基于小波变换的齿轮振动信号分析与处理

目录第1章摘要………………31.1引言………………………31.1.1分析研究齿轮振动信号的意义………41.1.2分析齿轮振动信号现有的方法及发展方向…………41.2课题背景…………………41.2.1时频分析的小波分析…………………41.2.2将小波变换应用于振动信号的研究现状……………51.2.3存在的问题及对策……………………61.3本文研究内容………第2章齿轮振动理论………2.1概述………2.2齿轮振动理论………2.2.1齿轮振动机理的认识………2.2.2齿轮振动的特征………2.3常见齿轮振动信号分析处理方法及特点……2.3.1时域分析及特点………2.3.2频域分析及特点………2.3.3时频分析与小波分析………2.4齿轮振动信号分析对小波变换的内在需求……2.4.1突变信号﹑奇异信号的检测过程需要时频分析……………2.4.2故障诊断需要多分辨率分解………………2.4.3微弱信号提取需要“显微镜”……………2.4.4小波变换与自相似过程的分形的探讨………2.5本章小节………第3章小波基本理论………3.1引言………3.2小波变换及其工程解释………3.2.1连续小波变换………3.2.2半离散小波变换………3.2.3离散小波变换………3.3小波包变换的工程解释及其直观解释…………3.4小波理论的新进展………3.5小波分析和常用方法比较………3.6适合齿轮振动分析的小波母函数………3.7本章小节………第4章小波变换在齿轮振动信号分析中的应用……4.1提取频率时变信号中的特征………4.2提取信号奇异性部分特征………4.2.1信号分析………4.3提取信号中某一频率区间的信号…………………4.4进行信号中某一频率区间的抑制或衰减……………4.5预测信号的发展趋势………4.6检测信号的自相似………4.7小波降噪与滤波………4.8本章小节………第5章结论及建议………致谢………参考文献………摘要本文针对实际齿轮振动信号分析的需要，首先研究了齿轮振动理论、小波分析理论的工程意义、在此基础上研究了小波变换在齿轮振动信号中的应用，本文主要完成以下几个任务：⑴通过对齿轮振动理论的全面分析与研究，得出结论：对齿轮振动信号灯进行有效的时频分析是分析齿轮振动信号的内在需求：奇异性监测和对齿轮振动信号灯进行降噪滤波上小波变换在分析齿轮振动信号的主要应用；⑵通过对齿轮振动信号的分析过程所涉及到的小波理论的研究，阐述了不同小波变换的工程意义和理论基础，比较了小波分析和其他常用信号的分析方法，并在比较各种性能指标的基础上，选取Daubechies(N=1,3,6)、coif3(coifiet小波系)等小波函数作为适合齿轮振动分析的小波母函数。⑶通过信号实例说明小波变换在处理齿轮振动信号时的独特优点，并且通过从实验台采集到的实际齿轮振动信号分析，利用小波变换对其进行奇异性监测研究，取得了良好的效果。⑷针对齿轮振动信号本身的特点，介绍了提取信号中某一频率区间的信号、对信号中的某些频率区间的信号进行抑制或衰减、预测信号的发展趋势、分析信号的自相似性等内容，为今后齿轮振动信号分析研究提供有效的分析手段。⑸通过仿真信号和实例信号的分析，阐明了小波分析进行图形消噪的优势和特点。关键词：齿轮振动信号小波变换奇异性消噪

第一章引言1.1小波分析1.1.1小波的定义小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。1.1.2产生历史小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于当前的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（TenLecturesonWavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（MultiscaleAnalysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。1.1.3分析方法小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与图像处理可以统一看作是信号处理（图像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。对于其性质随时间是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。1.1.4发展现状小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。1.1.5应用领域事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。(1)小波分析用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。