初等数学研究程晓亮刘影课后习题答案

初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案

第一章数

1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩

大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构

造虚数单位，满足/=-1,和有序实数对（4,6）一起组成一个复数4+次.

2（略）

3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：

为了保证在自然数集中除法的封闭性，像依的方程有解，这样，正分数就应

运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.

公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，

自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.

为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整

的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.

直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建

了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.

虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数

学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.

4证明：设集合两两没有公共元素分别是非空有限集A,民的基

数，根据定义，若a>b,则存在非空有限集A,使得若cNd从而必存

在非空有限集C'，使得C=）C~O,所以（ADC）z）（B7D）所以集合AuC的基数

〃+c大于集合的基数b+d,所以a++

5（1）解：按照自然数序数理论加法定义，

（2）解：按照自然数序数理论乘法定义

6证明：1。当〃=2时，命题成立.（反证法）

22

2。假设〃=&时（R22）成立，即q>0/=1,2,…次，+a2+--+ak=L+a2+---+ak>—o

当〃=A+1时，由《>0,i=l,2,…，左+1，且％+々+•,•+4+4+i=l

得,一^+―^+…+―^-=1,且，^）0

1一4+11一4+i1一外+i1一4+1

/\2/、2/、2

由归纳假设，4—^++…+二二］之上

I-4+JU-4+J11-矶Jk

.二+4+…+4+；>（J_）+1）+%/

k

要证（1-“十小白,即卜+1）（1—效+J+M左+1比/?太

KK+1

n（无+1儿/-2伏+1£I+1之0

7证明：1。当〃=8时，命题成立.（8=3+5）

2。设〃=仪2>7/£N）时命题成立.

2角邮资可能是：（1）完全用3角的邮票来支付；（2）至少用一张5角的邮票

来支付.

在（1）下，3角的邮票至少有3张.把它们换成两张5角的邮票便可支付k+1角

的邮票.

在（2）下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付攵+1角的邮票.

综合1。、2°,命题对于不小于8的所有自然数成立.

8证明：（1）/（2）=1,/（3）=3=1+2,/（4）=6=1+2+3

（2）/（〃）=1+2+…+（〃-1）=5〃-1）

当〃=2,3,4时，命题成立.

2。假设〃=上伏>7/£'）时命题成立，即/（%）=3Kz—1）.那么”=左+1时，原攵条直

线有‘2伏-1）个交点.由条件知，第Z+1条直线与原Z条直线各有一个交点，且互不

2

相同.故新增4个交点，所以/（4+1）=/仕）+力=3亿+1）［（火+

综合1。、2°,命题对于不小于2的所有自然数成立.

9举例：正整数集N上定义的整除关系，”满足半序关系.

证明：（1）（自反性）任意的正整数x,总有x|x;

（2）（反对称性）如果x|y,y|x,那么x=y;

（3）（传递性）如果“|y,y|z,那么x|z.

通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证.

1D证明：设MqN,且

①leW

②若a£M,则4£M.

若M*N.

令A是所有不属于M的自然数组成的集合，则4是N的非空子集，按照最小数原

理，A中有最小数，设为人由①知6工1,于是存在自然数c,使c=。，这样就有

c＜b,所以但根据②有ceM,这与Z?任M矛盾.所以M=N.

11证明：(1)根据自然数减法定义有，a=b+(a—b),d+(c—d)=c,两式相加得：

a+d+(c—d)=h+(a-b)+cf于是(〃+d)+(c-d)=(b+c)+(a-b),

若a-b=c-d,贝!ja+d=b+c

若a+d=/?+c,贝iJa-Z?=c-d

(2)(a-b)+(c-d)-^-(b+d)=b+(a-b)+d+(c-d)=a+c

(3)先证(a-b)c=ac-3c

事实上,ibc+(a—b)c=[b+(a-b)]c=ac

可知要证明的自然数乘法对减法的分配律成立.

由此,为了证明(3),只要证明a(c-d)-b(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc),

根据(1)_ba(c-d)+(ad+be)=b(c-d)+(ac+bd)

于是只要证明ac+bc=bc+ae

显然，这个等式是成立的，所以(3)成立.

12证明：⑴根据自然数除法定义有a=〃.f,d.5=c,两式相乘，得ad：=bc；,

badb

所以有：若ad=be,则色=£；若@=£,则ad=be

bdbd

(2)bd(^+-)=d(b--)+b(d=ad+be,根据除法定义，(2)成立.

