(2)依题意总分不低于10分就算闯关胜利,所以这位挑战者闯关胜利的概率P=P(X≥10)=1-P(X≤0)=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE.【类题·通】求离散型随机变量的分布列的一般步骤:(1)确定X的全部可能取值xi(i=1,2,…)以及每个取值所表示的意义;(2)利用概率的相关学问,求出每个取值相应的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…);(3)写出分布列;(4)依据分布列的性质对结果进行检验.【习练·破】在射击的试验中,令X=QUOTE假如射中的概率为0.75,则随机变量X的分布列为________.

【解析】由P(X=1)=0.75,得P(X=0)=0.25.所以X的分布列为:X10P0.750.25答案:X10P0.750.25课堂检测·素养达标1.已知随机变量X的分布列是X123Pab则a+b=()A.QUOTEB.QUOTEC.1D.QUOTE【解析】选A.由随机变量X的分布列的性质得:QUOTE+a+b=1,解得a+b=QUOTE.2.某人进行射击,共有10发子弹,若击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ,则ξ=10,表示的试验结果是()A.第10次击中目标B.第10次未击中目标C.前9次未击中目标D.第9次击中目标【解析】选C.击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数ξ=10,则说明前9次均未击中目标,第10次击中目标或未击中目标.3.设随机变量X等可能取值1,2,3,…,n,若P(X<4)=0.3,则n=()A.3 B.4 C.10 D.不确定【解析】选C.因为X等可能取1,2,3,…,n,所以X的每个值的概率均为QUOTE.由题意知P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=QUOTE=0.3,所以n=10.4.在一次竞赛中,需回答三个问题,竞赛规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的全部可能取值是________.

【解析】在一次竞赛中,需回答三个问题,竞赛规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则选手甲回答这三个