2025届宜春市重点中学高二上数学期末综合测试试题含解析

2025届宜春市重点中学高二上数学期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若双曲线一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.2．在等差数列中，为数列的前项和，，，则数列的公差为（）A. B.C.4 D.3．在中，角、、的对边分别是、、，若．则的大小为（）A. B.C. D.4．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是（）A. B.C. D.5．若直线的斜率为，则的倾斜角为（）A. B.C. D.6．下列说法中正确的是（）A.棱柱的侧面可以是三角形B.棱台的所有侧棱延长后交于一点C.所有几何体的表面都能展开成平面图形D.正棱锥的各条棱长都相等7．下列命题中正确的是（）A.若为真命题，则为真命题B.在中“”是“”的充分必要条件C.命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”D.命题，使得，则，使得8．若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．若命题p为真命题，命题q为假命题，则下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.10．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则有（）A.， B.，C.， D.，11．若两条直线与互相垂直，则的值为（）A.4 B.-4C.1 D.-112．双曲线实轴长为（）A.1 B.C.2 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为______________14．一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为.15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3；其中，所有正确结论的序号是________16．经过点，的直线的倾斜角为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，.若，且.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的最大值.18．（12分）在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为.（1）写出试验的样本空间；（2）求“”的概率.19．（12分）已知椭圆：，是坐标原点，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，过作的外角的平分线的垂线，垂足为，且（1）求椭圆方程：（2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0（其中为坐标原点）①求证：直线经过定点，并求出定点坐标：②求面积的最大值20．（12分）已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上有唯一的零点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：.21．（12分）已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心．过点的直线交抛物线与圆分别为，，，（从上到下）（1）求抛物线方程并证明是定值；（2）若，的面积比是，求直线的方程22．（10分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）试讨论函数的单调性.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据（为弦长，为圆半径，为圆心到直线的距离），求解出的关系式，结合求解出离心率的值.【详解】取的一条渐近线，因为（为弦长，为圆半径，为圆心到直线的距离），其中，所以，所以，所以，所以，所以，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用几何法表示出圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系.2、A【解析】由已知条件列方程组求解即可【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，故选：A3、B【解析】利用余弦定理结合角的范围可求得角的值，再利用三角形的内角和定理可求得的值.【详解】因为，则，则，由余弦定理可得，因为，则，故.故选：B.4、B【解析】由条件可得，即可得到答案.【详解】方程表示焦点在y轴上的双曲线所以，即故选：B5、C【解析】设直线l倾斜角为，根据题意得到，即可求解.【详解】设直线l的倾斜角为，因为直线的斜率是，可得，又因为，所以，即直线的倾斜角为.故选：C.6、B【解析】根据棱柱、棱台、球、正棱锥结构特征依次判断选项即可.【详解】棱柱的侧面都是平行四边形，A不正确；棱台是由对应的棱锥截得的，B正确；不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，例如球不能展开成平面图形，C不正确；正棱锥的各条棱长并不是都相等，应该为正棱锥的侧棱长都相等，所以D不正确.故选：B.7、B【解析】A选项，当一真一假时也满足条件，但不满足为真命题；B选项，可以使用正弦定理和大边对大角，大角对大边进行证明；C选项，利用逆否命题的定义进行判断，D选项，特称命题的否定，把存在改为任意，把结论否定，故可判断D选项.