北师版七年级数学上册 第二章 有理数及其运算的知识归纳与题型突破（十五大题型清单）

第二章有理数及其运算的知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图01思维导图0202知识速记知识点1：正数和负数（1）概念正数：大于0的数叫做正数。负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。知识点2：有理数（1）概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。（2）分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（3）应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。（注意不带“+”“—”号）知识点4：相反数（1）概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。（3）多重符号的化简多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）知识点5:绝对值（1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）（2）代数意义一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0（3）代数符号意义：a＞0，|a|=a反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0a=0，|a|=0a＜0，|a|=‐a注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。（4）性质：绝对值是a(a＞0)的数有2个，他们互为相反数。即±a。（5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝01.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（6）比较大小2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。知识点6：加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。⑶一个数同0相加，仍得这个数。知识点7：加法运算定律（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知识点8：减法法则减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b知识点9：乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0。（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。知识点9：乘法运算定律（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。知识点10：倒数（1）定义：乘积为1的两个数互为倒数。（2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数。注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为±1.知识点11：除法法则（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。知识点12：乘方法则运算（1）正数的任何次幂都是正数（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（3）0的任何正整数次幂都是0知识点13：混合运算（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右的顺序进行。（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。知识点14：科学计数法1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－12.近似数的精确度：两种形式（1）精确到某位或精确到小数点后某位。（2）保留几个有效数字注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×1053.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。注意：（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3。（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。0303题型归纳题型一正负数

例题：中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引人负数，如果盈利600元记作+600元，那么亏本400元记作（

）A．−400 B．−600 C．+400 D．+600巩固训练1．若气温为零上10℃记作+10℃，则−3℃表示气温为（）A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃2．某种袋装食品，质检员为了解该种食品的质量（单位：g），抽样监测了其中4袋．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是+4，−0.4，−0.7，−2.4，最接近标准质量的是（

）A．+4 B．−0.4 C．−0.7 D．−2.43．实验小学的同学们参加劳动实践，老师将蔬菜小组的同学栽种的蔬菜以成活8棵为标准，西红柿组成活10棵记作+2棵，茄子组成活7棵记作()，彩椒组成活8棵记作()．题型二相反意义的量表示例题：在记录水库水位时，如果记录员把高于正常水位5cm记为+5cm，那么低于正常水位3cmA．3cm B．+3cm C．−3cm巩固训练1．小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，−12.00表示支出12元，下列说法正确的是（

）A．+3.04表示收入3.04元 B．+3.04表示支出3.04元C．收支总和为15.04元 D．收支总和为8.96元2．一次数学测验全班的平均分为95分，小明考了98分，张老师记作+3分，小亮考了91分，张老师应记作()分．3．已知一个乒乓球的标准质量为2.70g，把质量为2.72g的乒乓球记为+0.02，则质量为2.59g题型三有理数的概念辨析例题：下列说法中，正确的是（

）A．正分数和负分数统称为分数 B．0既是正整数也是负整数C．正整数、负整数统称为整数 D．正有理数和负有理数统称为有理数巩固训练1．在−0.8、3.5、π2、0、a2、3.010010001……（每两个1之间的0个数逐次增加1）中，有理数个数共有（A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．在数−2，0，227，π2，0.3A．2 B．3 C．4 D．5题型四有理数的分类/大小比较

例题：把下列各数填在相应的括号里−3，235，7，3.14，2024，−334，0，+2.01，−5整数集合：{

}分数集合：{

}非负数集合：{

}非负整数集合：{

}例题：比较大小：−−27−38（填“>巩固训练1．比较大小：−232．把下列各数分别填在相应集合中．−3，负数集合：{______…}整数集合：{______…}正分数集合：{______…}负整数集合：{______…}3．把下列各数填入相应的括号内．−12，0.618，−3.1415，2022，−32，26.5%(1)正分数：{___________}；(2)整数：{___________}；(3)负有理数：{___________}；(4)非负数：{___________}．题型五数轴和数轴上的点所表示的数．例题：在数轴上表示−3的点与表示2的点之间的距离是（

）A．5 B．−5 C．5或−5 D．1例题：有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把−a，b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．0<−a<b B．−a<0<b C．b<0<−a D．b<−a<0巩固训练1．以下数轴画法正确的是（）A． B．C． D．2．数轴上表示整数的点叫作整点．某数轴的单位长度为1cm，若在这条数轴上任意画出一条长度为2024cm的线段，则线段盖住的整点个数为（

A．2025个 B．2024个 C．2025或2024个 D．2024或2023个3．如图，数轴上两点A，B所表示的数分别为−3，1．若点C在数轴上，且AB=12AC，则点CA．8 B．5 C．5或−4 D．5或−11题型六倒数的概念、相反数的概念和相反数的性质运用例题：2024的相反数是（

）A．2024 B．12024 C．−2024 D．例题：−1A．3 B．13 C．−3 D．巩固训练1．下列各组数中，互为相反数的是()A．7和−7 B．−7和17 C．−7和-17 D．12．−2的相反数是（

