2024高考数学一轮复习课时规范练15利用导数研究函数的单调性文含解析北师大版

课时规范练15利用导数探讨函数的单调性基础巩固组1.函数f(x)=x3-ax为R上增函数的一个充分不必要条件是()A.a≤0 B.a<0 C.a≥0 D.a>02.(2024山东青岛二中月考)已知定义域为R的函数f(x)的导数为f'(x),且满意f'(x)<2x,f(2)=3,则不等式f(x)>x2-1的解集是()A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)C.(2,+∞) D.(-∞,2)3.(2024山东德州二模,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)+1<f'(x),f(0)=2,则不等式f(x)+1>3ex的解集为()A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(-∞,0)4.已知函数f(x)=lnxx,则(A.f(2)>f(e)>f(3) B.f(3)>f(e)>f(2)C.f(e)>f(2)>f(3) D.f(e)>f(3)>f(2)5.设函数f(x)=12x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上是削减的,则实数a的取值范围是6.已知函数f(x)=ax2-4ax-lnx,则f(x)在(1,3)上不具有单调性的一个充分不必要条件是()A.a∈-∞,16 B.a∈-12,+∞C.a∈-12,16 D.a∈12,7.已知函数f(x)=alnx-2x,若不等式f(x+1)>ax-2ex在x∈(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.(-∞,0] D.[0,2]8.若函数f(x)=x2-4ex-ax在R上存在递增区间,则实数a的取值范围为.

9.(2024河北唐山一模,文21)已知a>0,函数f(x)=2ax3-3(a2+1)x2+6ax-2.(1)探讨f(x)的单调性;(2)若f(x)在R上仅有一个零点,求a的取值范围.综合提升组10.(2024湖南郴州二模,文12)已知定义在R上的函数f(x)的导数为f'(x),满意f(x)=f(-x).且对随意x∈0,π2,有f'(x)cosx+f(x)sinx>0,若a=233f-π6,b=2f-π4,c=2fπ3,则()A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<b<a11.(2024山东泰安一中期中)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表:x-1045f(x)1221f(x)的导函数y=f'(x)的图像如图所示,关于f(x)的结论正确的是()A.函数f(x)是周期函数B.函数f(x)在[0,2]上递增C.函数y=f(x)-a的零点个数可能为0,1,2,3,4D.当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点12.(2024安徽皖东名校联盟联考)若函数f(x)=-12x+m,x<e,x-lnx,13.(2024山东潍坊临朐模拟一,22)已知函数f(x)=mlnx-x+mx(m∈R),探讨f(x)的单调性创新应用组14.(2024山东潍坊临朐模拟一,8)已知奇函数f(x)的定义域为-π2,π2,其导函数为f'(x),当0<x<π2时,有f'(x)cosx+f(x)sinx<0成立,则关于x的不等式f(x)<2fπ4cosx的解集为(A.π4,π2B.-π2,-π4∪πC.-π4,0∪0,π4 D.-π4,0∪π4,π215.设函数f(x)=alnx+x-1x+1,(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)探讨函数f(x)的单调性.参考答案课时规范练15利用导数研究函数的单调性1.B函数f(x)=x3-ax为R上增函数的充要条件是f'(x)=3x2-a≥0在R上恒成立,所以a≤(3x2)min.因为(3x2)min=0,所以a≤0.而(-∞,0)⫋(-∞,0].故选B.2.D令g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-2x<0,即函数g(x)在R上递减.又因为不等式f(x)>x2-1可化为f(x)-x2>-1,而g(2)=f(2)-22=3-4=-1,所以不等式可化为g(x)>g(2),故不等式的解集为(-∞,2).故选D.3.C令g(x)=f(x)+1ex,∵f(x)+1<f'(x),则g'(x)=f'(x)-f(x)-1ex>0,故g(x)在R上递增,且g(0)=3,由f(x)+1>3ex,可得4.Df'(x)=1-lnxx2(x>0),当x∈(0,e)时,f'(x)>0;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0.故当x=e时,f(x)max=f(e).f(2)=ln22=ln86,f(3)=ln33=ln95.(1,2]∵f(x)=12x2-9lnx,∴f'(x)=x-9x(x>0),当x-9x≤0时,有0<x≤3,即f(x)在(0,3]上是削减的,则[a-1,a+1]⊆(0,3],∴a-1>0且a+1≤3,解得16.Df'(x)=2ax-4a-1x=2ax2-4ax-1x.若f(x)在(1,3)上不具有单调性,令g(x)=2ax2-4ax-1,则当a=0时,明显不成立,a≠0时,只需Δ=16a2+8a>0,g(1)g(3)<07.Af(ex)=ax-2ex,所以f(x+1)>ax-2ex在(0,+∞)上恒成立,等价于f(x+1)>f(ex)在(0,+∞)上恒成立.