高中数学3.1正余二倍角公式的变形用论文素材新人教A版必修4

正、余二倍角公式的变形用三角函数的求值、化简在高考占有重要地位，题型多属中低档题，但能体现了对三角公式的运用实力，特殊是三角公式的变形式更能考查学生敏捷应变实力.下面就二倍角的变形用举例说明.变形一：sin2α＝2sinαcosαcosα＝eq\f(sin2α,2sinα)或sinα＝eq\f(sin2α,2cosα)例1求值：coseq\f(,11)coseq\f(2,11)πcoseq\f(3,11)πcoseq\f(4,11)πcoseq\f(5,11)π解：∵cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，∴原式＝eq\f(sineq\f(2,11)π,2sineq\f(,11))·eq\f(sineq\f(4,11)π,2sineq\f(2,11))·eq\f(sineq\f(6,11)π,2sineq\f(3,11))·eq\f(sineq\f(8,11)π,2sineq\f(4,11))·eq\f(sineq\f(10,11)π,2sineq\f(5,11))＝eq\f(1,32).例2求sin10sin50sin70的值.解：sin10sin50sin70＝eq\f(sin20,2cos10)·eq\f(sin100,2cos50)·eq\f(sin140,2cos70)＝eq\f(cos70,2cos10)·eq\f(cos10,2cos50)·eq\f(cos50,2cos70)＝eq\f(1,8).点评：上两例中利用变形公式cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)与sinα＝eq\f(sin2α,2cosα)，使得问题得以巧解，简洁明快.另本题也可进行倍角变换，有如下解法：变形二：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αcos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)例3化简cos2(＋15)＋cos2(－15)－eq\f(eq\r(3),2)cos2.分析：由于视察到此式中的角出现＋15、－15与2，要达到角的统一，需将角＋15、－15向角2进行转化，因此，可考虑二倍角的的变形公式.解：cos2(＋15)＋cos2(－15)－eq\f(eq\r(3),2)cos2＝eq\f(1＋cos[2(＋15)],2)＋eq\f(1＋cos[2(－15)],2)－eq\f(eq\r(3),2)cos2＝1＋eq\f(1,2)[cos(2＋30)＋cos(2－30)]－eq\f(eq\r(3),2)cos2＝1＋eq\f(1,2)[cos2cos30－sin2sin30＋cos2cos30＋sin2sin30]－eq\f(eq\r(3),2)cos2＝1＋eq\f(1,2)×2cos2cos30－eq\f(eq\r(3),2)cos2＝1＋eq\f(eq\r(3),2)cos2－eq\f(eq\r(3),2)cos2＝1点评：二倍角公式的等价变形：sin2＝eq\f(1－cos2,2),cos2＝eq\f(1＋cos2,2),可以进行“升(降)幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.变形三：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.例4求证：eq\f(1＋sin4－cos4,2tan)＝eq\f(1＋sin4＋cos4,1－tan2).分析：运用比例的基本性质，可以发觉原式等价于eq\f(1＋sin4－cos4,1＋sin4＋cos4)＝eq\f(2tan,1－tan2),此式右边就是tan2.证明：原式等价于eq\f(1＋sin4－cos4,1＋sin4＋cos4)＝tan2上式左边＝eq\f(sin4＋(1－－cos4),sin4＋(1＋cos4))＝eq\f(2sin2cos2＋2sin22,2sin2cos2＋2cos22)＝eq\f(2sin2(cos2＋sin2),2cos2(sin2＋cos2))＝tan2＝右边，∴上式成立，即：原式得证.点评：本题通过利用升幂公式：1＋cos2＝2cos2与1－cos2α＝2sin2α，使得已知条件式得以因式分解，进而使问题获解.变形四、依据诱导公式，有sin2＝－cos2(＋eq\f(,4))＝cos2(eq\f(,4)－)，cos2＝sin2(＋eq\f(,4))＝sin2(eq\f(,4)－)，于是有二倍角公式的如下变形：sin2＝sin2(＋eq\f(,4))－cos2(＋eq\f(,4))＝1－2cos2(＋eq\f(,4))＝2sin2(＋eq\f(,4))－1；sin2＝cos2(eq\f(,4)－)－sin2(eq\f(,4)－)＝2cos2(eq\f(,4)－)－1＝1－2sin2(eq\f(,4)－)；cos2＝2sin(＋eq\f(,4))cos(＋eq\f(,4))；cos2＝2sin(eq\f(,4)－)cos(eq\f(,4)－).例5已知sin(eq\f(,4)＋)＝eq\f(3,5)，且eq\f(,4)＜＜eq\f(3,4)，求eq\f(4sin2＋3cos2,sin(eq\f(,4)＋)＋2cos(eq\f(,4)＋))的值.分析：由于已知角eq\f(,4)＋的三角函数值，因此需将所求三角式中的角2转化为角eq\f(,4)＋.解：∵sin(eq\f(,4)＋)＝eq\f(3,5)，eq\f(,4)＜＜eq\f(3,4)，∴eq\f(,2)＜eq\f(,4)＋＜π，cos(eq\f(,4)＋)＝－eq\f(4,5)4sin2＋3cos2＝4sin2(＋eq\f(,4))－4cos2(＋eq\f(,4))＋6sin(＋eq\f(,4))cos(＋eq\f(,4))＝2[2sin(＋eq\f(,4))－cos(＋eq\f(,4))][sin(＋eq\f(,4))＋2cos(＋eq\f(,4))]∴原式＝2[2sin(＋eq\f(,4))－cos(＋eq\f(,4))]＝2[2×eq\f(3,5)－(－eq\f(4,5))]＝4.点评：解答本题的关键是利用二倍角的变形公式将结论角转化为条件角.例6已知sin(eq\f(,4)＋x)sin(eq\f(,4)－x)＝eq\f(1,6)，x∈(eq\f(,2),)，求sin4x的值.分析：由于已知角eq\f(,4)＋x与eq\f(,4)－x互余，由此可先对已知等式进行转化，求得2x的三角函数值，再对4x进行转化，转化为2x，沟通了已知与结论.解：sin(eq\f(,4)＋x)sin(eq\f(,4)－x)＝cos(eq\f(,4)－x)sin(eq\f(,4)－x)＝eq\f(1,6)，∴cos2x＝2sin(eq\f(,4)－x)cos(eq\f(,4)－x)