）A．2 B．−2 C．12 D．3．如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a+b=0．若A、B两点间的距离为6，则点A表示的数为()A．−6 B．6 C．−3 D．34．若a，b互为相反数，则代数式a+b−2的值为.题型七绝对值定义、绝对值的性质与化简例题：−5的绝对值是（）A．15 B．5 C．−5 D．例题：实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a−b+b的化简结果是（A．a B．−a C．a−2b D．2b−a巩固训练1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数．不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（

）A． B． C． D．2．请根据以下检验记录（“+”表示超出标准质量，“−”表示不足标准质量），选出质量最接近标准质量的乒乓球的编号是（

）编号1234偏差/+0.03−0.02+0.05−0.04A．1 B．2 C．3 D．43．三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简a+b−c−b+aA．2a+2b B．2a+2b−c C．−c D．−2b−c4．已知数a、b、c位置如图所示，化简a−b−a+c题型八非负性的性质例题：若|m−2+n−7|=0，则m+n=A．2 B．7 C．8 D．9巩固训练1．若x−4+y+132A．43 B．8 C．−8 D．2．若a+2+5−b2=03．如果|a−1|+|b−2|=0，那么2ab=．4．已知a+22与b−3互为相反数，则a−b=题型九有理数的加减运算例题：把7−−3+−5A．7−3−5−2 B．7+3−5−2 C．7+3+5−2 D．7+3−5+2

例题：计算：−3+40+−32+−8；(3)5.6+−0.9+4.4+−8.1+−1巩固训练

1．计算：(1)0−+5(2)−352．计算：(1)0−−2+−7(3)−0.5−537−1+33．计算：(1)25.3+−7.3+−13.7−−7.3(3)−47++3【题型10】有理数乘除法运算

例题：计算：−3÷−134×0.75÷(3)−72×巩固训练1．计算：(1)−3÷−1342．计算：−81÷23．计算：(1)−81÷94×4【题型11】有理数的乘方例题：下列各组数中，数值相等的是（）A．−22和−22 B．C．−2和−2 D．−22

巩固训练1．下列各式中，不相等的是（）A．−23和−23 B．−32和32 C．−32和2．下列各组数中，相等的一组是（

）A．−−2与+−2 B．+C．−23与−23 D．3．计算−23A．−6 B．6 C．−8 D．84.下列各组数种，值相等的是（

）A．−23与−23 B．23与32 C．−22【题型12】有理数混合运算

例题：（1）−37+56−43÷(−2)2−3（6）−5

巩固训练1．计算：(1)−12022+−23×5−2．计算：(1)6+−5+4+−5；3．计算：(1)−32×(−19【题型13】算“24”点

例题：小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题：(1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？(2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）．巩固训练1．小亮和同伴玩“24点”游戏，游戏规则是从一组卡片中任意抽取4张，根据卡片上的数进行混合运算（每张卡片必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或−24．小亮抽到的4张卡片上的数分别是2，−6，12，13，请帮助小亮列出一个结果为24或−24的算式．2．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数1，−2，2，3，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式：，使其结果等于24．3．根据“二十四点”游戏规则，3，4，−6，10每个数都必须用且只能用一次，用有理数的运算符号（+或−或×或÷或乘方）连接，运算符号不一定全用，便其结果等于24，算式为．4．有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次），使其结果等于24．例如对1，2，3，4，可作如下运算：1+2+3×4=24．在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩．现给出3，−5，6【题型14】科学计数法和近似数的表示

例题：“村超”出圈带动“村经济”，“村BA”的赛事同样火热，在“村BA”赛事期间，台江县接待游客181900人次，其中181900用科学记数法表示应为（

）A．0.1819×106 C．1.819×105 例题：用四舍五入按要求对0.07056取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到十分位） B．0.07（精确到0.01）C．0.070（精确到千分位） D．0.0706（精确到0.0001）巩固训练1．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米，将数字21500000用科学记数法表示为（）A．2.15×107 B．0.215×108 C．2．世界文化遗产长城总长约为6700000米，将6700000用科学记数法可表示为（