因为当x∈(0,+∞)时,1<x+1<ex恒成立,所以只需f(x)在(1,+∞)上递减,即当x>1时,f'(x)≤0恒成立,即当x>1时,ax≤2恒成立,所以a≤2.故选A8.(-∞,-2-2ln2)因为f(x)=x2-4ex-ax,所以f'(x)=2x-4ex-a.由题意,f'(x)=2x-4ex-a>0有解,即a<2x-4ex有解.令g(x)=2x-4ex,则g'(x)=2-4ex.令g'(x)=0,解得x=-ln2.函数g(x)=2x-4ex在(-∞,-ln2)上递增;在(-ln2,+∞)上递减.所以当x=-ln2时,g(x)=2x-4ex取得最大值-2-2ln2,所以a<-2-2ln2.9.解(1)f'(x)=6ax2-6(a2+1)x+6a=6(x-a)(ax-1),由f'(x)=0,得x=a或x=1a当0<a<1时,1a所以当x<a或x>1a时,f'(x)>0,从而f(x)在(-∞,a),1a,+∞上递增;当a<x<1a时,f'(x)<从而f(x)在a,1a上递减.当a=1时,1a=a=1所以f'(x)≥0,从而f(x)在R上递增.当a>1时,a>1a所以当x<1a或x>a时,f'(x)>从而f(x)在-∞,1a,(a,+∞)上递增;当1a<x<a时,f'(x)<从而f(x)在1a,a上递减.综上,当0<a<1时,f(x)在(-∞,a),1a,+∞上递增,在a,1a上递减;当a=1时,f(x)在R上递增;当a>1时,f(x)在-∞,1a,(a,+∞)上递增,在1a,a上递减.(2)f(a)=-a4+3a2-2=(a2-1)(2-a2),f1a=1-1a2当0<a<1时,f(a)<0,f1a<0,所以f(x)仅在1a,+∞上有一个零点,因此0<a<1满意题设.当a=1时,f(1)=0,所以f(x)在R上仅有一个零点1,因此a=1满意题设.当a>1时,f1a>0,所以要满意题设须有f(a)>0,从而2-a2>0,解得1<a<2,因此1<a<2满意题设.综上满意题目条件的a的取值范围是(0,2).10.A构造函数g(x)=f(x)cosx,x∈0,π2,则g'(x)=f'(x)cosx+f(x)由f(x)=f(-x),得f(x)为偶函数,∴a=233f-π6=233fπ6=f(π6b=2f-π4=2fπ4=f(π4)22=f(π4)cosπ4=gπ4,c=∵0<π6<π4<π3<π2,且g(x)在0,π2上递增,∴gπ6<gπ4<gπ11.C由导函数的图像和原函数的关系得,原函数的大致图像可以有以下两种代表形式,如图,由图得,不能断定函数f(x)是周期函数,故A错误;在[0,2]上导函数值为负,故原函数递减,故B错误;由动直线x=a与函数f(x)的图像交点个数可以为0,1,2,3,4,故函数y=f(x)-a的零点个数可能为0,1,2,3,4,故C正确;对于其次个图,函数y=f(x)-a的零点个数可以为2或3,故D错误.12.3e2-1当x≥e时,f'(x)=1-1x所以f(x)=x-lnx在[e,+∞)上递增,则f(x)≥f(e)=e-lne=e-1,值域是[e-1,+∞).又当x<e时,f(x)=-x2+m递减,则f(x)>-e2+m,值域是-e2+m,+∞由题设f(x)的值域为[e-1,+∞),所以-e2+m,+∞⊆[e-1,+∞).于是-e2+m≥e-1,解得m≥3e2-1.故实数m的最小值为3e213.解由题意得x∈(0,+∞),f'(x)=mx-1-mx2令g(x)=x2-mx+m,Δ=m2-4m=m(m-4).①当0≤m≤4时,Δ≤0,g(x)≥0恒成立,则f'(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上递减.②当m<0时,Δ>0,函数g(x)与x轴有两个不同的交点x1,x2(x1<x2),x1+x2=m<0,x1x2=m<0,则x1<0,x2>0.所以当x∈0,m+m2-4m2时,g(x)<0,f'(x)>0,则f(x)在0,当x∈m+m2-4m2,+∞时,g(x)>0,f'(x)<0,则f(x)在m+③当m>4时,Δ>0,函数g(x)与x轴有两个不同的交点x1,x2(x1<x2),x1+x2=m>0,x1x2=m>0,则x1>0,x2>0.所以f(x)在0,m-m2-4m2,m+在m-m2-综上所述,当0≤m≤4时,f(x)在(0,+∞)上递减;当m<0时,f(x)在0,m+m2-4m2上递增,在m+当m>4时,f(x)在0,m-m2-在m-m2-4m2,m+14.A依据题意,设g(x)=f(x)cosx,其导数为g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos2x.因为当0<x<π2时,f'(x)cosx+f(x)sinx<0,所以当0<x<π2时,g'(x)<0,则函数g(x)在0,π2上递减.又因为f(x)为定义域为-π2,π2的奇函数,则g(-x)=f(-x)cos(-x)=-f(x)cosx=-g(x),则函数g(x)为奇函数,所以函数g(x)在-π2,π2上是削减的.f(x)<2fπ15.解(1)当a=0时,f(x)=x-1x+1,x∈此时f'(x)=2(x+1)2,于是f'(1)=12,f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-即x-2y-1=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax①当a≥0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上递增.②当a<0时,令g(x)=ax2+2(a+1)x+a,则Δ=4(a+1)2-4a2=4(2a+1).(ⅰ)当a≤-12时,Δ≤0,所以g(x)≤0,于是f'(x)≤0,所以函数f(x)在(0,+∞)上递减(ⅱ)当-12<a<0时,Δ>0,此时g(x)=0有两个不相等的实数根,分别