(3)取(幺£)=俗・凹)("£)=〃c,根据除法定义，(3)成立.

bdbd

13证明：(加+〃)=(〃+ni)=n+m-tn+n.

14证明：设Va,bwN,下，下面证明。=》,々＞/?,。＜6三种关系有且仅有一个成立.

(1)先证明三个关系中至多有一个成立.

假若它们中至少有两个成立，若令同时成立，则存在出wN*,使得：

a=b-\-k=a+k

于是"〃，与。=〃矛盾•

同理可证，任意两种关系均不能同时成立.

(2)再证明三中关系中至少有一个成立.

取定。，设M是使三个关系中至少有一个成立的所有6的集合，当〃=1时，若

«=1»则a=Z?成立；若〃工1,则存在ZwN*,使得a=女=1一4=/?+%,这时

成立.因此IwM.

假若bwM,即三个关系中至少有一个成立.

当avb时，存在机wN",使得Z?=a+m,则方=(。+加)=。+加，即〃vZ?成

立.

当人时，存在ksN"使得a=b+-若k=l,就有a=b+l=5；

若kwl,就有IwN*,且左=/',使得a=Z?+/'=b+/+l=b+/,即成立.

综上，5wM,从而M=N”.

15证明：n=n(ax+by)=nax+nby,

•:a|n,ab\bn,：.ab\bny,*:b\〃,/.ab\an,ab\anx

16证明：因为。〃+cd-(ad+be)=(b-d)(a-c),

且a-c\ab+cd,a-c\(b-d)(a-c),所以a-c\ab+cd-(b-d)(a-c),即

a-c\ad+bc

17证明：因为pP_l=(p-l)(pPT+pi+…+〃+l),而有限个奇数的乘积仍是奇

数，奇数个奇数的和也是奇数，因而pX+pZ+…+〃+1是奇数，

于是pP—l=(p—l)(2s+l),s£Z,同理有/+1=(4+1)(2，+1),，EZ,

两式相加:=2(〃一l)(s+r+l)=(p+q)(s+r+D,所以p+q|(pP+夕夕).

18解：因为3P+5q=31,所以3P和5g必为一奇一偶.

若3P为偶数，可验证质数〃=2闯=5,则logzd-=bg2—--=log,-=-3

3q+1~3x5+1~8

若5q为偶数,可验证质数〃=7应=2,则log,P=log,——-——=0

~3q+13x2+1

所以log.—^一=一3或0.

3^+1

19证明：根据减法是加法的逆运算知，设〃力是有理数，力是这样一个数，它与b

的和等于a.E|J(a-b)+b=a.但是，我们有

[〃+(—力]+b=。+[(—切+勿(力口法结合律)

因此，〃+(-6)这个确定的有理数，它与〃的和等于a,

又如果差为x,则有x+A=a,于是，两边同加(-力有：

即差只能是。+(-力，定理得证.

/品*2a+bb-a八2a+b.2(a-b)八

2D证明：做差，------a=------>0,-----------b=--------<0.

3333

2a+h,

所以有。:-----<b

3

21证明：首先证明国工》当且仅当一

???事实上，若当xNO时，x=\^<yS.x>-y>即一;当1<0时，

-l=N«y，有一且x<04y，故一yKxKy•反之，^-y<x<yt当XNO时，

|目=工"丁；当工<0时，y>-x=|x|.

???下面来证明：同一回4°+4引4+瓦

事实上，对于。力显然有：

????故有一刎+忖)4a+bW4+|斗

???由上面的讨论知"a+母引4+丹.

???另一方面，同=|a+Z?_.〈,+4+]—.=,+母+%

???故同_|耳«卜+目4|4+网.

22证明：(反证法)设6=匕其中〃国是正整数,不妨假定24互素，

q

取自然数〃"，用成乘下列级数表达式两边：6=1+"99……，得:

11

令an=〃!+〃!+〃(九一1)…3+…+1,bn=-------F-----------------+•••

n+l(〃+1)(〃+2)

于是〃!e=a"+bny则Me应为正整数,”应为整数.

但是

八，1八11、,1八11、n+22

0<Z?„=------(1+-------+---------------------)<------(1+-------+------------)=--------r<------

n+ln+2(〃+2)(〃+3)n+ln+2(/?+2)~(n+1)~n+\

因为〃>1,故0<a<1,即切不可能是整数,产生矛盾,所以e是无理数.