）A．6.7×105 B．6.7×106 C．3．南宁市2023年全年粮食总产量约为2130000吨，其中数据2130000用科学记数法表示为（

）A．0.213×107 B．2.13×106 C．4．小星用天平称得一个罐头的质量为2.046kg，用四舍五入法将2.046精确到0.01的近似值为（

A．2 B．2.0 C．2.04 D．2.055．8.0648保留一位小数是()，精确到百分位约是()．【题型15】有理数实际应用

例题：出租车司机李师傅某天上午营运时从公司出发，在东西走向的大街上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接八位乘客的行车里程（单位：km）如下：−3,+9,+10,−6,−12,2,8,−10．(1)将最后一位乘客送到目的地时，李师傅在什么位置？(2)若汽车耗油量为每千米0.07升，这天上午李师傅接送乘客，出租车共耗油多少升？(3)若出租车起步价为10元，起步里程为3km（包括3巩固训练1．2021年第17号台风狮子山给防城港市造成严重影响．救援队驾着冲锋舟沿一条东西方向的河流营救灾民，早晨从A地出发，晚上最后到达B地，约定向东为正方向，当天航行次记录如下（单位：千米）：16,−6,15,−9,12,−4,13,−5，问：(1)B地在A地的东面，还是西面？与A地相距多少千米？(2)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为35升，求途中至少需要补充多少升油？2．为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级8班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以1分钟跳180个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组10名同学1分钟跳绳个数记录如下：+2，−5，+3，0，−10，+7，−7，−4，+1，−7（单位：个）．(1)求这个小组1分钟每人平均跳绳的个数？(2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准1个记“+2”分，每不足1个记“−1”分，刚好达到标准记“0”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？3．小明爸爸上个星期五买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）．[注：正负数表示与前一交易日比较的涨跌情况，如周一收盘时每股27+2=29（元），如周二收盘时每股29−3.5=25.5（元），另股票周六、周日休盘不交易]星期一二三四五每股涨跌+2−3.5+2.5−2+4(1)通过上表你认为周三收盘时，每股是（

）元．(2)本周内每股最多是（

）元，最低是（

）元．(3)若买进股票需付成交额0.15%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和4．有30筐白菜，以每筐25kg与标准质量的差值(单位：kg−3−2−10123筐数1359642(1)与标准重量比较，30筐白菜总计超过或不足多少千克？(2)若白菜每千克售价3.6元，则出售这30筐白菜可卖多少元？5．春节前优鲜果水果店以每箱20元购进6箱武鸣沃柑，每箱标准质量为5000克，店员晓华逐箱进行称重，超出部分记为正，不足部分记为负，分别为：50克，−20克，30克，30克，−10克，40克，春节前以每箱50元卖出4箱，春节后打六折卖出2箱．(1)这6箱武鸣沃柑总质量为多少克？(2)这6箱武鸣沃柑共盈利多少元？6．金秋十月，秋高气爽，正是赏菊好时节！白马湖景区举办了第六届《百年荣光·菊世无双主题菊花展》．景区预计每天接待游客约10000人，实际接待人数情况如下：（超出预计的人数记为正数，不足的人数记为负数）星期一二三四五六日超出或不足+600−300+800+1100−600+500−700(1)周六接待游客人数为_____________人；(2)游客人数最多的一天比最少的一天多_____________人；(3)本周共接待游客多少人？

第二章有理数及其运算的知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图01思维导图0202知识速记知识点1：正数和负数（1）概念正数：大于0的数叫做正数。负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。知识点2：有理数（1）概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。（2）分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（3）应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。（注意不带“+”“—”号）知识点4：相反数（1）概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。（3）多重符号的化简多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）知识点5:绝对值（1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）（2）代数意义一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0（3）代数符号意义：a＞0，|a|=a反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0a=0，|a|=0a＜0，|a|=‐a注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。（4）性质：绝对值是a(a＞0)的数有2个，他们互为相反数。即±a。（5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝01.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（6）比较大小2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。知识点6：加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。⑶一个数同0相加，仍得这个数。知识点7：加法运算定律（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知识点8：减法法则减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b知识点9：乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0。（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。知识点9：乘法运算定律（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。知识点10：倒数（1）定义：乘积为1的两个数互为倒数。（2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数。注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为±1.知识点11：除法法则（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。知识点12：乘方法则运算（1）正数的任何次幂都是正数（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（3）0的任何正整数次幂都是0知识点13：混合运算（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右的顺序进行。（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。知识点14：科学计数法1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－12.近似数的精确度：两种形式（1）精确到某位或精确到小数点后某位。（2）保留几个有效数字注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×1053.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。注意：（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3。（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。0303题型归纳题型一正负数

例题：中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引人负数，如果盈利600元记作+600元，那么亏本400元记作（

）A．−400 B．−600 C．+400 D．+600【答案】A【分析】本题主要考查了正数和负数表示相反意义的量．根据正数和负数表示相反意义的量即可解答．【详解】解：盈利600元记作+600元，那么亏本400元记作−400元，故选：A．巩固训练1．若气温为零上10℃记作+10℃，则−3℃表示气温为（）A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃【答案】B【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．【详解】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则−3℃表示气温为零下3℃，故选：B．2．某种袋装食品，质检员为了解该种食品的质量（单位：g），抽样监测了其中4袋．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是+4，−0.4，−0.7，−2.4，最接近标准质量的是（