(3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。1.2将小波变换应用于齿轮振动信号的研究现状在振动信号处理方面，应用小波变换的来分析是一种趋势。信号处理技术的日益进步和小波理论本身的不断发展，决定了小波变换在分析处理信号方面有着广阔的应用前景。小波变换在振动信号分析中的典型应用主要有以下几个：小波变换用于振动信号信噪分离。实际采集到的齿轮信号是比较复杂的，含有很多噪声，如何削除噪声，再对消噪后的振动信号进行相关分析是处理齿轮振动信号的一个重要环节；小波变换用于信号的滤波；小波变换用于信号非平稳特性分析的；小波分析由于其良好的时频局部化特性，对处理瞬变信号有独特的优越性；将小波分析应用于大型机械设备变工况非平稳动态分析的；小波变换和分形的结合。小波变换是对信号的逐层剥离，层层分解，得到信号的各级细节和近似部分：而分形则是事物的形态﹑结构与组织的分解和分裂，它是一个过程，是事物从整体向局部。从宏观向微观转化的过程，因此小波变换与分形过程在认识事物方面有共同之处，两者之间的结合能发挥更大的作用；小波变换还可以与神经网络结合。综上所述，小波分析作为一种全新的信号处理工具，在振动信号处理方面也取得了越来越多和越来越深的的应用。不过我们也应该看到小波分析本身也是一门发展非常快的学科，它也会有它的适应范围和它的不足。只有结合实际情况，具体问题具体分析，才能更好的利用小波分析解决实际问题。1.3本文研究内容本文主要解决以下几个问题：齿轮振动信号分析为何要引入小波变换？小波分析齿轮振动信号有何优点？小波分析可以解决哪些在齿轮振动信号中目前无法有效解决的问题？为了很好的解决或探讨这些问题，本文研究内容如下：研究齿轮振动理论，认识齿轮的振动机理及振动特征；研究和振动分析有关的小波分析理论，揭示不同小波变换的工程意义。并根据实际采集到的齿轮振动信号的数据长度来选择小波分解的最优尺度；研究小波分析在振动信号中降噪滤波中的具体应用。

第二章齿轮振动理论2.1齿轮振动理论齿轮传动是靠轮齿间相互交替作用而传动力的，而在齿轮啮合处齿与齿之间发生连续的冲击以及齿面间和摩擦，从而产生齿轮振动而辐射噪声，齿轮啮合过程中产生振动，主要是由齿轮啮合力的的变化引起的。2．1．1齿轮振动机理的认识一、齿轮啮合作用力对轮齿振动的影响以下个齿轮的一个啮合过程为例，由于作用在齿廓上力的大小﹑作用点和作用方向均是变化的，因此啮合过程中就不可避免的出现轮齿振动。齿轮作用力和方向在啮合过程中的变化，最突出的表现在齿对啮合节点附近。在节点附近，齿廓摩擦力方向发生突变，引起齿廓作用力方向的变化，由此加剧了轮齿的振动。一般认为摩擦力的这一影响总比齿轮啮合力变化引起的轮齿振动的影响是较轻的。力作用点的影响是不容忽视的。力作用点变化主要是轮齿接触位置和接确面积大小的变化引起的。对齿轮共轭齿轮而言，在一定载荷作用下，齿轮接确线形成的位置﹑顺序和接触区域的大小具有理想的理论数值。但在轮齿的实际啮合中，会出现接确线长度减小﹑接确瞬时中断﹑接确位置偏向轮缘﹑接确面积减小﹑非共轭齿面接确（如齿顶﹑齿面的干涉﹑非工作齿廓的接确）等现象。这些现象即是由力作用点和变化引起的，由此使特定接确区域的瞬时接确应力过高，形成瞬时接确区域的冲击和振动。啮合力大小的变化对齿轮振动有明显的影响。由于种种原因，作为啮合函数的轮齿啮合力，即瞬时啮合力，总是偏离理想的理论啮合力。轮齿瞬时啮合力的大小及变化规律对轮齿啮合振动有直接的影响。二﹑齿轮传动系统的动态激励对齿轮振动的影响齿轮传动系统作为一种弹性的机械振动，在动态激励下，就会产生振动响应。齿轮传动系统的内部激励包括：齿轮啮合时变刚度，轴承误差；外部激励包括：系统的输入和负载条件。齿轮传动系统的振动主要是齿轮的啮合振动。如前所述，齿轮啮合振动状态主要是由轮齿啮合力（啮合激励）的大小及其变化规律所决定。在系统的输入和负载条件已确定的条件下，齿轮啮合时变刚度和啮合综合误差决定了轮齿啮合力的作用形式，即决定了轮齿啮合的振动状态。齿轮啮合综合刚度具有时变特性。在齿轮动力学中，齿轮时变啮合刚度亦被称为刚度激励。刚度激励对系统的最大影响就是造成理论渐开线齿轮副在轮齿啮入啮出时刻产生啮入啮出冲击，形成轮齿强烈振动。另外，从齿轮几何运动角度看，对于一定载荷作用下的标准渐开线齿轮副，齿轮啮合刚度的变化会引起轮齿弹性变形的变化，进而引起齿轮副传动比的变化，从而激励整个传动系统产生振动。而齿轮传动中的各种误差，如齿轮制造误差﹑安装误差运转中因温度误差而引起的各种变形等会激发齿轮副传动中的振动。由此可见，齿轮刚度激励与误差激励对齿轮动态啮合力具有直接的影响。齿轮啮合综合刚度﹑齿廓啮合综合误差与轮齿动态啮合力的相互作用，形成轮齿的啮合振动。三﹑齿轮误差对齿轮振动的影响轮齿刚度周期性的变化，是产生激振力﹑引起啮合过程中产生振动的重要原因。而轮齿误差是产生齿轮振动激振力的主要因素。齿轮制造误差有许多种，其中对齿轮振动影响较大的误差有：基节偏差﹑齿距偏差﹑压力角误差﹑齿形误差﹑齿距累积偏差﹑波形误差和齿向误差等。