23证明：假设加=£,（p,4）=1,夕工1

q

两边〃次方得。=乙，

q"

但是（PM）=L所以（P"M"）=I"",所以。不是整数，这与已知条件矛盾,

所以后是无理数.

24证明：假设log”Z,gwN,

q

所以因为（。㈤=1,所以

但是当时，上式明显不成立；当〃>0时，上式与矛盾.所以，log,涉

不是有理数，又可以证明log,*是实数，所以log,*是无理数.

25证明：假设方程有有理数根x=£,（p,<7）=l,夕>1,将工=£其代入方程，可得：

qq

p"=—q（/pZ”2P〃-2q+…由此可知4的任何素数因子/必可整除p”，因

此r必可整除〃，从而知r为p与q的公因子，但是（p,q）=l,所以/*=1,所以

q=l,这与q>l矛盾.所以整系数代数方程炉+a，T+…+/=0的任何非整实根均

为无理数.

26按照字典排序法，先比较实部，再比较虚部.

27证明：将三次本原单位根；v=/或〃分别代入/(%)：

因此，/。)含有因式(工一0),(%-02),而(X-口>*一0?)=，+工+1=0

所以，+X+1)"")

28证明(反证法)：若乃与3.8的和是有理数a,即江+3.8=。，则〃一3.8=万.

因为全体有理数称为一个域，对减法运算封闭，所以差。-3.8仍是有理数，与乃是无

理数矛盾，所以万与3.8的和是无理数.

29两个无理数的商可能是有理数.例如：也是无理数，易证2亚也是无理数，

毕=2wZ

3D不能，因为无理数对四则运算不封闭.例如正-皿=0.

31解：由于z4=(x+yi)4=(x2-y2+2”)2=Q2-y2)2-4X2y2-4(「2-y2)孙j

所以z,是纯虚数的条件是(X2->2)2-4X2/=0,4*2—y2四*o

即x二(±1士V2)y,yw0

32证明：设G是C的任一子域，C】nR,且在G中方程Z2=-1有解Z=/.

按照题意，要证明G•因为aqc，所以只需要证明anc.

由/cG，Ge。，知jec,依c的四则运算律，有

于是，i=，或，=一，.任取切正。，由G=X+yi,(x,y£R),

知3=X+)初或3=X一切

又由于x,y,/eC],而G是域，于是口£。]，因此G3C.

第二章习题及答案

I.设x>0,证明「一vln(l+x)<工

i+x

证明取/(x)=ln(l+x).在(0,x)上有导数f(x)=」一.利用微分中值定理

1+x

〃(八_f(x)-/(0)_ln(l+x)-ln(l+0)_1丫

J(C)-z一z一;工,0vJv%.

x-0x-01+J

Y11x

即ln(l+x)=——.又因ln(l+x)=——<——<1,因此有——<ln(l+x)<x

1+41+xl+g1+X

2

2.若x,y,z均为实数，且x+y+z=a(a>0),f+y2+z求

222

证5a,04z<—

2

证明由f+y2+(々一%一丁)2=；/有%2+(y-«)x+(y一少+J/)=().其判别式

17

A=(y-a)2-4(y?—缈+—/)之0(因xwR).从而,3共一2缈而0即04y<—a.

43

22

同理可证0<x41a,()〈z(3a

3.设Z?,c表示一个三角形三边的长,求证:a20+c-a)+Z?2(c4-a-b)+c2(tz+Z?-c)<3ctbc.

证明不失一般性，设aNbNc,令a=c+m,b=c+则m之〃之0.有

3abc-a2(b+c-a)-b2(c+a-b)-c2(a+b-c)

=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)=(c+m)(m-n)m+(c+n)n(n-m)+cmn

=(〃2-n)[c(in-n)+(tri1-H2)]+cmn>0.

2

4.设匹y£R,且炉+9.求证:卜2+2xy-y|<72.

证明设炉+y2=抗则由题设可知,网工1,并可设x=Acos^x=2sin0.于是

x2+2xy-y2=22(cos2。+2cosOsin。-sin20)

=A2(cos20+sin2。)=分0sin(6+—).

4

5.已知同V1J4<1,求证/土2<1.

证明欲证幺土与<1成立，只需("幺)2<1,即证(a+b)2<(1+ab)2.