）A．+4 B．−0.4 C．−0.7 D．−2.4【答案】B【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．用正负数表示意义相反的两种量：超标的记为正数，不足的记为负数．忽略正负号，比较数字大小，最小的就是最接近标准质量的．【详解】解：0.4<0.7<2.4<4答：最接近标准质量的是−0.4．故选：B．3．实验小学的同学们参加劳动实践，老师将蔬菜小组的同学栽种的蔬菜以成活8棵为标准，西红柿组成活10棵记作+2棵，茄子组成活7棵记作()，彩椒组成活8棵记作()．【答案】−1棵0棵【分析】本题考查了正数和负数．解决问题的关键是熟练掌握超过标准的部分记作正数，不足的部分记作负数，有理数的减法计算．根据“以8棵为标准，超过的部分记作正数，不足的部分记作负数”，7、8分别减去8计算出它们的值即可．【详解】解：∵7−8=−1，8−8=0，∴7棵记作−1棵，8棵记作0棵．故答案为：−1棵，0棵题型二相反意义的量表示例题：在记录水库水位时，如果记录员把高于正常水位5cm记为+5cm，那么低于正常水位3cmA．3cm B．+3cm C．−3cm【答案】C【分析】本题主要考查了相反意义的量的实际意义，明确题意，理解相反意义的量是解题的关键．根据相反意义的量的实际意义，即可求解；【详解】解：∵水位高于正常水位5cm时，记作+5∴水位低于正常水位3cm时，应记作−3故选：C．巩固训练1．小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，−12.00表示支出12元，下列说法正确的是（

）A．+3.04表示收入3.04元 B．+3.04表示支出3.04元C．收支总和为15.04元 D．收支总和为8.96元【答案】A【分析】本题考查了正数，负数的意义，一个量用正数表示，那么与它具有相反意义的量就用负数表示．【详解】解：根据−12.00表示支出12元，“支出”用负数表示，那么“收入”就用正数表示，于是+3.04表示收入3.04元，故选：A．2．一次数学测验全班的平均分为95分，小明考了98分，张老师记作+3分，小亮考了91分，张老师应记作()分．【答案】−4【分析】此题考查了正负数的意义和相反意义的量，根据题意可知以95分为标准，高于记为正，低于记为负，据此进行解答即可．【详解】解：根据题意可得，小亮考了91分，张老师应记作−4分，故答案为：−43．已知一个乒乓球的标准质量为2.70g，把质量为2.72g的乒乓球记为+0.02，则质量为2.59g【答案】−0.11【分析】本题考查正负数的意义，根据题意，可得，超出标准质量为正，则不足为负，进行作答即可．【详解】解：2.59g比标准质量少0.11g，记为故答案为：−0.11．题型三有理数的概念辨析例题：下列说法中，正确的是（

）A．正分数和负分数统称为分数 B．0既是正整数也是负整数C．正整数、负整数统称为整数 D．正有理数和负有理数统称为有理数【答案】A【分析】此题考查了有理数，利用分数，整数，以及有理数定义判断即可．【详解】解：A、正分数和负分数统称为分数，选项说法正确；B、0是整数，选项说法错误；C、正整数、负整数和0统称为整数，选项说法错误；D、正数、负数和0统称为有理数，选项说法错误，故选：A．巩固训练1．在−0.8、3.5、π2、0、a2、3.010010001……（每两个1之间的0个数逐次增加1）中，有理数个数共有（A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．根据有理数的分类解答即可，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数．【详解】解：−0.8、3.5、π2、0、a2、3.010010001……（每两个1之间的0个数逐次增加1）中故选B．2．在数−2，0，227，π2，0.3A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查了有理数的分类．有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数．【详解】解：−2，0，227，0.π2故选：C．题型四有理数的分类/大小比较

例题：把下列各数填在相应的括号里−3，235，7，3.14，2024，−334，0，+2.01，−5整数集合：{

}分数集合：{

}非负数集合：{

}非负整数集合：{

}【答案】见解析【分析】本题考查的是有理数的分类，直接利用有理数的概念与分类把符合条件的数填入相应的集合里面即可．【详解】解：整数集合：{−3，7，2024，0，53，⋅⋅⋅⋅⋅⋅}分数集合：{235，3.14，−334，+2.01，−5非负数集合：{235，7，3.14，2024，0，+2.01，π，53，⋅⋅⋅⋅⋅⋅非负整数集合：{7，2024，0，53，⋅⋅⋅⋅⋅⋅}例题：比较大小：−−27−38（填“>【答案】>【分析】本题考查了相反数和有理数的大小比较，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．先求出−−【详解】解：∵−−∴−−故答案为：>．巩固训练1．比较大小：−23【答案】>【分析】本题考查了有理数比较大小，根据题意得−23=23=8【详解】解：∵−2−3812∴−2故答案为：>．2．把下列各数分别填在相应集合中．−3，负数集合：{______…}整数集合：{______…}正分数集合：{______…}负整数集合：{______…}【答案】见解析【分析】本题考查的是有理数的分类，根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）．【详解】解：负数集合：{−3，−35，−1，−227，−3.14，整数集合：{−3，

