江苏省连云港市海庆中学2025届高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

江苏省连云港市海庆中学2025届高二上数学期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点，则的欧拉线方程为（）A. B.C. D.2．如果，，…，是抛物线C：上的点，它们的横坐标依次为，，…，，点F是抛物线C的焦点.若=10，=10+n，则p等于（）A.2 B.C. D.43．某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（）A.72元 B.300元C.512元 D.816元4．已知等比数列的各项均为正数，且，则（）A. B.C. D.5．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（）A. B.C. D.6．已知等比数列的前项和为，公比为，则（）A. B.C. D.7．已知动点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则线段的长度的最小值为（）A. B.4C. D.8．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2） D.（2）（3）9．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）A.0.32 B.0.48C.0.68 D.0.8210．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（）A. B.C. D.11．命题“，使得”的否定形式是A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得12．已知曲线，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设数列满足，则an＝________14．已知函数，若递增数列满足，则实数的取值范围为__________.15．如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A，B，C，D是展开图上的四点，BD则在正方体盒子中，AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.16．在单位正方体中，点E为AD的中点，过点B，E，的平面截该正方体所得的截面面积为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，直线BC与平面PCD所成角的正弦值为.（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.18．（12分）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系（1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；（2）某日经观测发现，在该平台O正南10kmC处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？19．（12分）求满足下列条件的曲线的方程：（1）离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程（2）与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程20．（12分）已知等比数列的公比，且，的等差中项为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．（12分）已知在等差数列中，，（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和22．（10分）已知命题实数满足成立，命题方程表示焦点在轴上的椭圆，若命题为真，命题或为真，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，然后求出线段的垂直平分线的方程即可.【详解】因为，所以线段的中点的坐标，线段所在直线的斜率，则线段的垂直平分线的方程为，即，因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上，所以的欧拉线方程为.故选：D【点睛】本题主要考走查直线的方程，解题的关键是准确找出欧拉线，属于中档题.2、A【解析】根据抛物线定义得个等式，相加后，利用已知条件可得结果.【详解】抛物线C：的准线为，根据抛物线的定义可知，，，，，所以，所以，所以，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义解题是解题关键，属于基础题.3、D【解析】设这个箱子的箱底的长为xm，则宽为m，设箱子总造价为f（x）元，则f(x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低总造价【详解】设这个箱子的箱底的长为xm，则宽为m，设箱子总造价为f(x)元，∴f(x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元故选：D4、B【解析】利用对数的运算性质，结合等比数列的性质可求得结果.【详解】是各项均为正数的等比数列，，，，.故选：B5、A【解析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.故选：A6、D【解析】利用等比数列的求和公式可求得的值.【详解】由等比数列的求和公式可得，解得.故选：D.7、A【解析】求出的最小值，由切线长公式可结论【详解】解：由，得最小时，最小，而，所以故选：A.8、D【解析】根据图形可得（1）具有函数关系；（2）（3）的散点分布在一条直线或曲线附近，具有相关关系；（4）的散点杂乱无章，不具有相关关系.【详解】对（1），所有的点都在曲线上，故具有函数关系；对（2），所有的散点分布在一条直线附近，具有相关关系；对（3），所有的散点分布在一条曲线附近，具有相关关系；对（4），所有的散点杂乱无章，不具有相关关系.故选：D.9、C【解析】由题意可知，求出的值，从而可求出椭圆的离心率【详解】解：由题意得，解得，所以离心率，故选：C10、D【解析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象.【详解】由的图象可知，在上为增函数，且在上存在正数，使得在上为增函数，在为减函数，故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，故排除A，B.由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.故选：D.【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.11、D【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D【考点】全称命题与特称命题的否定【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定12、A【解析】化简方程，得到，求出的范围，作出曲线的图形，通过图象观察，即可得到原点距离的最小值详解】解：即为，两边平方，可得，即有，则作出曲线的图形，如下：则点与点或的距离最小，且为故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先由题意得时，，再作差得，验证时也满足【详解】①当时，；当时，②①②得，当也成立.即故答案为：14、【解析】根据的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于是递增数列，所以.所以的取值范围是.故答案为：15、##【解析】先复原正方体，再构造线面角后可求正弦值.【详解】复原后的正方体如图所示，设所在面的正方形的余下的一个顶点为，连接，则平面，故为AD与平面ABC所成角，而，故为AD与平面ABC所成角的正弦值为.故答案为：.16、【解析】根据题意，取的中点，连接、、、，分析可得四边形为平行四边形，则要求的截面就是四边形，进而可得为菱形，连接、，求出、的长，计算可得答案【详解】根据题意，取的中点，连接、、、，易得，，则四边形为平行四边形，过点，，的截面就是，又由正方体为单位正方体，则，则为菱形，连接、，易得，，则，即要求截面的面积为，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点，连接，证明，由线面垂直的判定定理可证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论，（2）过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，先根据直线BC与平面PCD所成角的正弦值为，求出，然后再求出平面PAB的法向量，利用向量的夹角公式可求得结果【小问1详解】证明：取的中点，连接，因为AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，所以，∥，所以四边形为平行四边形，所以，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，【小问2详解】过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形中，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，则，所以设因为平面，所以所以,设平面的法向量为，则，令，则，因为直线BC与平面PCD所成角的正弦值为，所以，解得，所以，，设平面的法向量为，因为，所以，令，则，所以，所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为18、（1）；（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时【解析】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.【小问1详解】由题意得，∴；【小问2详解】设圆的方程为，因为该圆经过三点，∴，得到.所以该圆方程为：，化成标准方程为：.设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，圆心（6，8）到直线的距离，所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时.即在安全警示区内行驶时长为半小时.19、（1）或；（2）【解析】(1)根据题意,由椭圆的几何性质可得a、c的值,计算可得b的值,讨论椭圆焦点的位置,求出椭圆的标准方程,即可得答案；(2)根据题意,求出椭圆的焦点坐标,进而可以设双曲线的方程为,分析可得和,解可得a、b的值,即可得答案【详解】解：（1）根据题意,要求椭圆的长轴长为6,离心率为,则,,解可得：,；则,若椭圆的焦点在x轴上,其方程为,若椭圆的焦点在y轴上,其方程为,综合可得：椭圆的标准方程为或；（2）根据题意,椭圆的焦点为和,故要求双曲线的方程为,且,则有,又由双曲线经过经过点,则有,,联立可得：,故双曲线方程为：【点睛】本题考查椭圆、双曲线的标准方程的求法,涉及椭圆、双曲线的几何性质,属于基础题20、（1）；（2）【解析】（1）将题目的条件写成的形式并求解，写出等比等比数列通项公式；（2）利用错位相减法求和.小问1详解】由题意可得，，∴，∵，∴，∴数列的通项公式为.【小问2详解】，∴①，②，①-②可得，∴.21、（1）（2）【解析】（1）设的公差为，由等差数列的通项公式结合