湖南师范大学《性代数》课件 第一章

线性代数第一章：行列式湖南师范大学第一章:行列式1.二阶与三阶行列式2.全排列与对换3.n阶行列式的定义4.行列式的性质5.行列式按行（列）展开二阶与三阶行列式二阶行列式的引入三阶行列式小结一、二阶行列式的引入由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表二阶行列式的计算对角线法则二阶行列式的值就是主对角线相乘减去次对角线相乘得到的数值。主对角线:左上方与右下方组成的对角线。次对角线:另一条对角线。行列式法求解方程组用消元法解二元线性方程组设有二元线性方程组(1)a11·X1+a12·X2=b1a21·X1+a22·X2=b2用加减消元法容易求出未知量x1,x2的值,当a11a22–a12a21≠0时,有(2)X1=(b1·a22-a12·b2)/(a11·a22-a12·a21)X2=(a11·b2-b1·a21)/(a11·a22-a12·a21)注意 分母都为原方程组的系数行列式.二、三阶行列式三阶行列式的计算(1)沙路法(2)对角线法则红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三元素的乘积冠以负号对角线法则只适用于二阶与三阶行列式三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.三、小结二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.全排列与对换从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素,按照一定的顺序排列起来,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m＝n时所有的排列情况叫全排列。在排列中,将其中任意两个元素对调,其余元素不动,就得到另一个排列,这样一个变换叫做对换。将相邻两个元素对换,叫做相邻对换。一、全排列及其逆序数把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列（或排列）n个不同的元素的所有排列的种数,通常用 表示.我们规定各元素之间有一个标准次序, n个不同的自然数,规定由小到大为标准次序在一个排列 中,若数 则称这两个数组成一个逆序一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为偶数的排列称为偶排列.计算排列逆序数的方法方法一:分别计算出排在1,2,3,......n-1,n前面比它大的数码之和即分别算出1,2,3,......个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.方法二:分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.小结1

n个不同的元素的所有排列种数为n!2

排列具有奇偶性3

计算排列逆序数常用的方法有2种.三阶行列式三阶行列式共有6项，即3!项每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列n

阶行列式的定义确定行列式某一项的符号有三种方法:将列号取标准排列,由其行号组成的排列奇偶性确定;该项行标排列的逆序数与列标排列的逆序数之和的奇偶性确定。上三角行列式下三角行列式行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的n阶行列式是n!项的代数和n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的n阶行列式共有n!项,每项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定对换在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换.将相邻两个元素对调，叫做相邻对换对换与排列的奇偶性的关系一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数n阶行列式也可定义为其中t为行标排列的逆序数其中 是两个n 级排列,t为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和小结一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.行列式的三种表示方法行列式的性质转置行列式行列式与它的转置行列式相等行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立互换行列式的两行（列）,行列式变号如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变.余子式与代数余子式一个矩阵A的余子式（又称余因式）是指将A的某些行与列去掉之后所余下的方阵的行列式在一个n阶行列式D中,把元素aij(i,j=1,2,.....n)所在的行与列划去后,剩下的(n-1)^2个元素按原来的次序组成的一个n-1阶行列式Mij,称为元素aij的余子式,Mij带上符号(-1)^(i+j)称为aij的代数余子式,记作Aij=(-1)^(i+j)Mi