0，2020，−35，−1，500%，−8正分数集合：{13，6.4，0.03%，3.5负整数集合：{−3，−35，−1，−8…}3．把下列各数填入相应的括号内．−12，0.618，−3.1415，2022，−32，26.5%(1)正分数：{___________}；(2)整数：{___________}；(3)负有理数：{___________}；(4)非负数：{___________}．【答案】(1)0.618，26.5(2)2022，−32，0(3)−12，−3.1415(4)0.618，2022，26.5%，【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握正分数，整数，负有理数，非负数的定义，进行接待室，即可．【详解】（1）正分数：有理数中大于零的分数，∴正分数为：0.618，26.5%故答案为：0.618，26.5%（2）整数：包括正整数，零，负整数，∴整数为：2022，−32，0，故答案为：2022，−32，0．（3）负有理数：小于零的有理数，包括负整数和负分数，∴负有理数为：−12，−3.1415，故答案为：−12，−3.1415，（4）非负数：正数和零，∴非负数为：0.618，2022，26.5%，0故答案为：0.618，2022，26.5%，0题型五数轴和数轴上的点所表示的数．例题：在数轴上表示−3的点与表示2的点之间的距离是（

）A．5 B．−5 C．5或−5 D．1【答案】A【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离计算方法直接计算即可求解，掌握数轴上两点间的距离计算方法是解题的关键．【详解】解：∵2−−3∴数轴上表示−3的点与表示2的点之间的距离是5，故选：A．例题：有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把−a，b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．0<−a<b B．−a<0<b C．b<0<−a D．b<−a<0【答案】A【分析】本题考查了数轴上表示数，有理数的大小比较，在数轴上表示出−a然后根据数轴特点即可比较大小，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：将数−a在数轴上表示出来，如图：按照从小到大的顺序排列为0<−a<b，故选：A．巩固训练1．以下数轴画法正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键．根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可．【详解】解：A．没有正方向，错误，不符合题意；B．单位长度不相等，错误，不符合题意；C．有正方向，原点，单位长度相等，正确，符合题意；D．选项没有原点，错误，不符合题意．故选：C．2．数轴上表示整数的点叫作整点．某数轴的单位长度为1cm，若在这条数轴上任意画出一条长度为2024cm的线段，则线段盖住的整点个数为（

A．2025个 B．2024个 C．2025或2024个 D．2024或2023个【答案】C【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，分当长度为2024cm的线段的两个端点恰好都是整点时，当长度为2024【详解】解：当长度为2024cm的线段的两个端点恰好都是整点时，那么线段盖住的整点个数为2024+1=2025当长度为2024cm的线段的两个端点恰好都不是整点时，那么线段盖住的整点个数为2024故选：C．3．如图，数轴上两点A，B所表示的数分别为−3，1．若点C在数轴上，且AB=12AC，则点CA．8 B．5 C．5或−4 D．5或−11【答案】D【分析】本题考查了数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握用数轴上的点表示数．利用数轴知识先确定线段AB的长，再求出线段AC的长，确定C点表示的数．【详解】解：∵A，B所表示的数分别为−3，1，∴AB=4，∵点C在数轴上，且AB=1∴AC=2AB=2×4=8，∴点C表示的数是−3+8=5，或−3−8=−11．故选：D．

题型六倒数的概念、相反数的概念和相反数的性质运用例题：2024的相反数是（

）A．2024 B．12024 C．−2024 D．【答案】C【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可作答．【详解】解：2024的相反数是−2024故选：C例题：−1A．3 B．13 C．−3 D．【答案】C【分析】本题主要考查倒数的定义，根据互为倒数的两个数乘积为1求解即可．【详解】解：−13的倒数是故选：C．巩固训练1．下列各组数中，互为相反数的是()A．7和−7 B．−7和17 C．−7和-17 D．1【答案】A【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：A.7和−7，互为相反数，故该选项正确，符合题意；

B.−7和17，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；C.−7和−17，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；D.17和7故选：A．2．−2的相反数是（

）A．2 B．−2 C．12 D．【答案】A【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的数是相反数，即可解答．【详解】解：−2的相反数是2，故选：A．【点睛】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义：只有符号不同的数是相反数．3．如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a+b=0．若A、B两点间的距离为6，则点A表示的数为()A．−6 B．6 C．−3 D．3【答案】C【分析】根据a+b=0，结合数轴，即可求解．【详解】解：∵点A、B分别表示数a、b，且a+b=0，A、B两点间的距离为6，∴b−a=−a−a=−2a=6∴a=−3，故选：C．【点睛】本题考查了求数轴上两点距离，相反数的意义，数形结合是解题的关键．4．若a，b互为相反数，则代数式a+b−2的值为.【答案】−2【分析】根据a，b互为相反数得到a+b=0，代入求解即可得到答案；【详解】解：∵a，b互为相反数，∴a+b=0，∴a+b−2=0−2=−2，故答案为：−2；【点睛】本题考查相反数的定义，解题的关键是根据相反数得到a+b=0．题型七绝对值定义、绝对值的性质与化简例题：−5的绝对值是（）A．15 B．5 C．−5 D．【答案】B【分析】本题题主要考查绝对值的性质，熟知绝对值的性质是解题的关键．利用绝对值的定义求解即可．【详解】解：−5的绝对值是5．故选：B．例题：实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a−b+b的化简结果是（A．a B．−a C．a−2b D．2b−a【答案】D【分析】本题考查的是实数与数轴，绝对值，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据数轴可知，−3<a<−2，1<b<2，可得a−b<0，因此|a−b|+|b|=−a+b+b=2b−a．【详解】解：由数轴可知，−3<a<−2，1<b<2，∴a−b<0，∴|a−b|+|b|=−a+b+b=2b−a，故选：D．巩固训练1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数．不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键．求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．【详解】解：∵−3.6=3.6，−2.5=2.5，−0.9而0.8<0.9<2.5<3.6，∴最接近标准的是选项D．故选：D．2．请根据以下检验记录（“+”表示超出标准质量，“−”表示不足标准质量），选出质量最接近标准质量的乒乓球的编号是（

