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文档简介
正、余二倍角公式的变形用三角函数的求值、化简在高考占有重要地位,题型多属中低档题,但能体现了对三角公式的运用实力,特殊是三角公式的变形式更能考查学生敏捷应变实力.下面就二倍角的变形用举例说明.变形一:sin2α=2sinαcosαcosα=eq\f(sin2α,2sinα)或sinα=eq\f(sin2α,2cosα)例1求值:coseq\f(,11)coseq\f(2,11)πcoseq\f(3,11)πcoseq\f(4,11)πcoseq\f(5,11)π解:∵cosα=eq\f(sin2α,2sinα),∴原式=eq\f(sineq\f(2,11)π,2sineq\f(,11))·eq\f(sineq\f(4,11)π,2sineq\f(2,11))·eq\f(sineq\f(6,11)π,2sineq\f(3,11))·eq\f(sineq\f(8,11)π,2sineq\f(4,11))·eq\f(sineq\f(10,11)π,2sineq\f(5,11))=eq\f(1,32).例2求sin10sin50sin70的值.解:sin10sin50sin70=eq\f(sin20,2cos10)·eq\f(sin100,2cos50)·eq\f(sin140,2cos70)=eq\f(cos70,2cos10)·eq\f(cos10,2cos50)·eq\f(cos50,2cos70)=eq\f(1,8).点评:上两例中利用变形公式cosα=eq\f(sin2α,2sinα)与sinα=eq\f(sin2α,2cosα),使得问题得以巧解,简洁明快.另本题也可进行倍角变换,有如下解法:变形二:cos2α=2cos2α-1=1-2sin2αcos2α=eq\f(1+cos2α,2),sin2α=eq\f(1-cos2α,2)例3化简cos2(+15)+cos2(-15)-eq\f(eq\r(3),2)cos2.分析:由于视察到此式中的角出现+15、-15与2,要达到角的统一,需将角+15、-15向角2进行转化,因此,可考虑二倍角的的变形公式.解:cos2(+15)+cos2(-15)-eq\f(eq\r(3),2)cos2=eq\f(1+cos[2(+15)],2)+eq\f(1+cos[2(-15)],2)-eq\f(eq\r(3),2)cos2=1+eq\f(1,2)[cos(2+30)+cos(2-30)]-eq\f(eq\r(3),2)cos2=1+eq\f(1,2)[cos2cos30-sin2sin30+cos2cos30+sin2sin30]-eq\f(eq\r(3),2)cos2=1+eq\f(1,2)×2cos2cos30-eq\f(eq\r(3),2)cos2=1+eq\f(eq\r(3),2)cos2-eq\f(eq\r(3),2)cos2=1点评:二倍角公式的等价变形:sin2=eq\f(1-cos2,2),cos2=eq\f(1+cos2,2),可以进行“升(降)幂”的变换,即可将“二次式”与“一次式”互化.变形三:cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.例4求证:eq\f(1+sin4-cos4,2tan)=eq\f(1+sin4+cos4,1-tan2).分析:运用比例的基本性质,可以发觉原式等价于eq\f(1+sin4-cos4,1+sin4+cos4)=eq\f(2tan,1-tan2),此式右边就是tan2.证明:原式等价于eq\f(1+sin4-cos4,1+sin4+cos4)=tan2上式左边=eq\f(sin4+(1--cos4),sin4+(1+cos4))=eq\f(2sin2cos2+2sin22,2sin2cos2+2cos22)=eq\f(2sin2(cos2+sin2),2cos2(sin2+cos2))=tan2=右边,∴上式成立,即:原式得证.点评:本题通过利用升幂公式:1+cos2=2cos2与1-cos2α=2sin2α,使得已知条件式得以因式分解,进而使问题获解.变形四、依据诱导公式,有sin2=-cos2(+eq\f(,4))=cos2(eq\f(,4)-),cos2=sin2(+eq\f(,4))=sin2(eq\f(,4)-),于是有二倍角公式的如下变形:sin2=sin2(+eq\f(,4))-cos2(+eq\f(,4))=1-2cos2(+eq\f(,4))=2sin2(+eq\f(,4))-1;sin2=cos2(eq\f(,4)-)-sin2(eq\f(,4)-)=2cos2(eq\f(,4)-)-1=1-2sin2(eq\f(,4)-);cos2=2sin(+eq\f(,4))cos(+eq\f(,4));cos2=2sin(eq\f(,4)-)cos(eq\f(,4)-).例5已知sin(eq\f(,4)+)=eq\f(3,5),且eq\f(,4)<<eq\f(3,4),求eq\f(4sin2+3cos2,sin(eq\f(,4)+)+2cos(eq\f(,4)+))的值.分析:由于已知角eq\f(,4)+的三角函数值,因此需将所求三角式中的角2转化为角eq\f(,4)+.解:∵sin(eq\f(,4)+)=eq\f(3,5),eq\f(,4)<<eq\f(3,4),∴eq\f(,2)<eq\f(,4)+<π,cos(eq\f(,4)+)=-eq\f(4,5)4sin2+3cos2=4sin2(+eq\f(,4))-4cos2(+eq\f(,4))+6sin(+eq\f(,4))cos(+eq\f(,4))=2[2sin(+eq\f(,4))-cos(+eq\f(,4))][sin(+eq\f(,4))+2cos(+eq\f(,4))]∴原式=2[2sin(+eq\f(,4))-cos(+eq\f(,4))]=2[2×eq\f(3,5)-(-eq\f(4,5))]=4.点评:解答本题的关键是利用二倍角的变形公式将结论角转化为条件角.例6已知sin(eq\f(,4)+x)sin(eq\f(,4)-x)=eq\f(1,6),x∈(eq\f(,2),),求sin4x的值.分析:由于已知角eq\f(,4)+x与eq\f(,4)-x互余,由此可先对已知等式进行转化,求得2x的三角函数值,再对4x进行转化,转化为2x,沟通了已知与结论.解:sin(eq\f(,4)+x)sin(eq\f(,4)-x)=cos(eq\f(,4)-x)sin(eq\f(,4)-x)=eq\f(1,6),∴cos2x=2sin(eq\f(,4)-x)cos(eq\f(,4)-x)
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