\+ab1+ab

则只需(1+")2—(a+b)2>0,也就是1+a2b2-a2-b2>0,即证(1-a2)(1一从)>0.而

[4<1,例<1,所以(1一〃2)(i一从)>0成立.命题得证.

6.若治=1(勾>0),求fl(a^-)>(n+-)n.

Hi=}4n

证明Cl.H---Cl.H--z---1--z--F...H---—2(〃—+l)n2-i|---;---：—,

22

%na,naxn\(户戏一

”2项

人---=O,+——+-2----------1+——>（n~+l）/r+lJ—5--------二,.......

414—2/%V〃-“々2

以上诸式，当且仅当％=2a=1,2...,〃)是等号成立.诸式两端相乘得

n

（q+_）（生+—）•••（《,+—）-（〃2+1）”/12J2,

a2anY/（q生可）…

由已知2q=1可得

1=1

招+，&+白-。为力，即

rT（Or+l）>（/1+l）\

等号当且仅当a}=a2=...=alt=—时成立.

n

7.证明:函数f（x）=f-d+%2-x+i>0

证明(1)当XG(-00,0)时，显然/(A)>0；

(2)当X£(0,1)时,f(x)=f+X2(1―/)+(1_幻>0；

(3)X£[l,+00)时,/(%)=/(i3-1)+冗(工-1)+1>0.

综合(1),(2),(3)可知，可知/(X)恒正.

8.证明若4Nl(i=1,2,.../),则2"T(44・“”+1"(1+4)(1+々2)"1+4)

证明用数学归纳法证明如下：

当〃=1时，命题显然成立；

假设命题对n成立，我们来证明它对n+1也成立，注意到勾>1(/=1,2,...,〃).

故命题对〃+1成立.

9.设q>1(/=1,2,求证n(l+4)N---(1+a+a2+...+凡).

哥”+1

证明

仃(1+%)=2〃仃(1+9)之2”(1+才彳)之2”(1+名叫)

VV2£2+1

Inn

=2"•--[(»+1+z(q—1)]—?(l+E《).

w+i仁〃+i

10.设X+y+Z=O,求证：6(x3+y3+z3)M(x2+y2+z2)3.

证明显然X=),=Z=0是平凡情形.假定x,y,z不全为零,不妨设x〉0,y<0.由z=-。+y),得

A3+y3+z3=3xyz.记

7=6(x3+y3+z3)2=54x2/z2=216^.^l.z2<2162_2_^=(2z2+2|xy|)3.

k7

再注意到x2+9=(x+y)2-2科=z2+2网，因而2z?+2|AY|=x2+y2+Z2,这就是所要证

的不等式.

11.已知兄b为小于1的正数，求

证:J。?+/2+J(1—+b2+J.2十(]—b，+J(1-q)~+(1-b)”>2>/2.

证明设Z[=a+bi,z2=(l-«)+Z?z,z3=a+(l-b)i,z4=(1-a)+(1-/?)/,则

222222

|^|=\/a+b,|z2|=y](\-a)+b,|z3|=^/(1-a)+b,

卜41=+(]一份2+J(l-4)2+(]一与2

pqrqrprpq

12.设wR+,求证:a"+b"+c"2abc+abc+abcy其中ne,N,〃，4,r,且

p+q+r=n.

证明"Wc，=\an...an-bn..bn-<〃〃"+"十%”,

「n

同理“作cP«丝上"匹二/…+

nn

三式相加，即得an+bn+cn>Mb%，4-aqbrcp+arbpcq.

13.设a,b,cwR*,求证:+//+/>crb+b2c-\-c2a.

证明该不等式关于a,〃,c对称,不妨设则由左式一右式

=a2(a-b)+b2(b-c)+c2(c-a')=a2(a-b)+b2(b-c)+c2(c-b+b-a)

=(a2-c2)(a-b)+(b2-c2)(Z>-c)>0.

故。3+〃+「3>a2b+b2c+cra.

14.已知〃>b>0,求证标一妍<Na-b.

证欲证\/a-i/b<N"b,由于。>6>0,所以-yfb>0,ija-b>0,只要证

。-3#商+3温7—bva—b,即要证商，由于1拓>0,只要证蛎〈布，由于

〃>力>0,此不等式显然成立.

15.若〃£R且刨<2,不等式(logzx)?+plog2x+l>21og2x+夕恒成立,求实数x的取值范

围.