）编号1234偏差/+0.03−0.02+0.05−0.04A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查的是绝对值的实际应用，本题先求解各数的绝对值后，再比较绝对值的大小即可求得答案．【详解】解：各数的绝对值分别为：0.03，0.02，0.05，0.04，∴绝对值最小的是0.02，则质量最接近标准质量的乒乓球的编号是2，故选：B．3．三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简a+b−c−b+aA．2a+2b B．2a+2b−c C．−c D．−2b−c【答案】C【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断a+b<0，c−b>0的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．【详解】由数轴可得，a+b<0，c−b>0，∴a+b=−a−b−c+b+a，=−c，故选：C．4．已知数a、b、c位置如图所示，化简a−b−a+c【答案】b+c/c+b【分析】本题主要考查绝对值的化简、数轴等知识点，要能根据数轴上点的位置确定各式子的符号是关键．先根据数轴上a，b，c的位置确定a−b，【详解】解：由数轴可知：c<0<a<b,c>a，则所以a−b−故答案为：b+c．题型八非负性的性质例题：若|m−2+n−7|=0，则m+n=A．2 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解．【详解】解：由题意得，m−2=0，解得m=2，所以，m+n=故选：D．巩固训练1．若x−4+y+132A．43 B．8 C．−8 D．【答案】C【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．直接利用偶次方和绝对值的非负性，非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．【详解】解：∵|x−4|+y+∴x−4=0，y+1解得x=4，y=−1则6xy=6×4×−故选：C．2．若a+2+5−b2=0【答案】3【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握“几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0”，根据题意得出a=−2,b=5，即可解答．【详解】解：∵a+2+∴a=−2,b=5，∴a+b=−2+5=3，故答案为：3．3．如果|a−1|+|b−2|=0，那么2ab=．【答案】4【分析】本题考查了绝对值的非负性与代数式的求值计算，解题的关键是求得a与b的值．根据绝对值的意义先确定a、b的值，然后再代值计算即可．【详解】∵|a−1|≥0,|b−2|≥0,|a−1|+|b−2|=0,∴|a−1|=0,|b−2|=0,∴a−1=0，∴a=1，则2ab=2×1×2=4，故答案为：4．4．已知a+22与b−3互为相反数，则a−b=【答案】−5【分析】此题考查了平方和绝对值的非负性、非负数的性质、代数式的值等知识，根据a+22与b−3互为相反数得到a+22+【详解】解：∵a+22与b−3∴a+22又∵a+22≥0∴a+2=0,b−3=0∴a=−2,b=3∴a−b=−2−3=−5，故答案为：−5题型九有理数的加减运算例题：把7−−3+−5A．7−3−5−2 B．7+3−5−2 C．7+3+5−2 D．7+3−5+2【答案】B【分析】本题考查了有理数加减混合运算，其中去括号是解答本题的关键．即：括号前是正号，去掉括号及正号不变号；括号前是负号，去掉括号及负号要变号．据此即可解答．【详解】解：7−−3故选：B．

例题：计算：(1)−3+40+(2)51(3)5.6+−0.9(4)−0.5+3【答案】(1)−3(2)−2(3)0(4)0【分析】本题考查了有理数的加法计算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．（1）先计算后面三个数，再根据有理数的加法法则计算即可．（2）将第1、3两个数结合，第2、4两个数结合，再根据有理数的加法法则计算即可．（3）将第1、3两个数结合，第2、4两个数结合，再根据有理数的加法法则计算即可．（4）将第1、4两个数结合，第2、3两个数结合，再根据有理数的加法法则计算即可．【详解】（1）解：−3=−3+40+=−3；（2）5==7+=−2；（3）5.6+==10+=0；（4）−0.5==−6+6=0巩固训练

