2024-2025学年高中数学第一章数列1.1.2数列的函数特性学案含解析北师大版必修5

PAGE1.2数列的函数特性内容标准学科素养1.了解数列的几种简洁的表示方法.2.了解递增数列、递减数列、常数列的概念.3.驾驭推断数列增减性的方法.加强定义理解发展数形结合提升数学运算授课提示：对应学生用书第3页[基础相识]学问点一数列的表示方法预习教材P6－8，思索并完成以下问题以数列2，4，6，8，10，12…为例，你能用几种方法表示这个数列？提示：对数列2，4，6，8，10，12，…可用以下几种方法表示：(1)通项公式法：an＝2n.(2)递推公式法：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＋1＝an＋2，n∈N＋.))(3)列表法：n123…k…an246…2k…(4)图像法学问梳理数列的表示方法有通项公式法、递推公式法、列表法和图像法．学问点二数列的增减性思索并完成以下问题视察下列数列，发觉它们分别有什么特性？(1)1，2，3，4，…，n，…；(2)1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n)…；(3)1，1，1，1，….提示：数列(1)从第2项起的每一项都大于它的前一项，与增函数类似；数列(2)从第2项起的每一项都小于它的前一项，与减函数类似；数列(3)的各项都相等．学问梳理数列的函数特性分类定义表达式递增数列从第2项起，每一项都大于它前面的一项an＋1＞an递减数列从第2项起，每一项都小于它前面的一项an＋1＜an常数列各项都相等an＋1＝an[自我检测]1．已知数列{an}的通项公式an＝n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n)，n∈N＋，则数列{an}是()A．递增数列 B．递减数列C．摇摆数列 D．先递增再递减的数列答案：D2．已知an＝3n－2，则数列{an}的图像是()A．一条直线 B．一条抛物线C．一个圆 D．一群孤立的点答案：D3．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为________(填序号)．①an＝－2n＋3；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝eq\f(1,2n)；④an＝(－1)n.答案：①③授课提示：对应学生用书第4页探究一数列的表示法[阅读教材P8练习1]在1984年到2004年的6届夏季奥运会上，我国获得的金牌数依次排成数列：15，5，16，16，28，32，试画出该数列的图像．解析：用横坐标表示年数，纵坐标表示获得的金牌数，得到该数列的图像如图．[例1]图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像．[解析]如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，故有递推公式a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋，个数依次为1，3，9，27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1，n∈N＋.在直角坐标系中的图像为一些孤立的点(如图所示)．方法技巧求数列的递推公式留意视察数列项与项的关系，求通项公式留意视察项与序号的关系，图像法则一如既往地直观．跟踪探究1.某种练习本单价5元，小王买了n本(n∈N＋，n≤5)该练习本，记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列{an}．解析：通项公式法：an＝5n(n∈N＋，n≤5)．列表法：n12345an510152025图像法：探究二数列的单调性[阅读教材P7例3及解答]推断下列无穷数列的增减性．(1)2，1，0，－1，…，3－n，…(2)eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，…，eq\f(n,n＋1)，…题型：定义法推断数列的增减性．方法步骤：①设出数列通项公式an.②作差并化简an＋1－an.③推断符号得出结论．[例2]已知函数f(x)＝eq\f(x－1,x)，设an＝f(n)(n∈N＋)．(1)求证：an＜1.(2){an}是递增数列还是递减数列？为什么？[解题指南]eq\x(an＝\f(n－1,n))→eq\x(推断an＜1)→eq\x(由an＋1－an的符号，推断是递增数列还是递减数列)[解析](1)证明：因为an＝eq\f(n－1,n)＝1－eq\f(1,n)，且n∈N＋，所以an＜1.(2)an＋1－an＝eq\f(n,n＋1)－eq\f(n－1,n)＝eq\f(n2－（n2－1）,n（n＋1）)＝eq\f(1,n（n＋1）)＞0，所以an＋1＞an，因此{an}为递增数列．方法技巧推断数列的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法、作商法，作差法推断数列增减性的步骤为(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系．跟踪探究2.已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n,n2＋9)(n∈N＋)，写出其前5项，并推断数列{an}的单调性．解析：当n＝1，2，3，4，5时，an依次为eq\f(1,10)，eq\f(2,13)，eq\f(1,6)，eq\f(4,25)，eq\f(5,34)，an＋1－an＝eq\f(n＋1,（n＋1）2＋9)－eq\f(n,n2＋9)＝eq\f(－n2－n＋9,[（n＋1）2＋9]（n2＋9）).∵函数f(x)＝－x2－x＋9＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(37,4).在[1，＋∞)上是递减的，又f(1)＝7＞0，f(2)＝3＞0，f(3)＝－3＜0，∴当n＝1，2时，an＋1＞an，当n≥3，n∈N＋时，an＋1＜an，即a1＜a2＜a3＞a4＞a5＞….∴数列{an}的前3项是递增的，从第3项往后是递减的．[例3]已知数列{an}的通项公式an＝n2＋kn(n∈N＋)，若数列{an}是递增数列，求实数k的取值范围．[解析]由{an}是递增数列，得an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)＝2n＋1＋k＞0对于随意n∈N＋恒成立．