解令log2x=a,将不等式转化为:一l)p+-2〃+1>0,令/(p)=(〃-1)〃+/—2。+1,则

f(p)>0,2(。—1)+/—2a+1>0,

/(〃)>0恒成立,等价于:《八”=>i2

1/(-2)>0.一2(〃-l)+a*-2d+1>0.

解不等式组得:a>3或。<一1=>%>8或0V

2

16.设e是自然对数的底，〃是圆周率，求证犬>〃二

证明因为叱一止=皿|：=「扉皿］=『中此又当1£(仇万)时，匕学<0,所

7TeX'Js\XJJex~X

r71-Inx.ce.IneIn^-］一”.

以|---z—dx<0.因此,--->----.从而有C>7C.

Jexe7C

4A2

17.当X为何值时,不等式----J——V2*+9成立？

(1-V1+2X)72

解先将不等式分母有理化，有

——Y——产。+加2，?=_=(i+Ji+2.)2=2+2x+2jl+2-

(1-Vl+2x)2(1-V1+2x)(1+/+2%)

l+2x>0<=>x>--

2

因此原不等式同解于不等式组《1-J1+2XWO=NO解得

45

2+2x+2jl+2x<2x+9<=>x<

T

--<x<—Kx^O.

28

145

即原不等式的解集为《x——<x<O^U^O<x<—

2I8

19.已知。>0且。=1,解关于x的不等式log”(1--)>1.

x

解原不等式=loga(l-i)>log,a.

x

]一l>0,]x------]

(1)当〃>1时，原不等式。彳'。1一一——上工<00------<x<0.

.1xx\-a

1

(2)当Ovavl时，原不等式u>《<=>1<%<

\-a

x

20.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙产品都需要在

A,B两种设备上加工，在每台A,B上加工一件甲所需工时分别为1时、2时，加工一件乙所需工时分

别为2时、1时，A,B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.如何安排生产可使收入最大？

解这个问题的数学模型是二元线性规划.

^+2y<400,

2x+y<500,°

设甲、乙两种产品的产量分别为苞y件,约束条件是、八，目标函数是f=3x+2y.

x>0,

”0.

要求出适当的x,y,使/=3x+2y取得最大值.

例3图(该图来至高中数学课程标准需重做)

先要画出可行域，如图。考虑=是参数，将它变形为"-三+会这是斜率为

-1，随。变化的一族直线。晟是直线在y轴上截距，当•!•最大时。最大，当然直线要与可行域相

交，即在满足约束条件时目标函数取得最大值.在这个问题中，使3x+2y取得最大值的（x,y）是两直

级2x+y=500与x+2y=400的交点（200,100）.

因此，甲、乙两种产品的每月产时不时分别为200、100件时，可得最大收入800千元.

21.〃个机器人在一条流水线上工作，加工后需送检验台，检验合格后再送下一道工序.问检验台设置

在流水线上什么位置时，才能使机器人送验时,才能使机器人所走距离之和最短?也即耗时最少？

解不妨设〃个机器人位于同一条数轴上，每个机器人所在的位置（点）的坐标为毛«二1,2,检验

台所在之点的坐标为的坐标为x,那么机器人送验所走的距离之和为

5（%）=|%—%|+|%—七|+1一室|+...+|%—%|（工为实数）,5（工）何时最小？

为了探索问题的内在规律，不妨从简单的情形开始考虑.

当n=2时，检验台放在这二个机器人之间的任何位置都一样.

〃=3时,检验台放在第二个机器人所在点时最小.

通过上述试验，当〃为奇数时，检验台应放在正中间的机器人所在的地点;当〃为偶数时，检验台应放

在最中间两个机器人之间任何位置.

22.已知函数f（x）=ox3-3x+1对于xe总有f（x）N0成立,求实数a的值.

解显然当aK()时不成立，故a>0.f(x)=3以2—3,令/'5)=0,解得x=±上.当x=3

\Jay/a

a<4,

时,/*）取得极小值.xw总有/（x）>0成立等价于，1即从而a=4.

a>4.

23.已知f(x)=lg(x+l),g(x)=21g(2x+f)(，wR是实数).

(1)当，=一1时，解不等式/(%)<g(x);

⑵如果xe[0,1],/(x)<g(x)恒成立，求参数t的取值范围.

x+1>0,1

x>-,.•.工之』.所以原不

解（1）原不等式等价于2x+/>0,即《2则・

4

x+l<(2x-l)2.4X2-5X>0.x<0^lr>-.