四﹑齿轮传动系统的振动机理齿轮系统是一个参数自激的振动系统，其振动机理如图2-1所示。我们可以将其分为传动系统的振动和零件结构的振动。传动系统的振动是指用于传递运动和动力的齿轮副﹑传动轴和轴承的振动。主要包括齿轮的圆周振动﹑传动轴的扭转振动及横向弯曲振动﹑轴承的横向振动。若齿轮端面因受传动轴弯曲等因素影响而发生变化时，齿轮还会发生振动。在传递运动和动力的过程中，由于上述各种激励的相互作用，传动系统还存在多种耦合的振动形式。零件结构的振动则是齿轮传动系统的振动引起的，不同的零件按其自身的结构形式﹑材料特性及联接方式而产生振动。以齿轮为例，齿轮在传动系统中的主要振动形式为圆周方向振动，但测量结果表明，在齿轮的径向和轴向也存在振动。齿轮的径向和轴向振动，一部分来自传动系统的振动分量，另一部分则来自齿轮结构本身的振动，后者受齿轮轴向振动激励而产生的。比如对于轮幅式的航空齿轮，轮幅的振动主要来自结构振动本身。齿轮箱的振动则是典型的结构振动，它在轴承外圈振动激励的作用下，按其自身结构特征所决定的振动模态产生振动。在齿轮振动系统中，由于传动件﹑支撑和箱体均为连续质量分布的弹性体，无论是传动系统还是零件结构，都存在多阶的振动固有频率和相应的振型。受齿轮啮合频率影响，具有周期性的齿轮刚度激励﹑误差激励﹑质量偏心等激励的频率不尽相同，因此齿轮系统在多个不同频率的激励作用下，系统动态响应呈现出纷繁复杂的振动现象，使的多数齿轮振动实验测试结果与理论分析有一定的差别。2.2.2齿轮的振动特征齿轮振动信号的调制现象中包含有很我故障信息，所以研究信号调制对齿轮故障诊断是非常重要的，从频域上看，信息调质的结果是使用齿轮啮合频率周围出现边频带情况。信号调制可分为两种：幅值调制和频率调制。幅值调制幅值调制是由于齿面载荷波动对振动幅值的影响而造成的，例如，齿轮偏心造成齿轮啮合时齿轮间隙变化，从而产生载荷波动，使振动幅值按此规律周期性的变化；齿轮的加工误差（例如节距不匀）及齿轮故障使齿轮在啮合过程中产生短暂的“加载”和“卸载”效应，也会产生幅值调制。频率调制由于齿轮载荷不均匀﹑齿轮传动不平稳及故障造成的载荷波动，除了对振动幅值产生影响外，同时也必然产生扭矩的波动，使齿轮转速产生波动。这种波动表现在振动上即为频率调制，这两种调制总是同时存在的。对于质量较小的齿轮幅，频率调制现象尤为突出。对于振动信号而言，频率调制的原因主要是由于齿轮啮合刚度函数由于齿轮加工误差和故障的影响而产生了相位变化，这种相位变化会由于齿轮的旋转而具有周期性。齿轮振动信号的调制特点齿轮振动信号的频率调制和幅值调制的共同点在于：①载波频率相等；②连带频率对应相等；③边带对应于载波频率。在实际的齿轮系统中，调幅效应和调值效应总是同时存在的，所以，频谱上的边频成份为两种调制的叠加。虽然这两种调制中的任何一种单独作用时所产生的边频都是对称于载波频率的，但两者叠加时，由于边频成份具有不同的相位，所以是向量相加。叠加后的边频幅值增加了，有的反而下降了，这就破坏了原有的对称性。边频具有不稳定性。幅值调制和频率调制的相对位关系会受随机因素影响而变化，所以在同样的调制指数下，边频带的形状会有所改变，但其总体水平不变。因此在齿轮故障诊断中，只监测某几个边频得到的信息往往是不全面的，据此做出的诊断结论有时是不可靠的。齿轮振动中的其他成份齿轮振动信号中除了存在啮合频率（及其倍频）﹑边频成份外，还存在其他的振动成份。（1）附加脉冲。齿轮信号调制所产生的信号大体上都是对称于零电平的，但由于附加脉冲的影响，实际上测得的信号不一定对称于零线，附加脉冲是直接叠加在齿轮的常规振动上，而不是以调制的形式出现，在时域上比较容易区分，如下图所示：齿轮平衡不良﹑对中不良﹑零部件机械松动等缺陷都会引起附加脉冲。附加脉冲不一定与齿轮缺陷直接相关，附加脉冲的影响一般不会超出低频段，即在啮合频率以下。⑵隐含成份。新齿轮传动时，如同啮合频率一样，会在频谱上出现某一频率的基频及次倍频成份，成为隐含成份。实际上它是制造该齿轮时所用加工机床的分度齿轮的啮合频率。⑶交叉调制成份。由上述基本成分互相调制而成，表现为一些频率的和频与差频。2.3常见齿轮振动信号分析处理方法及其特点常见的齿轮振动信号分析处理方法一般有以下几种：时域分析﹑频域分析﹑时频分析和小波分析等。2.3.1时域分析及其特点所谓信号时域分析方法就是根据信号的时间历程记录波形，分析信号的组成和特征量。该分析方法主要是对振动测试的数据和波形进行分析。通过分析可以确定：⑴信号波形的幅值参数；⑵借助傅立叶变换或快速傅立叶变换求出波形的各次谐波分量的幅值和频率；⑶波形的畸变和真实波形；⑷由波形的衰减求系统的阻尼；⑸信号前后的相关程度等等（10）。这样分析主要是为了提供各种振动参量的幅值﹑分析验证所测结果的可靠性，以及对实测波形和数据进行修正﹑反演﹑去伪存真。亦可以通过量纲分析及作图等方法，求出经验公式或关系式，得出振动规律。