2024-2025学年新教材高中数学第七章复数同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE单元素养评价(二)(第七章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+QUOTE为纯虚数”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由ab=0,得a=0,b≠0或a≠0,b=0或a=0,b=0,则a+QUOTE=a-bi不肯定为纯虚数;若a+QUOTE=a-bi为纯虚数,则有a=0且b≠0,这时有ab=0,故选B.2.若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi= ()A.-2+i B.1-2iC.2+i D.1+2i【解析】选C.(x-i)i=y+2i,即xi+1=y+2i,故y=1,x=2,所以复数x+yi=2+i.3.复数z=i(i+1)在复平面内的对应点位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.z=-1+i,对应点为(-1,1),在其次象限.4.(2024·全国Ⅰ卷)若z=1+2i+i3,则|z|= ()A.0 B.1 C.QUOTE D.2【解题指南】先依据i2=-1将z化简,再依据向量的模的计算公式即可求出.【解析】选C.因为z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=QUOTE=QUOTE.5.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是 ()A.A B.B C.C D.D【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),且a<0,b>0,则z的共轭复数为a-bi,其中a<0,-b<0,故应为B点.6.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是 ()A.直角三角形 B.等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形【解析】选A.1,2i,5+2i对应的向量坐标为(1,0),(0,2),(5,2),设O为坐标原点,即=(1,0),=(0,2),=(5,2),=-=(-1,2).=-=(5,0),=-=(4,2),则||2=||2+||2,所以∠BAC=90°,即由A,B,C所构成的三角形是直角三角形.7.若复数z满意2z+QUOTE=3-2i,其中i为虚数单位,则z= ()A.1+2i B.-1+2iC.-1-2i D.1-2i【解析】选D.设z=a+bi(a,b∈R),则QUOTE=a-bi.故2z+QUOTE=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=1-2i.8.设复数z=cosx+isinx,则函数f(x)=QUOTE的部分图象可能是 ()【解析】选A.f(x)=QUOTE=QUOTE=|cosx+isinx+cosx-isinx|=2QUOTE,因为f(x)=2|cosx|为偶函数,故解除C、D,又f(x)=2|cosx|的最小正周期为π,故解除B,所以f(x)的部分图象可能为A.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列命题中,真命题为 ()A.若复数z满意QUOTE∈R,则z∈RB.若复数z满意z2∈R,则z∈RC.若复数z1,z2满意z1z2∈R,则z1=QUOTED.若复数z∈R,则QUOTE∈R【解析】选AD.对于命题A,设复数z=x+yi(x,y∈R),且x,y不同时为零,则QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi,若QUOTE∈R,则y=0,所以z=x∈R,该命题正确;对于命题B,当z=-i时,z2=-1∈R,但z∉R,该命题错误;对于命题C,取z1=1+i,z2=2-2i,则z1z2=(1+i)(2-2i)=2-2i2=4,但z1≠QUOTE,该命题错误;对于命题D,当z∈R时,可设z=x(x∈R),则QUOTE=x∈R,该命题正确.10.已知i为虚数单位,复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为 ()A.1 B.-1 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选AB.因为复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,所以a2+4=4+1,解得a=±1.11.设z1,z2是复数,则下列命题中,正确的是 ()A.若QUOTE=0,则z1=QUOTEB.若z1=QUOTE,则QUOTE=z2C.若QUOTE=QUOTE,则z1·QUOTE=QUOTE·z2D.若QUOTE=QUOTE,则QUOTE=QUOTE【解析】选BC.设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.若|z1-z2|=0,则z1-z2=(a-c)+(b-d)i=0,所以a=c,b=d,所以z1=z2,所以QUOTE=QUOTE,无法保证z1=QUOTE,所以A错误;若z1=QUOTE,则a=c,b=-d,所以QUOTE=z2,故B正确;若|z1|=|z2|,则a2+b2=c2+d2,所以z1·QUOTE=QUOTE·z2,故C正确;QUOTE=(a2-b2)+2abi,QUOTE=(c2-d2)+2cdi,在a2+b2=c2+d2的条件下,不能保证a2-b2=c2-d2,2ab=2cd,故D错误.12.(2024·枣庄高一检测)已知集合M={m|m=in,n∈N*},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是 ()A.(1-i)(1+i) B.QUOTEC.QUOTE D.(1-i)2【解析】选BC.依据题意,M={m|m=in,n∈N*}中,n=4k(k∈N*)时,in=1;n=4k+1(k∈N*)时,in=i;n=4k+2(k∈N*)时,in=-1;n=4k+3(k∈N*)时,in=-i,所以M={-1,1,i,-i}.选项A中,(1-i)(1+i)=2∉M;选项B中,QUOTE=QUOTE=-i∈M;选项C中,QUOTE=QUOTE=i∈M;选项D中,(1-i)2=-2i∉M.三、填空题(每小题5分,共20分)13.当a∈R时,有(1-i)(a+i)∈R,则a=.