4

等式的解集为

4

x+1>0,x+1>0,

(2)xe[0,1]时,f(%)<g(x)恒成立，即xw[0,1]时，有<2x-l>0,即<t>-2x,恒

x+1<(2x+ry.t之-2.x+Jx+1.

成立，故XG[0,1]时,，>-2X+VX+1恒成立.

于是问题转化成求函数y=-2x+>/m,xe[0,1]的最大值.

令〃=则x=则》=一2工+7^71=一2(〃一,)2+?在[1,&]上是

48

减函数.

故当〃=1,即％=0时,-2x+Vx+1有最大值.「J的取值范围是[1,+8].

24.某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（x£N',80WxW100,单位：件）之间

的关系如下表所示:

E产量808182・・・9899100

X

次品率

P

其中p（x）=—（n为常数）.已知一件正品盈利2元,生产一件次品损失5元（k为不定常数）.

n-x3

（1）求出〃，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；

（2）为获取最大盈利，该厂日生产量应定为多少？

解⑴根据列表数据，可得〃=108…p（x）=一!一（80WxW100,xeN*）.由题意，当日生产量为

108-x

11)x,y=k(\-----——)x--k5---x.整理

x时，次品数为•及正品数为（1-

108—x108-x108-73108-x

得yg(3-4

)x(80<X<100,XG/V*).

108-x

⑵令

i4I144.

108-x=r,xe[8,28],/e7V.?=-.(：(108-/)(3-y)=-k328-3(/+---)

<-^（328-3x2x12）=—Zr.

33

144

当且仅当r二——，即，=12时取得最大盈利.此时x=96.

25.设函数f（X）=皂.（1）求函数f（X）的单调区间;（2）若k>0,求不等式

X

r(x)+k(\-x)/(x)>0的解集.

11r-1

解（1）/（X）的定义域为（YO,0）U（0，+8），r（X）一小e，+上e"•/二e'，令/。)=0,得

xXx~

火=1.・.3V0时,/'")<0,0〈工<1吐/'")<0,工:>1时,/(外)0.

.../(X)的单调增区间是[1,+8),单调减区间是(一8,0),(0/].

⑵由r(x)+k(l-x)f(x)=(1二6+1)•/>0,得(/一1)(一区+1)<0,故当0<%<1时,

X-

解集是<当欠=1时,解集是0;当%>1时,解集是>.

26.设函数f(x)=X卜一同+"Z?为常数且b<2&-3,对于任意xG[0,1],/(%)<0恒成立，求

实数。的取值范围.

解从去绝对值展开讨论.

2f<2<0,

当时,R2一级+〃<0对xe[o,i]恒成立,.•.<

a>1+b.

。之1，(a>t

当。之1时,一/+ar+Z?<0对xw[0,l]恒成立，.一一1«力<2&—3,或，b<-1,

a<2>Pb.[a<\-b.

当0vav1时,d—ar+Z?v0对x€[0,1]恒成立且一d+⑪+6<0对工£[0』]恒成

0<a<1,

0<a<1,n0<a<1,即卜>1+b,

，且〈、

a>\+b.[a+4/?<0.

a2+4/?<0.

a>1,0<61<1,

a<0,

或“人<-1,或<a>1+6,

a>\+b.

a<\-b.a2+4Z?<0.

当人<一1时化简可得1+6<。W0或0或14。<1—6或0<。41,即l+hva<l—

当一iKbV-'时化简可得14402G或。或1+即1+匕VQ<2Q.

4

当一」《be2五一3时化简可得或。或。或。或1+b<〃<2Q,即1+/?<〃<2口.

4

27.设。为实数，函数f(x)=2x2+(%—4)卜一&.(1)若/(0)之1,求。R勺取值范围;(2)求f(x)的

最小值.

解⑴・.・/0)=一4一4之1,一。>0,即。<0.由Yn1知。工一1,因此。的取值范围为(-8,-1].

3(x—^)2+—^―,x>a,

⑵记/1)的最小值为g(〃).我们有/(x)=2^+(x-a)\x-a\=«

(x+。)2-2a2,x<a.

2

①当a20时,/(-〃)=-2a2,:.f(x)>一2a此时g(a)=—cr.

22

②当a<0时,/(一)=§a~.若x>a,则f(x)=3(x——)~H——N3；若x工则

22

x+a<2a<0,f(x)=(x+a)2-2e2>2a2>.此时g(a)=—a2.