在齿轮振动信号中总是包含很强的“常规振动”成份，这种成分是由齿轮的啮合产生的，它会包含啮合齿轮的各阶倍频以及一阶倍频成分（正常齿轮加工后都会有轻微偏心，由此产生一阶边频）；而齿轮振动信号中其他成分均由齿轮加工误差和故障所产生。因此对时域平均后的齿轮振动信号作FFT滤波处理，只保留各阶啮合频率及其一阶边频成分，这样就可以分别得到齿轮的“常规振动”和“其它振动”的时域信号，从而实现两者分离。再分别对感兴趣的信号（一般为“其他振动”信号）重点研究。此外，也可直接从时域信号中提取调制信号，再直接分析调制函数在齿轮发生故障或齿轮振动信号发生变化时的变化。时域分析方法由于不含有任何频率的信息，它更无法确定齿轮振动信号的频率构成，而前面说过，齿轮在发生故障或异常时，它有振动信号中所包含的频率成分是会发生变换的，因此仅靠时域分析很难满足齿轮振动信号的分析要求。在实际分析处理齿轮振动信号时，这种方法相对应用比较少，但在应用其它方法来处理齿轮振动信号时，可能会辅助性的用到时域分析方法。2.3.2频域分析及其特点频域分析是分析齿轮齿轮振动信号最常用的分析方法之一，因为齿轮传动过程中，故障的发生﹑发展通常会引起设备振动信号所包含频率成分的发生变化。频域分析的基础是频谱分析，而使用最多也是最普遍的方法是傅立叶变换，它将信号分解为有限或无限个频谱的分量之和。实际的齿轮振动信号往往包含很多频率成分，频谱分析可以求得振动信号的各种频率成分和它们的幅值（或能量）及相位，这对研究被测对象的振动特性﹑振型和动力反应都是很有意义的。而且在傅立叶变换的基础上，人们很快提出了快速傅立叶变换的方法。该算法简化了信号的分析和运算，具有极大的应用价值，它已成为各领域普遍使用的强有力的分析振动信号的工具。当前使用齿轮振动信号的频域方法有以下几种：①啮合频率及其各阶倍频的分析的；②边频带分析的；③倒频谱分析。频域分析方法相对比较成熟，但频域分析方法结齿轮振动信号分析也并不理想，因为傅立叶变换只能获得信号的整体频谱，而不能获得信号的局部特征，它不适应用信号的局部分析和。此外傅立叶变换只适应用确定性的平稳信号，对时变的非平稳信号则不能进行充分描述。事实上傅立叶变换是对整个时域范围求积，去掉了非平稳信号的时变信息了；傅立叶分析只能刻画信号的频率信息，而不能同时提供时域上的信息。而具体在分析齿轮振动信号时，我们真正需要研究的信号往往是瞬时的﹑短促的或脉冲的，通过频域分析方法所获得的分析结果不能体现出任何时域上的信息，比如对突变信号﹑非平稳信号﹑或需要检测信号中的奇异成分等等，傅立叶分析已满足不了相应的需求，因此寻求一种新的变换方法，使它即能保持傅立叶变换的优点，又能弥补傅立叶分析的不足，已成为应用数学家和工程技术人员共同努力的前沿课题。2.3.3时频分析和小波分析前面说过，能够在时域和频域同时进行信号分析的方法一般被称为时频分析。因为一般分析处理齿轮振动信号的方法中，时域分析无法获得信号的频率信息，而频域分析无法确定信号的时域信息。对于齿轮振动信号，应该采用时频分析。而时频分析的方法很多，例如：短时傅立叶分析﹑小波分析﹑wigner谱分析等等，本文对时频分析理论及应用进行了较为详细的论述。频谱分析和时频分析的不同在于：频谱能使我们能够确定哪些频率成分的存在，而时频分析则使我们能够确定在某一特定的时间那些频率成分存在。20世纪80年代中期出现的小波分析继承并了展了短时傅立叶变换的局部化的思想，巧妙地利用一个尺度参数，使窗口的宽度随频率的增加而减少，分辨率也随之变化，符合对含有复杂频率成分的齿轮振动信号进行分析物要求。但同时我们也应该看到，由于计算机和科学技术的飞速发展，小波分析本身也在不断发展，虽然在近几年内有很多学者在研究小波，但也许每天都会有新的发现。2.4齿轮振动信号分析对小波变换的内在需求2.4.1突变信号﹑奇异性信号的检测过程需要时频分析对于实际的齿轮振动信号，绝大多数情况下它们的表现很复杂，几乎只在很小的范围内平稳，根本无法近似为平稳信号。而很多时候我们更需要对信号中的奇异信号进行分析，尤其是对一些故障信号。比如设备停起时﹑故障开始时，故障发生时的表现，等等，这些都无法近似为平稳信号，因此也就难以通过傅立叶变换反映出来。如齿轮断齿是一个典型的突发故障，它给振动信号带来的影响是典型的非线性和非平稳信号。所以对齿轮振动信号的奇异性检测的要求是对其进行高效的时频分析。目前，时频分析在齿轮振动信号中应用较少的原因可能是因为下面几个原因：①缺乏简单实用的时频分析方法。②时频分析得到的结果比较复杂，对其分析需要一定的技术背景。③现有的分析方法可以解决碰到的部分常见问题。对齿轮振动信号进行高效的时频分析是齿轮振动机理外在表现的必然要求，而小波分析正好吻合了这样的工程要求：理论浅显易懂。算法简单快速，工程意义明确。所以，可以说小波分析在齿轮振动信号中的应用会成为一种必然。2.4.2故障诊断需要多分辨率分解如前所述，齿轮振动信号的奇异性检测过程需要进行时频分析。那么首先对于时频分析而言，无论是从灵活性来考虑，还是从确定奇异性的准确率来考虑，都需要多分辨率分解。此外，目前人们利用最多而且最可靠的故障机理是通过发现齿轮故障和频谱分布之间有稳定的对应关系。