∵f(x)＝2x＋1＋k在[1，＋∞)上为增函数，∴2n＋1＋k＞0对随意n∈N＋恒成立等价于2×1＋1＋k＞0，∴k＞－3，∴实数k的取值范围是(－3，＋∞)．方法技巧事实上，当－3＜k＜－2时，函数y＝x2＋kx在[1，＋∞)上不是单调函数，但数列an＝n2＋kn是单调的，由此可知函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列an＝f(n)肯定单调，反之则不肯定．究其缘由，是数列与函数定义域不同造成的差别．跟踪探究3.已知递增数列{an}的通项公式为an＝2kn＋1，则实数k的取值范围是________．解析：由于数列{an}是递增数列，所以an＋1－an＞0，即[2k(n＋1)＋1]－(2kn＋1)＝2k＞0，解得k＞0.答案：(0，＋∞)[阅读教材P7例4及解答]作出数列－eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(n)，…的图像，并分析数列的增减性．题型：图像法推断数列的增减性．方法步骤：①作出数列的图像；②依据图像推断数列的增减性．[例4]在数列{an}中，an＝n2－8n.(1)画出{an}的图像；(2)依据图像写出数列{an}的增减性．[解析](1)列表123456789…－7－12－15－16－15－12－709…描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，…，图像如图所示．(2)当1≤n≤4(n∈N＋)时，数列{an}为递减数列；当n＞4(n∈N＋)时，数列{an}为递增数列．方法技巧数列是自变量为正整数的一种特别的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．跟踪探究4.已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(2,2n－9)，画出它的图像，并推断增、减性．解析：图像如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的．探究三求数列的最大(小)项[例5]已知数列{an}满意an＝eq\f(2,2n－5)，此数列有无最大项？若有，是第几项？[解题指南]eq\x(假设存在最大项)→eq\x(作差an－an－1)→eq\x(探讨差的符号)→eq\x(下结论)，或利用数列的函数特性作图像求解．[解析]法一：假设数列{an}中存在最大项，因为an＝eq\f(2,2n－5)＝eq\f(1,n－\f(5,2))，所以an－an－1＝eq\f(1,n－\f(5,2))－eq\f(1,（n－1）－\f(5,2))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(7,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(7,2))))＝eq\f(－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(7,2))))(n≥2，n∈N＋)，当n＜3时，n－eq\f(5,2)＜0，n－eq\f(7,2)＜0，所以an－an－1＜0，有an＜an－1，将n＝1，2代入an知：a2＜a1＜0；当n＝3时，n－eq\f(5,2)＞0，n－eq\f(7,2)＜0，所以an－an－1＞0，有an＞an－1，将n＝3代入an知：0＜a3＝2；当n＞3时，n－eq\f(5,2)＞0，n－eq\f(7,2)＞0，所以an－an－1＜0，有an＜an－1，将n＝4，5，6，…代入an知：eq\f(2,3)＝a4＞a5＞a6＞…＞0；由以上分析知，第三项a3＝2是数列的最大值．法二：作出函数f(x)＝eq\f(2,2x－5)的图像．由图像知，此数列有最大项，是第3项．延长探究本例中，条件不变，求“此数列有无最小项”？解析：由以上分析知，a2＜a1＜0，a3＞a4＞a5＞a6＞…＞0，所以数列的最小项是其次项a2＝－2.方法技巧求数列的最大(小)项的方法(1)利用数列的单调性→eq\x(作差an＋1－an)→eq\x(\a\al(分析差与0的关系，,得出数列的单调性))→eq\x(求最值)(2)函数思想的应用→eq\x(确定与数列对应的函数)→eq\x(化简，找到基本函数)→eq\x(分析函数的单调性)→eq\x(求函数最值)(3)不等式思想的应用→eq\x(设出最大（小）项为第k项)→eq\x(列不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ak≥（≤）ak＋1,ak≥（≤）ak－1)))→eq\x(解出k的取值范围)→eq\x(确定k的值)跟踪探究5.在数列{an}中，an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up12(n)(n∈N＋)．(1)求证：数列{an}先递增，后递减；(2)求数列an的最大项．解析：(1)证明：令eq\f(an,an－1)＞1(n≥2)，即eq\f(（n＋1）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n),n·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n－1))＞1，整理得eq\f(n＋1,n)＞eq\f(11,10)，解得n＜10.令eq\f(an,an＋1)＞1，即eq\f(（n＋1）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n),（n＋2）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n＋1))＞1，整理得eq\f(n＋1,n＋2)＞eq\f(10,11)，解得n＞9.所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{an}先增后减．(2)由(1)知，a9＝a10＝eq\f(1010,119)最大.授课提示：对应学生用书第5页[课后小结](1){an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．(2)数列的表示方法：①图像法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．(3)数列的单调性是通过比较{an}中随意相邻两项an和an＋1的大小来判定的．某些数列的最大项或最小项问题，可以通过探讨数列的单调性加以解决．(4)数列是特别函数，肯定要留意其定义域是N＋(或它的有限子集)．[素养培优]忽视