广州市重点中学2025届高二上数学期末监测模拟试题含解析

广州市重点中学2025届高二上数学期末监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有下列四个命题，其中真命题是（）A.， B.，，C.，， D.，2．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B.C. D.3．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（）A. B.C. D.4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满，则动点P轨迹与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离C.内切 D.外切5．“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6．若数列对任意满足，下面选项中关于数列的说法正确的是（）A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.可以既是等差数列又是等比数列D.可以既不是等差数列又不是等比数列7．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）A. B.C. D.8．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点A的坐标为，点P是双曲线在第二象限的部分上一点，且，点Q是线段的中点，且，Q关于直线PA对称，则双曲线的离心率为（）A.3 B.2C. D.9．某双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，则该双曲线的方程是（）A. B.C. D.10．设异面直线、的方向向量分别为，，则异面直线与所成角的大小为（）A. B.C. D.11．“椭圆的离心率为”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12．直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切C.相离 D.不确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．展开式中，各项系数之和为1，则实数_______．（用数字填写答案）14．已知某农场某植物高度，且，如果这个农场有这种植物10000棵，试估计该农场这种植物高度在区间上的棵数为______.参考数据：若，则，，.15．已知双曲线C：的一个焦点坐标为，则其渐近线方程为__________16．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难人微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程的解是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的焦点为，且该椭圆过点（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点满足，求的值18．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且满足（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且（O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程19．（12分）如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，，点在上，且.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.20．（12分）已知三棱柱中，面底面，，底面是边长为的等边三角形，，、分别在棱、上，且.（1）求证：底面；（2）在棱上找一点，使得和面所成角的余弦值为，并说明理由.21．（12分）已知双曲线，直线l与交于P、Q两点（1）若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；（2）若点P的坐标为，直线l的斜率等于1，且，求双曲线的离心率22．（10分）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱、上·（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】对于选项A，令即可验证其不正确；对于选项C、选项D，令，即可验证其均不正确，进而可得出结果.【详解】对于选项A，令，则，故A错；对于选项B，令，则，显然成立，故B正确；对于选项C，令，则显然无解，故C错；对于选项D，令，则显然不成立，故D错.故选B【点睛】本题主要考查命题真假的判定，用特殊值法验证即可，属于常考题型.2、D【解析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线方程为，故选：D3、C【解析】先求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.【详解】用表示这个数列，依题意，，则，，第四个数即.故选：C.4、A【解析】首先求得点的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.【详解】由条件可知，，化简为：，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，圆是以为圆心，为半径的圆，两圆圆心间的距离，所以两圆相交.故选：A5、B【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由，得，反之不成立，如，，满足，但是不满足，故“”是“”的充分不必要条件故选：B6、D【解析】由已知可得或，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案【详解】由，得或，即或，若，则数列是等差数列，则B错误；若，当时，数列是等差数列，当时，数列是等比数列，则A错误数列是等差数列，也可以是等比数列；由，不能得到数列为非0常数列，则不可以既是等差又是等比数列，则C错误；可以既不是等差又不是等比数列，如1，3，5，10，20，，故D正确；故选：D7、D【解析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以.故选：D8、C【解析】由角平分线的性质可得，结合已知条件即可求双曲线的离心率.【详解】由题设，易知：，由知：，即，整理得：.故选：C9、D【解析】设双曲线的方程为，利用焦点为求出的值即可.【详解】因为双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，所以可设双曲线的方程为，则，，所以该双曲线方程为.故选：D.10、C【解析】利用空间向量夹角的公式直接求解.【详解】，，，.由异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成的角为.故选：C11、C【解析】讨论椭圆焦点的位置，根据离心率分别求出参数m，由充分必要性的定义判断条件间的充分、必要关系.【详解】当椭圆的焦点在轴上时，，得；当椭圆的焦点在轴上时，，得故“椭圆的离心率为”是“”的必要不充分条件故选：C.12、A【解析】首先求出直线过定点，再判断点在圆内，即可判断；【详解】解：直线恒过定点，又，即点在圆内部，所以直线与圆相交；故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】通过给二项式中的赋值1求出展开式的各项系数和，即可求出详解】解：令，得各项系数之和为，解得故答案为：14、1359【解析】由已知求得，则，结合已知求得，乘以10000得答案【详解】解：由，得，又，，则，估计该农场这种植物高度在区间，上的棵数为故答案为：135915、【解析】根据双曲线的定义由焦点坐标求出，即可得到双曲线方程，从而得到其渐近线方程；【详解】解：因为双曲线C：的一个焦点坐标为，即，，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线为；故答案为：16、【解析】根据题意，列方程计算即可【详解】因为，所以，可转化为点到点和点的距离之和为，所以点在椭圆上，则，解得.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）利用两点间距离公式求得P到椭圆的左右焦点的距离，然后根据椭圆的定义得到a的值，结合c的值，利用a,b,c的平方关系求得的值，再结合焦点位置，写出椭圆的标准方程（2）利用向量的数量积，求得点满足的条件，再结合椭圆的方程，解得的值【小问1详解】解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，因为所以，即，又因为c=2，所以，又因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，所以该椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：因为，所以，即，又，所以，即.18、（1）；（2）理由见解析，圆的方程为.【解析】(1)根据给定条件可得，结合勾股定理、椭圆定义求出a，b得解.(2)联立直线l与椭圆C的方程，利用给定条件求出k，m的关系，再求出原点O到直线l的距离即可推理作答.【小问1详解】因，则，点在椭圆C上，则椭圆C的半焦距,，，因此，，解得，，所以椭圆C的标准方程是：.【小问2详解】由消去y并整理得：，依题意，，设，，因，则，于是得，此时，，则原点O到直线l的距离，所以，存在以原点O为圆心，为半径的圆与直线l相切，此圆的方程为.【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为，再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k，m的关系，然后推理求解.19、（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量可得，即平面，再由线面垂直的性质可得答案；（2）设直线与平面所成角的为，可得答案；（3）由二面角的向量求法可得答案.【小问1详解】以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，所以，即，令，则，所以，所以，所以平面，平面，所以.【小问2详解】，所以，由（1）平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的为，所以直线与平面所成角的正弦值.【小问3详解】由已知为平面的一个法向量，且，由（1）平面的一个法向量为，所以，由图可得平面与平面夹角的余弦值为.20、（1）证明见解析；（2）为的中点，理由见解析.【解析】（1）取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再由，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法可得出关于实数的方程，求出的值，即可得出结论.【详解】（1）取的中点，连接，如图：因为三角形是等边三角形，所以，又因为面底面，平面平面，面，所以平面，又面，所以，又，，平面；（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、，在上找一点，其中，，，，设面的一个法向量，则，不妨令，则，和面所成角的余弦值为，则，解得或（舍），所以，为的中点，符合题意.21、（1）（2）或【解析】（1）根据题意可得，又因为且，解得，可得双曲线方程，进而可得的渐近线方程（2）设直线的方程为：，，，联立直线与双曲线方程，可得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，，再由两点之间距离公式得，解得，进而由可求出，即可求得离心率.【小问1详解】∵点是双曲线的一个焦点，∴，又∵且，解得，∴双曲线方程为，∴的渐近线方程为：；小问2详解】设直线的方程为，且，，联立，可得，则，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故双曲线的离心率或.22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算知，即可证得结论；（2）利用空间向量结合已知的面面角余弦值可求得，再利用线面平行的已知条件求得，再将四面体视为以为底面的三棱锥，利用锥体的体积公式即可得解.【小问1详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，其中，，若是的中点，则，，，于是，∴，即【小问2详解】由题设知，，，是平面内的两个不共线向量设是平面的