而如果考虑到故障特征更多的表现在基频附近，而对信号点频率的分析无法代替频率的分析，因此从故障的内在机理需求来看需要对信号进行准确的频带分解。也就是说，从故障的内在机理来看也同样要求我们对信号进行多分辨率分解。2.4.3微弱信号提取需要“显微镜”齿轮振动信号时非常复杂的信号，在进行各种预测、诊断、提取信号特征的分析中，如果某些可能会导致后期故障的微弱信号没有被发现的话，那么我们岂不是错失了预测故障的最佳时机了？很多故障在发生初期，其信号表现为类似正常信号，对于故障而言，有个积累的过程。尤其是对一些渐发性故障，它有很长的故障发展过程，比如裂纹等等。此时，如果能够在分析齿轮振动信号的时候，就能够探测到微弱奇异性信号的出现，必将大大提高对故障的预测诊断效力。而传统的分析方法不能实现这样的功能，它们只有到故障信号被提取出来或者故障已经发展到一定的规模时，才能将故障信号检测出来。因此，通过适当分析方法将正常信号夹杂的微弱信号提取出来，是分析齿轮振动信号并进行故障预测的趋势之一。而小波分析的“显微镜”功效正好能在这个时候排上用场。2.4.４小波变换与自相似过程和分形的探讨从齿轮动力学研究来看，文献（11）和（12）分别研究了行星齿轮传动系统和行星齿轮传动系统的间隙非线性动力学行为。在他们的研究中，发现在这些复杂的传动系统中，存在着分岔和混沌等非线性动力学特有的现象。因此将分形理论应用于齿轮非线性动力学是理所当然了。在理想状态下，齿轮的振动信号应该是周期的，也就是如果从分形角度来研究的话，是可以得到一个确切的分形指数的。文（13）就利用分形理论计算出了系统的分形维数。而前面曾提过，小波变换与分形过程在认识事物方面有共同之处【1.2.2】。如果用小波分析来研究齿轮振动信号，可以得到其自相似过程的分析结果。小波分析得来的信号的自相似过程和信号的分形维数之间有什么联系呢？这也是本文试图探讨的内容之一。2.5本章小结在分析齿轮振动产生的机理﹑及影响齿轮振动的多种因素（齿轮啮合作用力﹑齿轮传动系统的动态激励﹑齿轮误差等的基础上，指出了齿轮传动系统的振动机理。并分析的齿轮振动特征及其常见的齿轮振动信号分析方法及其特点。因频域分析方法无法包含任何时域的信息，时域分析方法无法获得频域的信息，因此需要寻找一种新的能够进行时频分析的方法，从而说明引入小波变换来进行齿轮振动信号的分析的意义和必要性。最后分别从突变信号等奇异性信号的检测过程需要时频分析、故障诊断需要多分辨率分解﹑微弱信号提取需要“显微镜”﹑小波变换与自相似过程和分形的探讨等方面来说明齿轮振动信号对小波变换的内在需求。综上所述，从齿轮振动理论及其齿轮振动机理来看，小波变换对研究齿轮振动信号有着重要的意义。

第三章小波基本理论在分析实际的齿轮振动信号时，真正需要分析的往往是那些非平稳的瞬态信号，它们最在的特点是能量在时域或频域都具有局部特性。因此不可避免的要求分析这种信号的工具也同样具备时频分析，而小波分析正因为其有着良好的时频局部特性而应用越来越广泛。小波分析具有连续小波变换﹑离散小波变换﹑半离散小波变换和在其基础上发展起来的小波包变换和最优小波变换。它们都可以对非平稳信号进行有效的时频分析，具有明确的工程意义。3.1引言近年来，小波理论在国外有了突飞猛进的发展。在美国，几乎每所著名大学都有专门的研究小波的小组，许多著名的研究所﹑实验室，如贝尔实验室都对小波的发展做出了重要贡献。各种各样名目繁多的小波，因不同的应用目的而被构造出来，令人目不暇接。所有这些都展现出小波理论的光明前景。小波理论已引起了许多领域科学家的兴趣和关注，但它还处在发展之中，虽然它对科学技术发展的意义和影响还难以预料，但它的发展则是肯定的，小波分析的思想来源于傅立叶分析，因此，它还不能取代傅立叶分析，但它是傅立叶分析的发展与创新，它的发展将作为科学计算及信号图像的处理开辟新的途径。考虑到本文研究目的在于小波分析的实际的应用，有必要将齿轮振动信号涉及到的小波理论做一个详细的介绍和分析，重点在于说明各种小波变换的工程应用意义。3.2小波变换及其工程解释先介绍一下小波变换的定义：设是平方可积函数，是被称为基本小波的函数，则：称为的小波变换。式中是尺度因子，反映位移其值可正可负。小波变换等域的表示是：式中，分别是，的傅立叶变换。根据和的不同，可将小波变换分为连续小波变换﹑半离散小波变换和离散小波变换。3.3多分辨分析前面我们从连续小波引入了离散小波，现在我们从多分辨分析的角度对小波进行分析。多分辨分析又称多就度分析，是发建立在函数空间概念上的理论，但其思想的形成来源于工程，其创作者Ｓ.Mallat在研究图像处理问题时建立了这套理论。3.4小波包变换的工程解释及其直观解释工程解释：在很多问题上，我们只是对某些特定的时间段（点）或频率段（点）的信号感兴趣，只需要提取变些特定时间及频率点上的信息而已。而正交小波变换所遵循的规律不能满足这种要求，其主要原因是因为正交小波变换的多分辨率分解只将（尺度）空间进行了分解。