【详解】若为真命题，则可能均为真，或一真一假，则可能为真命题，也可能为假命题，故A错误；在中，由正弦定理得：，若，则，从而，同理，若，则由正弦定理得，，所以，故在中“”是“”的充分必要条件，B正确；命题“若，则或”的逆否命题是“若且，则”，故C错误；命题，使得，则，使得，故D错误.故选：B8、C【解析】利用函数在上单调递减即可求解.【详解】解：因为函数在上单调递减，所以若，，则；反之若，，则.所以若，则“”是“”的充要条件，故选：C.9、B【解析】根据逻辑联结词“且”，一假则假，对四个选项一一判断直接即可判断.【详解】逻辑联结词“且”，一假则假.因为命题p为真命题，命题q为假命题，所以为假命题，为真命题.所以，为假，故A错误；为真，故B正确；为假，故C错误；为假，故D错误.故选：B10、B【解析】将直线方程的一般形式化为截距式，由此可得其在x轴和y轴上的截距.【详解】直线方程化成截距式为，所以，故选：B.11、A【解析】根据两直线垂直的充要条件知：，即可求的值.【详解】由两直线垂直，可知：，即.故选：A12、B【解析】由双曲线的标准方程可求出，即可求双曲线的实轴长.【详解】由可得：，，即，实轴长，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由抛物线的定义得：，所以，当三点共线时，最小可得答案.【详解】如图所示：，由抛物线的定义得：，所以，由图象知：当三点共线时，最小，.故答案为：.14、【解析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则棱锥斜高为该六棱锥的侧面积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积15、①②【解析】先根据图像的对称性找出整点，再判断是否还有其他的整点在曲线上；找出曲线上离原点距离最大的点的区域，再由基本不等式得到最大值不超过；在心形区域内找到一个内接多边形，该多边形的面积等于3，从而判断出“心形”区域的面积大于3.【详解】①:由于曲线，当时，；当时，；当时，；由于图形的对称性可知，没有其他的整点在曲线上，故曲线恰好经过6个整点：,,,,,,所以①正确；②:由图知，到原点距离的最大值是在时，由基本不等式，当时，，所以即，所以②正确；③:由①知长方形CDFE的面积为2，三角形BCE的面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误；故答案为：①②.【点睛】找准图形的关键信息，比如对称性，整点，内接多边形是解决本题的关键.16、【解析】根据两点间斜率公式得到斜率，再根据斜率确定倾斜角大小即可.【详解】根据两点间斜率公式得：，所以直线的倾斜角为：.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由，等式右边可化为余弦定理形式，根据求角即可（2）由余弦定理结合均值不等式可求出的最大值，即可求出三角面积的最大值.【详解】（1）由得：，即：.∴，又，∴.（2）由，当且仅当等号成立.得：..【点睛】本题主要考查了余弦定理，均值不等式，三角形面积公式，属于中档题.18、（1）见解析（2）【解析】（1）利用列举法列出试验的样本空间，（2）由（1）可知共有16种情况，其中和为5的有4种，然后利用古典概型的概率公式求解即可【小问1详解】由题意可知试验的样本空间为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）【小问2详解】由（1）可知共有16种等可能情况，其中满足的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），4种，所以“”的概率为19、（1）；（2）①证明见解析，；②.【解析】（1）根据椭圆的定义以及角平分线的性质可得，，结合点在椭圆上，以及即可求出的值，进而可得椭圆的方程.（2）①设，，联立直线与椭圆方程，求得，，利用斜率之和等于得出关于的方程，解得即可得所过的定点，②由弦长公式求出，点到直线的距离公式求得高，由面积公式表示三角形的面积，利用基本不等式即可求最值.【详解】（1）如图，由题意可知，由椭圆定义知，则，连接，所以，所以又在椭圆上则，解得：，，所以椭圆的方程为：；（2）①证明：设，，联立，整理可得：，所以，可得，，，设直线，，的斜率为，，，因为直线，，的斜率之和为0，所以，即所以，由，所以，所以直线恒过定点；②由①可得：，原点到直线的距离，所以，因为，当且仅当时，即，即时取等号，所以，即面积的最大值为1【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：20、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.【解析】（1）求出，，利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）（ⅰ）根据题意对参数分类讨论，当时，等价转化，且构造函数，利用零点存在定理，即可求得参数的取值范围；（ⅱ）根据（ⅰ）中所求得到与的等量关系，求得并构造函数，利用导数研究其单调性和最值，则问题得证.【小问1详解】当时，，则，故，，则曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】（ⅰ）因为，故可得，因为，则当时，，则，无零点，不满足题意；当时，若在有一个零点，即在有一个零点，也即在有一个零点，又，则单调递增，则只需，解得.综上所述，若在区间上有唯一的零点，则；（ⅱ）由（ⅰ）可知，若在区间上有唯一的零点，则，也即，则，令，则，又在都是单调增函数，故是单调增函数，又，故，则在单调递增，则，故，即证.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点以及最值；处理问题的关键是合理转化函数零点问题，以及充分利用零点存在定理，熟练掌握构造函数法，属综合困难题.21、（1），证明见解析（2）【解析】（1）根据，结合韦达定理即可获解（2），再结合焦点弦公式即可获解【小问1详解】由题知，