1．计算：(1)0−+5(2)−35【答案】(1)−1(2)0【分析】本题考查了有理数的加减运算，有理数加法的运算律，解题的关键是∶（1）先去括号，然后利用有理数加法的运算律和有理数的加减运算法则计算即可；（2）利用有理数加法的运算律和有理数的加减运算法则计算即可．【详解】（1）解∶原式=0−5+3.6−4−3+7.4==−12+11=−1（2）解∶原式==−10+10=0．2．计算：(1)0−(2)−5(3)−0.5−5(4)−9.2−【答案】(1)−16(2)6.3(3)−5(4)0【分析】本题考查有理数的混合运算；（1）根据有理数的加减运算法则即可求解；（2）把各数统一为小数，即可求解；（3）利用结合律即可求解；（4）先求绝对值，再各数统一为小数，即可求解．【详解】（1）0−=0+2−7−1−10=−16；（2）−5=−5.4+2.25+2.6−5.75=−2.8−3.5=6.3；（3）−0.5−5==−6−2+2=−52（4）−9.2−=−9.2+7.4+9.2−6.4−4+3=1−4+3=0．3．计算：(1)25.3+−7.3(2)−17(3)−4(4)−10−【答案】(1)11.6(2)5(3)2(4)−31【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，注意运算顺序和符号；在计算中巧妙运用加法运算律往往使计算更简便．（1）根据有理数的加减计算法则求解即可；（2）根据有理数的加减计算法则求解即可；（3）根据有理数的加减计算法则求解即可；（4）根据有理数的加减计算法则求解即可．【详解】（1）解：25.3+=25.3−7.3−13.7+7.3==11.6；（2）解：−=−=−=5（3）解：−===26（4）解：−10=−10+15−16−20=−31．【题型10】有理数乘除法运算

例题：计算：(1)−3÷(2)−1(3)−72×【答案】(1)18(2)−5(3)54【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则．（1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可；（2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可；（3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可．【详解】（1）解：−3=3×=18；（2）解：−=−=−5；（3）解：−72==48×=54．

巩固训练1．计算：(1)−3(2)−1【答案】(1)18(2)−5【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键．（1）按照从左至右的顺序计算即可；（2）按照从左至右的顺序计算即可；【详解】（1）解：−3=3×=18；（2）解：−=−=−5；2．计算：−81÷2【答案】16【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将除法化为乘法，再进行计算即可．【详解】解：−81====163．计算：(1)−81÷(2)−5÷−1【答案】(1)1(2)−1【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键．（1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可；（2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可．【详解】（1）−81==1；（2）−5÷=−5×=−1．【题型11】有理数的乘方

例题：下列各组数中，数值相等的是（）A．−22和−22 B．C．−2和−2 D．−22【答案】D【分析】此题考查了有理数的乘方和绝对值，熟练掌握有理数的乘方法则和绝对值的性质是解题的关键．根据有理数的乘方法则和绝对值的性质分别求出两式的结果即可．【详解】解：A、−2B、−1C、−2D、−22故选：D．

巩固训练1．下列各式中，不相等的是（）A．−23和−23 B．−32和32 C．−32和【答案】C【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，绝对值．根据乘方运算和绝对值法则，逐个计算即可．【详解】解：A、−23=−8，−2B、−32=9，32C、−32=9，−3D、|−2|3=8，−故选：C．2．下列各组数中，相等的一组是（

）A．−−2与+−2 B．+C．−23与−23 D．【答案】C【分析】本题考查了化简多重符号以及有理数的乘方运算，化简绝对值，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A、−−2B、+−3C、−23D、−32故选：C3．计算−23A．−6 B．6 C．−8 D．8【答案】C【分析】本题考查有理数的乘方，一个负数的立方等于它的绝对值的立方的相反数．【详解】解：−23故选：C．4.下列各组数种，值相等的是（

）A．−23与−23 B．23与32 C．−22【答案】A【分析】本题考查了有理数的乘方，相反数的定义，绝对值的性质，根据有理数的乘方，相反数的定义，绝对值的性质逐项判断即可，熟记性质是解题的关键．【详解】A、由−23=−8，−2B、由23=8，32C、由−22=−4，−2D、由−−3=−3，−3=3故选：A．【题型12】有理数混合运算

例题：（1）−3（2）−1（3）−4（4）−1（5）−3（6）−5【答案】（1）157；（2）−5；（3）−8，（4）16；（5）【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；（1）先统一为省略加号的和的形式，再利用结合律进行简便运算即可；（2）先计算乘方与绝对值，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可；（3）先计算括号内的加减运算，乘方运算，再计算乘除运算即可；（4）先计算括号内的运算，乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可；（5）先计算括号内的运算，乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可；（6）先计算括号内的运算，乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可；【详解】解：（1）−===15（2）−=−=−=−3−2=−5；（3）−=−64÷4×=−16×=−8；（4）−=−1−=−1−=−1+=1（5）−=−=−==41（6）−=−25−=−25+8+=−17−=−174