直观解释：短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。多分辨率分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变化的，因此在高频频段其频率分辨率相对较差，而在低频频段时间分辨率相对较差，即它是对信号的频率进行指数等间隔划分的（具有等Q结构）。小波包分析（waveletpacketanalysis）能够为信号提供一种更加精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，它能对多分辨率没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应的选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时－频分辨率，因此小波包分析也具有更广泛的应用价值。3.5小波理论的新进展一﹑多小波分析（Mutiwaveletanlysis）多小波分析用多个尺度函数和多个小波来表示信号。目前，多小波理论引起了人们的广泛注意和研究，它代表着当前小波理论发展的一个重要方向，并且最近两年取得了很大的进展，原因在于它具有如下性质：①短支撑；②正交性；③对称性；④具有较高阶的消失矩。这些性质是前面任何双带实值的单小波所不可能同时具有的，而这些性质在应用中是人们所期望的．除此之外，多小波比标量小波有更大自由，自由容易按照所需性质定制所有的这些优点将会使多小波有更广阔的前景。二、提升框架理论来讲，小波变换是一种无损变换，但所有的计算机都只能进出行有限精度的计算，故即使我们采用浮点计算，实际变换中也不可能避免会损失部分信息，而上世纪90年代提升框架的提出很好的解决了这一点，提升框架具有如下优点：①多分辨性；②在位计算；③反变换容易实现；④通俗易懂；⑤兼容性。3．6小波分析与常见分析方法比较小波变换属于时频分析的一种，而在它出现之前就已经有很多时频分析的方法，是什么原因使它的应用越来越广泛呢？通过比较我们可以发现：和傅立叶变换相比，它可以进行时频分析；和短时傅立叶变换相比，它的分析窗口可以变化；和其他的时频分析相比，它算法简单，应用起来灵活方便。3．7适合齿轮振动信号分析的小波母函数的选择小波母函数有很多种，只要能满足（3.5）所谓容许性条件的函数都可以成为小波母函数．小波母函数的多种多样丰富了小波分析的灵活性，但同时也出现一个问题：针对不同的待分析信号，如何选择或者构造小波母函数？在2.4节中，我们已经得出结论，齿轮振动信号要求小波母函数能进行良好的时频分析和多分辨率分析．这实际上要求小波母函数有良好的局部分析特性，因此，为了达到这一目的，合适的小波母函数应当满足以下性能指标：时频窗口要小，而且时频中心最好在零位。在时域和频域中最好在一域中有紧支撑，而在另一域中为快速衰减的。要有很高的消失距。最好还有很好的正交性、对称性和高阶的连续导数。常见的小波母函数为Harr小波、Meyer小波、Mexicanhat小波、Littlewood-paley小波、Coifman小波、Daubechies小波。综合比较而言，Daubechies小波、Meyer小波、Coifman小波是比较合适的，但考虑到运算的难易程度后，本文基本上采用dbN系列和Meyer小波进行信号的分析。且经过实例分析检验，发现当N＝6时，分析信号的性能最好，如果继续增大N，性能提高并不明显。因此本文多数情况下都采用db6作为齿轮振动信号的小波母函数。3.8本章小节本章重点研究了小波理论基础，并侧重揭示了其工程意义和应用背景。小波分析包括连续小波变换、半离散小波变换、离散小波变换、多尺度分析和在此基础上发展起来的小波包变换。它们都可以对非平稳信号进行有效的时频分析，且都有明确的工程意义。此外，还介绍了小波变换的新进展，以提高对小波分析的新认识。并比较了小波分析同傅立叶变换、短时傅立叶变换的区别和联系及各自的优缺点。最后，提出了几种常见的小波母函数，并说明在综合考虑多种因素的情况下，针对待分析齿轮振动信号的特点，一般选择db6和Meyer小波来分析。本章内容为小波变换在齿轮振动信号中的应用提供了理论基础。

第四章小波变换在齿轮振动信号分析中的应用小波分析具有良好的时频局部化分析能力，可以对信号进行多尺度分析．对于齿轮振动信号分析处理，主要是提取信号中的奇异性特征，以分析齿轮传动的情况。这包括：应用小波变换进行齿轮振动信号特征提取、齿轮振动信号的奇异点监测、提取信号中某一频率区间的信号、进行信号中某一频率区间的抑制或衰减、预测信号的发展趋势、应用小波变换进行虑波与降噪等等。下面通过对实际齿轮振动信号的分析来说明小波变换在齿轮振动信号分析处理中的应用。4．1提取频率时变信号中的特征齿轮传动在启停或发生故障时，其振动信号表现为频率不稳定，随时间变化，如果应用傅立叶变换将得不到或得到错误的结果，而如果应用小波变换就能得到比较好的分析效果。但采用小波变换进行时-频分析时，在时-频图上的显示结果却由于信号太复杂而不易于获得好的分析结果。