河北省保定市2024届高三下学期二模试题 数学 含解析

2023—2024学年高三第二次模拟考试高三数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，且，则（）A．2 B．3 C．4 D．52．若，则（）A． B． C． D．3．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．4．如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．5．已知双曲线的离心率为方程的解，则的渐近线的斜率的绝对值为（）A． B． C． D．6．已知，则（）A． B． C． D．7．6名同学想平均分成两组进行半场篮球比赛，有同学提出用“剪刀、石头、布”游戏决定分组．当大家同时展示各自选择的手势（剪刀、石头或布）时，如果恰好只有3个人手势一样，或有3个人手势为上述手势中的同一种，另外3个人手势为剩余两种手势中的同一种，那么同手势的3个人为一组，其他人为另一组，则下列结论正确的是（）A．在进行该游戏前将6人平均分成两组，共有20种分组方案B．一次游戏共有种手势结果C．一次游戏分不出组的概率为D．两次游戏才分出组的概率为8．已知椭圆的左、右焦点分别为是上的点，且在第一象限，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，若，则的离心率为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下图是2023年5月1日至5月5日某旅游城市每天最高气温与最低气温（单位：℃）的折线图，则下列结论正确的是（）A．这5天的最高气温的平均数与最低气温的中位数的差为B．这5天的最低气温的极差为C．这5天的最高气温的众数是D．这5天的最低气温的第40百分位数是10．已知直四棱柱的侧棱长为3，底面是边长为2的菱形，为棱上的一点，且为底面内一动点（含边界），则下列命题正确的是（）A．若与平面所成的角为，则点的轨迹与直四棱柱的交线长为B．若点到平面的距离为，则三棱锥体积的最大值为C．若以为球心的球经过点，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为D．经过三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为411．已知定义域为的函数满足，则（）A． B．C．是奇函数 D．存在函数以及，使得的值为三、填空题：本题共3小题，毎小题5分，共15分．12．已知向量的夹角的余弦值为，且，则_______．13．在等比数列中，，则_______．14．已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线分别交轴于两点，则_______，_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为边的中点，求的长．16．（15分）某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图．（1）根据表中数据，估计强化训练后的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与成绩的中位数（中位数精确到0.01）．（2）我们规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”．优秀人数非优秀人数合计强化训练前强化训练后合计将上面的表格补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？附：．0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.82817．（15分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，分别为的中点，且．（1）证明：．（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．18．（17分）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为32．（1）求C的方程；（2）设直线AD与BE交于点Q，证明：点Q在定直线上交于点，证明：点在定直线上．19．（17分）已知函数为其导函数．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若存在两个不同的正数，使得，证明：．2023～2024学年高三第二次模拟考试高三数学试题参考答案1．C因为的两根为，且，所以，所以，解得．2．A因为，所以．3．A设，则，所以为奇函数，设，可知为偶函数，所以为奇函数，则B，C错误，易知，所以A正确．4．C连接（图略），易知，则就是异面直线与所成的角．设，则，所以．5．D因为方程的解为或，且双曲线的离心率大于1，所以．由，解得．6．B因为，所以，解得或（舍去），所以．7．D一共有种分组方案，A错误．每人有3种选择，所以一次游戏共有种手势结果，B错误．要分出组，有两类情况．第一类情况，首先确定3个人出一样的手势，再确定另外2个人出其他两种手势中的一种，最后1个人出剩下的手势，所以能分出组的手势结果有）种．第二类情况，当其中3个人出同一种手势，另外3个人出剩余两种手势中的同一种时，能分出组的手势结果有种，所以一次游戏就分出组的概率为，所以一次游戏分不出组的概率为，C错误．两次游戏才分出组的概率为，D正确．8．B如图，延长交于点，可知，所以，所以．9．ACD对于A，这5天的最高气温的平均数为，最低气温的中位数为，它们的差为，A正确．对于B，这5天的最低气温的极差为，B错误．对于C，这5天的最高气温的众数为，C正确．对于D，最低气温从小到大排列为，且，所以这5天的最低气温的第40百分位数是，D正确．10．AD对于A，可知的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，所以点的轨迹与直四棱柱的交线为圆弧，圆弧长为，故A正确．对于B，可知点在线段上，所以当点与点重合时，三棱锥体积最大，且最大值为，所以B错误．对于C，可知该球的半径为1，球与直四棱柱的公共部分的体积为，所以C错误．对于D，如图，经过三点的平面截直四棱柱所得的截面为平行四边形，其中，可得．设的中点为的中点为，连接，可得平面，所以，求得，所以，D正确．11．ACD由，取，得，A正确．取，得，解得．取，得，所以，B错误．取，得，所以是奇函数，C正确．当时，在两边同时除以，得，令，则当时，，所以，所以，D正确．12．4因为，所以，解得．13．－3由，得．设等比数列的公比为，由，得，所以．14．2；圆的标准方程为，圆心，则为的角平分线，所以．设，则，所以，则，即，解得，则，所以点与重合，此时，可得，所以．15．解：（1）因为，所以化简得，因为，所以．因为，所以．（2）因为，所以，解得．因为为的中线，所以，所以．因为，所以，解得．16．解：（1）强化训练后的平均成绩约为．由于前三列概率之和为，设中位数为，则，解得，所以中位数约为83.13．（2）零假设为跳水运动员是否优秀与强化训练无关．补充完整的表格为优秀人数非优秀人数合计强化训练前4060100强化训练后6040100合计100100200则，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关．17．（1）证明：连接．因为底面是菱形，分别为的中点，所以，所以．又，所以平面．因为平面，所以．（2）解：因为是的中点，所以．又，所以平面．连接，以为坐标原点的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设，则，，，．设是平面的法向量，由，得取，可得．设是平面的法向量，由取，可得，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．18．（1）解：当直线的倾斜角等于时，直线的倾斜角等于，直线的方程为由抛物线的对称性知，所以，得．联立方程组消去得．设两点的横坐标分别为，则．又，所以，所以的方程为．（2）证明：由（1）知，依题意，可设直线的方程为，则直线的方程为．联立方程组消去得，设，