-2a2,a>0,

综上得,g(a)=«22

—a,a<0.

13

28.已知函数/(%)=忖一1|+卜一2|,且不等式k+W+|a-4之同/(x)对aR恒成

立，求实数工的取值范围.

解由,,+|〃一闿之\a\f(x)且a/0得♦+［：/一］之/(x)•又因为

*+［+,-4*w+；+:一耳=2，则只要2>/(X).解不等式|x-l|+|x-2|42得gVxV|.

29.已知实数。/,c,d满足々+3+。+1=3,。2+32+3,2+612=5,试求实数4的取值范围.

解由柯西不等式得(2b2+3c2+6J2)(-+-+-)>(Z?+C+6/)2,HP

236

2b2+3c2+6/n(>+。+.由条件可得5-a2>(3-a)2,解得1WaW2,当且仅当

当b=；,c=：,d=：时,=2；当b=l,c=；,d=：时,"min=1•

23o33

故所求实数。的取值范围是［1,2］

30.已知函数/（冗）。£穴）满足下列条件，对任意实数%,七都有

〃*-9）2«（占一工2）［/（芭）一/（为）］，|/（芭）一/（/）|4|5一々|，其中义是大于0的常数，设实数

叫,。,6满足/（〃0）=0和/?=。-4/'（4）.

（1）证明JV1,并且不存在％工%,使得/（%）=0;

（2）证明:S-4）2£（1一%）（々一如）2；

(3)证明:尸S)«(l-；12)/2⑷

证(1)任取用,％2£凡玉工工2，则由“%一々)2《(％一工2)[/(为)-/(3)](1)及

|/(X1)-/(A2)|<|^1-X2|,⑵可知

〃%一/y4(西一占)[/(%))-/(^)]<|^-^||/(与)-/(巧)|4凡一%「，从而/1«1.

假设有d=%,使得/(%)=0,则由⑴式知0<一为fV(4一%)"(%)-/(4)]=0,产

生矛盾.所以不存在％。使得f(b0)=0.

证(2)由b=a—2/(。)，(3)可知

2222

S-a。)？=[^——2/(a)]=(a—a())—2A,(a—a(})f(a)+A,f(a).(4)

由/(a0)=0和⑴式，得(a-%)/(〃)=(4-aQ)[f(a)-f(a0)]>A(a-aQ)\(5)

222

由/(%)=0和⑵式，得f(a)=[f(a)-f(a0)]<(a-a0),(6)将⑸⑹代入(4)式得

2222222

(b-a0)=(a-a0)-2A(a-a0)+A(a-a0)=(l-A)(a-a0).

、工c、息tn-f(b)于(a)-于(b)

证(3)易知a工。时,％4----------------<1,/t<-------------------<L故

a-bAf(a)

A2<<2,1-2<<1-2%1/0)1<(1-22)|/(^)|，当a=b此式也成立，则

f(a)f(a)

f2(b)<(\-A2)f2(a).

第三章习题及答案

1.如果F(x)=工(豆)力(乙)…人(Z)=0,那么方程尸(%)=0的解集等于下列各个方程：

Z(x)=0,&(%)=0,…,fk(x)=0的解集的并集，其中每一个解都属于这k个方程的定义域的交集.

解设F(x)的定义域为的定义域=因为尸(»=/a)人(幻…人⑴,所

以,M=M1n%口…口”内又设/a)=o的交集为A,%e4"a)=o的解集为

B.(i=1,2,...1).因为xeAcM,所以％eAf(C\M2因为尸(再)=0,于是有

J\wf2(/)・・・£(/)=0,这个等式的左端至少有一个因式等于零,这表明X£4U&U…U片.反之

易证与UBU…U线qA.

2.设4<a2V.<,/(^)(-°°^«i][«„»+00)-当A>max=1,2,...,〃时,不等式

nn

的解集为《不AA

Zk-^-l<4i=li=l

——<x<4------r.

»=innnn

证明因f(x)的图象在区间［卬，4卬］。=1,2,...,〃—1)上都是线段,又

A>max/(4)(i=1,2,...,〃),则在区间［《，4.［］上,/(幻的图象是一条射线y=-〃工+工4,工<〃，

且当x-—8时,f(x)f+oo.同理,/㈤在［a*,+8)上是一条射线y=心一Zq，且％