而如果要得到信号的特征信息，也不需要分析所有尺度下的小波变换。因此，我们常用的方法是只将信号在某些特殊尺度下展开，然后再分析，这相对而言是一种简单有效的分析方法。4．2提取信号奇异性部分特征奇异性信号是指信号本身或它的某阶导数在某一时刻存在突变的信号，该突变点被称为奇异点。在许多实际应用中信号的奇异性是值得注意的信号局部范围的特征。与稳定信号相比，奇异性信号往往携带了更多的重要信息，它是信号的重要特征之一。在机械故障诊断中，信号的突变点往往反映了由故障引起的撞击、振荡、转速的突变或结构的变形和断裂。因此对奇异性信号的监测具有特别重要的意义。奇异性检测就是将信号中的奇异点识别出来并判断其奇异性程度。长期以来，傅立叶变换是研究函数奇异性的主要工具，其主要是通过研究函数在傅立叶变换域的衰减以推断函数是否具有奇异性及奇异性的大小，或是通过对照正常信号和含奇异信号的频率谱来检测信号的奇异性。由于傅立叶变换缺乏空间局限性，它时对信号整个时域内的积分，因此它不含有任何时域内的信息，它只能确定一个函数奇异性的整体性质，难以确定奇异点在空间的位置及分布情况。相比之下，小波变换具有良好的空间局部化性质，因此。利用小波变换来分析信号的奇异性、奇异性的位置、奇异性的大小是比较有效的。通常情况下，信号的奇异性可分为两种：一种是信号在某一时刻内，其幅值发生突变而引起信号的非连续，幅值的突变处是第一种类型的间断点；另一种是信号外观上很光滑，幅值没有突变，但是信号的一阶导数（微分）有突变点，即不连续处，称为第二类型间断点。通常，我们用李普西兹指数（Lipschitz）来描述函数的局部奇异性。4．2．1信号分析应用1应用小波变换确定信号突变点发生的时刻图4-1为原始信号S,信号由两个正弦波组成。图4-2是信号S经过傅立叶变换后仅得到整个频域的频率分布，不含有任何时域的信息，它无法判断频率发生变化的位置。图4-3和图4-4是经过db1两层分解得到的，由小波分解得到的高频部分D1、D2将信号的不连续点显示的相当明显，因为信号的断裂部分包含的是高频部分。这里需要说明的是，我们只想辨别出信号的不连续点及信号频率在什么时候发生突变，因此我们选用db1小波和db5小波效果最好，且小波分解的层数只需2层即可。而且从小波分解的细节部分我们可以清楚的看到在t≈500左右时信号的频率发生了突变。这个例子有力的说明了小波分析比传统的傅立叶变换有更大的优越性。这种含有频率突变信号用傅立叶变换，在频域中是无法检测出信号在时域中的突变点的，而在小波分析中，这种突变点的特征就表现的相当明显。应用2用小波分析方法检测信号发生故障的时间区间如图4-6所示，原始信号S为某频率时变信号。在某一时刻，突然叠加一个高频信号，经过一段时间后又恢复正常，要求监测高频开始的时刻﹑系统恢复的时刻及其频谱分布。这种情况有点类似于齿轮箱启动时的故障，比如碰磨故障。由于此时信号非同期，用FFT已经无法表示，即使用FFT表示出来意义也不大。而用小波分析，可准确的提取其故障信号特征。从图4-8﹑4-9小波的第一层和第二层分解的细节部分就可以清晰的看到高频信号出现的时刻（约在t＝500左右）﹑系统恢复正常的时刻（约在t＝1000左右）。应用3用小波分析方法监测微弱幅值变化的信号原始信号S如图4-12所示。信号在某一时刻振幅突然增加（幅值的突然增加在很多时候往往代表故障发生的开始），因此监测幅值变化点的位置在判断信号的故障诊断或奇异性检测中有很重要的意义。但如果幅值增加很微弱，不容易直观看出，即故障发生和确切位置并不能从原始信号S中直接得到。在将信号经过三级db1小波分解，从图4-14﹑图4-15中小波分解的第一层D1﹑第二层细节分解D2中可以成功的确定该奇异点（导数不连续）的位置：约在t=320和t=600处左右。而且其第一层小波分解细节部分将信号的奇异点显示的相当明显。由此可以看出，利用小波变换来检测信号中不连续点的定位非常精确。且一般而言，利用小波分解的第一层和第二层细节部分就可以实现对信号的不连续点的判断。应用4对实际的齿轮振动信号进行分析这一应用所分析的实际齿轮振动信号是在西北工业大学机电工程学院中心实验室齿轮动态性能实验台上采集的数据。该实验参数如下：转速：500r/min负载：0N阻尼：0刚度：压紧状态间隙：0.02mm采样频率：5120Hz电压范围：－5至＋5V测试对象：小齿轮的振动加速度以下是利用小波变换对该信号进行分解的结果：图4-16为实际齿轮振动信号，图4-17为齿轮振动信号及其FFT变换。图4-18到图4-23分别为该信号利用db5小波分析的第一层到第六层的小波分解到细节部分；图4-24为该信号的第六层小波分解粗略部分。从该信号的小波分解的第一﹑二层小波分解的细节部分D1和D2部分可以明显看出该信号随时间其频率的变换规律﹑及其各频率变化的开始及结束时刻和各频率段其幅值是否有相应变化，从图上均可对齿轮实现动态监测：这是利用FFT变换无法做到的。