【解析】因为(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i∈R,所以1-a=0,即a=1.答案:114.若QUOTE=2-i(其中i是虚数单位),则实数a=.

【解析】因为QUOTE=2-i,所以1+ai=(1-i)(2-i)=1-3i,所以a=-3.答案:-315.在复平面上正方形的顶点对应的复数中有三个是1+2i,-2+i,-1-2i,那么第四个顶点对应的复数是.

【解析】设正方形四个顶点A,B,C,D对应的复数分别为1+2i,-2+i,-1-2i,a+bi,O为复平面的原点,则=(1,2),=(-2,1),=(-1,-2),=(a,b),=-=(-3,-1).又四边形ABCD为正方形,所以=,即(-3,-1)=-=(-1-a,-2-b),所以QUOTE所以QUOTE所以=(2,-1).即第四个顶点对应的复数是2-i.答案:2-i16.复数z1=1-2i,|z2|=3,则|z2-z1|的最大值是.

【解析】设z2=x+yi(x,y∈R),且x2+y2=9,故令x=3cosθ,y=3sinθ,z2-z1=(x-1)+(y+2)i,所以|z2-z1|=QUOTE,QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,其中sinφ=QUOTE,cosφ=QUOTE,所以最大值为QUOTE=QUOTE=3+QUOTE.答案:3+QUOTE四、解答题(共70分)17.(10分)已知z=1+i,若QUOTE=1-i,求实数a,b的值.【解析】因为z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=a+b+(2+a)i,z2-z+1=(1+i)2-(1+i)+1=i,所以QUOTE=(2+a)-(a+b)i=1-i,由复数相等,得QUOTE解得QUOTE18.(12分)设复数z=(a2+a-2)+(a2-7a+6)i,其中a∈R,当a取何值时,(1)z∈R;(2)z是纯虚数;(3)z是零.【解析】(1)因为z∈R,所以a2-7a+6=0,所以a=1或a=6.(2)因为z是纯虚数,所以QUOTE所以a=-2.(3)因为z=0,所以QUOTE所以a=1.19.(12分)已知复数z满意|z|=1+3i-z,求QUOTE的值.【解析】设z=a+bi(a,b∈R).因为|z|=1+3i-z,所以QUOTE-1-3i+a+bi=0,即QUOTE解得QUOTE所以z=-4+3i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=3+4i.20.(12分)已知复数z1=m+(m2-2m)i,z2=1+(-m2+3m-1)i,其中m∈R.(1)若复数z1为实数,求m的值;(2)求|z1+z2|的最小值.【解析】(1)由复数z1为实数,则m2-2m=0,解得m=2或m=0.(2)因为z1+z2=(m+1)+(m-1)i,所以|z1+z2|=QUOTE=QUOTE,故当m=0时,|z1+z2|的最小值为QUOTE.21.(12分)计算:(1)QUOTE;(2)QUOTE.【解析】(1)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi.(2)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-i.22.(12分)已知复数z1=sin2x+λi,z2=m+(m-QUOTEcos2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.(1)若λ=0且0<x<π,求x的值;(2)设λ=f(x);①求f(x)的最小正周期和单调递减区间;②已知当x=α时,λ=QUOTE,求cosQUOTE的值.【解析】由z1=sin2x+λi,z2=m+(m-QUOTEcos2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.得QUOTE(1)若λ=0且0<x<π,则sin2x=QUOTEcos2x,即tan2x=QUOTE,所以x=QUOTE或QUOTE;(2)①λ=f(x)=2sinQUOTE