2024-2025学年高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质课时作业含解析北师大版必修4

PAGE第一章三角函数[课时作业][A组基础巩固]1．函数y＝2sinx－3的值域是()A．[－1,1] B．[－5，－1]C．[－5，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：∵－1≤sinx≤1，∴－2≤2sinx≤2，∴－5≤2sinx－3≤－1，即－5≤y≤－1.答案：B2．函数f(x)＝x·sin(π＋x)的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：函数的定义域是R，关于原点对称，而f(x)＝x·(－sinx)＝－xsinx，∵f(－x)＝－(－x)·sin(－x)＝－xsinx＝f(x)，∴f(x)是偶函数．答案：B3．已知sinα＞sinβ，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，则()A．α＋β＞π B．α＋β＜πC．α－β≥－eq\f(3,2)π D．α－β≤－eq\f(3,2)π解析：∵β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，∴π－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，且sin(π－β)＝sinβ.∵y＝sinx在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))时单调递增，sinα＞sinβ.∴sinα＞sin(π－β)⇔α＞π－β⇔α＋β＞π，故选A.答案：A4．函数f(x)＝sinx在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则coseq\f(a＋b,2)＝()A．0 B.eq\f(\r(2),2)C．－1 D．1解析：由题意知可取[a，b]＝[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，故coseq\f(a＋b,2)＝cos0＝1.答案：D5．若f(x)＝5sinx在[－b，－a]上是增加的，则f(x)在[a，b]上是()A．增加的 B．削减的C．奇函数 D．偶函数解析：因为函数f(x)＝5sinx，x∈R是奇函数，所以在关于原点对称的区间上有相同的单调性，所以由f(x)在[－b，－a]上是增加的知f(x)在[a，b]上也是增加的．答案：A6．函数y＝lgsineq\f(x,2)的定义域是________．解析：由sineq\f(x,2)＞0，得2kπ＜eq\f(x,2)＜2kπ＋π，k∈Z，解得4kπ＜x＜4kπ＋2π，k∈Z.答案：(4kπ，4kπ＋2π)，k∈Z7．若函数y＝sinx在区间[－eq\f(π,2)，a]上为增函数，则a的取值范围是________．解析：由正弦函数的图像知，要使y＝sinx在[－eq\f(π,2)，a]上为增函数，需满意－eq\f(π,2)＜a≤eq\f(π,2).答案：(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]8．下列说法正确的是________(只填序号)．①y＝|sinx|的定义域为R；②y＝3sinx＋1的最小值为1；③y＝－sinx为奇函数；④y＝sinx－1的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)．解析：当sinx＝－1时，y＝3sinx＋1的值为－2，②错误；y＝sinx－1的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，④错误．应填①③.答案：①③9．求函数y＝eq\r(81－x2)＋log2(2sinx－eq\r(2))的定义域．解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(81－x2≥0，,2sinx－\r(2)＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－9≤x≤9，,\f(π,4)＋2kπ＜x＜\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.))∴由图可知，所求函数的定义域为{x|－eq\f(7π,4)＜x＜－eq\f(5π,4)，或eq\f(π,4)＜x＜eq\f(3π,4)，或eq\f(9π,4)＜x＜eq\f(11π,4)}．10．(1)比较大小：sineq\f(π,4)与sineq\f(2π,3)；(2)锐角三角形ABC中，比较sinA与cosB的大小．解析：(1)∵sineq\f(2π,3)＝sin(π－eq\f(π,3))＝sineq\f(π,3)，0＜eq\f(π,4)＜eq\f(π,3)＜eq\f(π,2)，y＝sinx在(0，eq\f(π,2))上是增加的，∴sineq\f(π,4)＜sineq\f(π,3)，即sineq\f(π,4)＜sineq\f(2π,3).(2)由△ABC为锐角三角形，∴∠A＋∠B＞eq\f(π,2)，即∠A＞eq\f(π,2)－∠B，eq\f(π,2)－∠B∈(0，eq\f(π,2))．∴sinA＞sin(eq\f(π,2)－∠B)＝cosB，即sinA＞cos B.[B组实力提升]1．函数f(x)＝eq\f(sinx1－sinx,1－sinx)是()A．奇函数 B．偶函数C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数解析：由题意，知sinx≠1，即f(x)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx≠2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，此函数的定义域不关于原点对称．∴f(x)是非奇非偶函数．答案：D2．函数y＝sin2x－3sinx＋2的最小值为()A．2 B．0C.eq\f(1,4) D．6解析：利用换元法转化为求二次函数的最小值．设sinx＝t，－1≤t≤1，则有y＝t2－3t＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2－eq\f(1,4)，所以当t＝1，即sinx＝1时，函数y＝sin2x－3sinx＋2取最小值0.答案：B3．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：①对随意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对随意的φ，f(x)都不是偶函数．其中的假命题是________．(写出全部假命题的序号)解析：易知②③成立，令φ＝eq\f(π,2)，f(x)＝cosx是偶函数，①④都不成立．答案：①④4．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)＝sinx，则f(eq\f(5π,3))的值为________．解析：由f(x)的最小正周期是π，知f(eq\f(5π,3))＝f(eq\f(2π,3))＝f(－eq\f(π,3))．由f(x)是偶函数知f(－eq\f(π,3))＝f(eq\f(π,3))．又当x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)＝sinx，∴f(eq\f(5π,3))＝f(－eq\f(π,3))＝f(eq\f(π,3))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)5．求函数y＝－2sin2x＋5sinx－2的最值以及取得最值时相应的x值．解析：设t＝sinx，则t∈[－1,1]．∴y＝－2t2＋5t－2＝－2(t－eq\f(5,4))2＋eq\f(9,8)，∴当t＝－1时，ymin＝－9，此时sinx＝－1，即x＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z；当t＝1时，ymax＝1.此时sinx＝1，即x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.综上知，y的最大值为1，此时x的值为{x|x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}；y的最小值为－9，此时x的值为{x|x＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z}．6．已知函数f(x)＝，(1)求其定义域和值域；(2)推断奇偶性；(3)推断周期性，若是周期函数，求周期；(4)写出单调区间．解析：(1)|sinx|＞0⇒sinx≠0，∴x≠kπ，k∈Z.∴所求函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．∵0＜|sinx|≤1，∴≥0，∴所求函数的值域是[0，＋∞)．(2)∵f(－x)＝s