而结合该信号的第三、四、五、六层小波分解的细节部分D3、D4、D5、D6和第六层小波分解的粗略部分A6，我们又可清晰的观察信号的局部信号逐渐放大的特征。这正体现了小波变换在信号处理上的“显微镜”优势。由于当前分析的信号是在齿轮正常传动过程中采集的，图中看出，其振动信号显得有点“杂乱”，这主要是来自于齿轮系统本身的复杂性和噪声干扰，前面我们重点探讨了如何检测信号中的奇异性大小。而在实际信号中，有用信号绝大多数是低频信号，在小波分析中，它对应于小波分解中的粗略部分。因此下面我们重点对上面分析所得到的小波分解的第六层的细节部分A6再进行小波分析。图4-25表示A6的微分图；图4-26、图4-27分别表示细节部分A6的第一、二层小波分解细节部分D1A6和D2A6。显然，这更明显的反映出了原信号中的低频信号弹A6随时间其频率的变换规律。而A6的小波分解的粗略部分A2A6（图4-28）基本上已经跟A6的形状相差无几。这也说明，在利用小波多尺度分析来处理信号时，小波分解的层数太多了也不具有太大意义。在分析A6时，采用的为db1小波。4.3提取信号中某一频率区间的信号在傅立叶分析中，我们可以对信号进行FFT频谱分析。事实上我们利用小波分析也能实现对信号的频谱划分并根据需要提取我们所需频率更详细的特征。如图4-29所示，原始信号S为实验所采集到的振动信号，实验参数同前（4.2.2应用4）;a1~a5分别为利用db3小波进行小波分解的第层到第五层的粗略部分、d1~d5分别为第一层到第五层小波分解的细节部分。在显示的分解结果中，可以看到，低频的第五层a5将原齿轮在振动信号的最低频率清晰的分离出来了。在小波分解中，若将信号的最高频率成分看作是1，则各层小波分解便是带通或低通滤波器，且各层所占的具体频带为：由信号频率的组成部分及小波分解下各层频率的分布可知，高频部分定位于d1层，实际上上亦如此。而中间层频率部分，比如a3层的信号，我们则需要结合a4、d4来看，因为这部分信号是由它们共同表达的，a4层有一部分信号被a3层减去了。而在得知信号的频率区间大概分布之后，我们还可以对其中任意一部分进行放大观察以取得更细微的特征。例如我们对高频部分d1进行放大，如图4-30所示。4．4进行信号中某一频率区间的抑制或衰减应用小波分析对信号某一频率区间进行抑制或衰减是小波分析实际应用中的一个重要方面。抑制信号中某些成分的一种方法是用K次多项式对信号进行逼近；另一种方法是将小波是将小波分解系数中的某些系数C（a，b）强制性的等于零，再利用修改后的小波分解系数对信号进行重构，从而达到对信号某一频率区间抑制或衰减的效果。4．5预测信号的发展趋势信号中低频部分代表着信号的发展趋势，而在小波分析中，则对应着最大尺度下小波变换的低频系数。随着尺度的增加，时间分辨率的降低，对信号的这种发展趋势会表现的更明显。同样也可以这样理解，尺度分解中的低频部分随着层次的增加，它含的的高频部分会随之减少。当分解到下一层次时，就有更多高频率的信息被去除，则对于最大尺度下的低频部分就是信号的发展趋势。4．6检测信号的自相似直观上来说，小波分解可通过计算信号和小波之间的“自相似指数”来得到。如果自相似指数很大，则信号的自相似程度就很大，反之则很小。这种指数就是小波系数。如果一个信号在一个尺度上都与它自己相似，则“自相似指数”或小波系数也在不同程度上很相似。4．7

小波降噪与分析下面我们来研究对实际齿轮振动信号进行消噪滤波分析。如图所示4-31为原始齿轮振动信号，图4-32~图4-36分别为利用FFT变换和db1小波三层分解强制消噪、默认阀值消噪等各种方法的效果。由分析结果可知，对于本文所分析物实际齿轮振动信号而言，采用小波分析默认阀值方法消噪（图4-36）效果最好。强制消噪方法（图4-33）处理后的信号较为光滑，但它极有可能失去信号的有用成分。而默认阀值和给定阀值在消噪处理中更具有实际应用意义。4．8本章小节本文通过实例分析，说明小波变换在齿轮振动信号分析中的主要应用．文中首先从提取频率时变信号的特征入手，分析为何要对齿轮振动信号采用小波分析而不是傅立叶分析或时－频图分析以及应用小波理论来分析齿轮振动信号的意义．信号奇异部分监测、信号降噪与滤波等是齿轮振动信号分析中经常用到的，利用小波分析可以得到有效解决。且通过实例分析结果还可以说明小波变换在分析非平稳信号时的独到优点。此外，针对齿轮振动信号本身的特点，本章还介绍了提取信号中某一频率区间的信号、对信号中某频率区间信号、对信号中某些频率区间的信号进行抑制或衰减、预测信号的发展趋势、分析信号的自相似等内容，为今后齿轮振动信号分析研究提供有效的分析手段。

第五章结论及建议本文在理论和实践上比较系统的研究了小波分析在齿轮振动信号分析中的应用。重点研究了齿轮振动机理、小波变换理论的工程意义，从而揭示出小波变换应用于齿轮振动信号分析中的理论基础。在研究过程中，通过对从实验台采集到的实际齿轮振动信号进行分析来验证理论，收到了良好的效果。具体的，本文主要完成了以下几个任务：⑴通过对齿轮振动理论的全面分析与研究，得出结论：对齿轮振动信号灯进行有效的时频分析是分