巩固训练1．计算：(1)−12022(2)−1【答案】(1)−46(2)−11【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则和运算律是解题的关键．（1）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；（2）利用运算律先算乘法，后算加减，即可解答．【详解】（1）解：原式=1+(−8)×5−28÷4=1−40−7=−46；（2）解：原式===4−18+3=−11．2．计算：(1)6+−5(2)−1【答案】(1)0；(2)4．【分析】（1）利用加法交换律和结合律进行计算再相加即可求解；（2）利用乘方运算和乘法分配律进行即可，再相加减即可求解；本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．【详解】（1）解：原式=6+4+=10+−10=0；（2）解：原式=−1+24×=−1+9−20+16，=−1−20+16+9，=−21+25，=4．3．计算：(1)−3(2)(−1)2020【答案】(1)−1(2)−3【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算．（1）先计算乘方，然后把除法转化成乘法计算，最后再计算加减法即可．（2）先计算乘方，然后把除法转化成乘法计算即可．【详解】（1）解：原式=−9×(−=1−2=−1（2）原式=1×=−3【题型13】算“24”点

例题：小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题：(1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？(2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）．【答案】(1)一个数抽−5，另一个数是−4时，最大值是20(2)一个数抽−5，另一个数是+2时，它们相除的最小值是−2.5(3)(−5)×(−4)+6−2=24【分析】本题考查有理数的混合运算；（1）从中抽2张卡片，要使这2张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可；（2）从中抽取2张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，据此求出最小值是多少即可．（3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为24即可．【详解】（1）(+6)×(+2)=12，(−5)×(−4)=20，因为20>12，所以其中的一个数抽−5，另一个数是−4时，最大值是20；（2）(−5)÷(+2)=−2.5，所以其中的一个数抽−5，另一个数是+2时，它们相除的最小值是−2.5；（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，运算式子为：(−5)×(−4)+6−2=24．巩固训练1．小亮和同伴玩“24点”游戏，游戏规则是从一组卡片中任意抽取4张，根据卡片上的数进行混合运算（每张卡片必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或−24．小亮抽到的4张卡片上的数分别是2，−6，12，13，请帮助小亮列出一个结果为24或−24的算式．【答案】12÷−6【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则凑成“24点”即可，熟练掌握有理数的混合运算的法则及顺序是解此题的关键．【详解】解：根据题意得：12÷−6+2×13=24，故答案为：12÷−62．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数1，−2，2，3，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式：，使其结果等于24．【答案】3×2【分析】根据有理数的混合计算法则进行计算求解即可．【详解】解：3×=3×=3×8=24，∴满足题意的式子可以为3×2故答案为：3×2【点睛】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．3．根据“二十四点”游戏规则，3，4，−6，10每个数都必须用且只能用一次，用有理数的运算符号（+或−或×或÷或乘方）连接，运算符号不一定全用，便其结果等于24，算式为．【答案】3×4+10+【分析】根据题意列出算式，使其运算结果为24即可．【详解】解：由题意，3×4+10+−6=24故答案为：3×4+10+【点睛】本题考查有理数的混合运算，通过游戏培养学生对有理数的运算的灵活运用以及趣味性．4．有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次），使其结果等于24．例如对1，2，3，4，可作如下运算：1+2+3×4=24．在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩．现给出3，−5，6【答案】−5+6÷4【分析】利用“二十四点”的游戏规则计算即可．【详解】解：根据题意得：−5+6÷4×故答案为：−5+6÷4×【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【题型14】科学计数法和近似数的表示

例题：“村超”出圈带动“村经济”，“村BA”的赛事同样火热，在“村BA”赛事期间，台江县接待游客181900人次，其中181900用科学记数法表示应为（

）A．0.1819×106 C．1.819×105 【答案】C【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．解题关键是正确确定科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值【详解】解：181900=1.819×故选：C．例题：用四舍五入按要求对0.07056取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到十分位） B．0.07（精确到0.01）C．0.070（精确到千分位） D．0.0706（精确到0.0001）【答案】C【分析】本题主要考查了近似数，“精确到第几位”是精确度的表示形式，熟练掌握四舍五入是解题关键．根据近似数的精确度逐项判断即可．【详解】解：0.07056≈0.1（精确到十分位），选项A正确，不符合题意；0.07056≈0.07（精确到0.01），选项B正确，不符合题意；0.07056≈0.071（精确到千分位），选项C错误，符合题意；0.07056≈0.0706（精确到0.0001），选项D正确，不符合题意，故选：C．巩固训练1．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米，将数字21500000用科学记数法表示为（）A．2.15×107 B．0.215×108 C．【答案】A【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n【详解】将数字21500000用科学记数法表示为2.15×10故选：A．2．世界文化遗产长城总长约为6700000米，将6700000用科学记数法可表示为（

）A．6.7×105 B．6.7×106 C．【答案】B【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，【详解】解：将6700000用科学记数法表示为6.7×10故选：B3．南宁市2023年全年粮食总产量约为2130000吨，其中数据2130000用科学记数法表示为（

）A．0.213×107 B．2.13×106 C．【答案】B【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n【详解】2130000用科学记数法表示为2.13×10故选：B．4．小星用天平称得一个罐头的质量为2.046kg，用四舍五入法将2.046精确到0.01的近似值为（

A．2 B．2.0 C．2.04 D．2.05【答案】D【分析】本题主要考查近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．对千分位数字四舍五入即可．【详解】解：用四舍五入法将2.046精确到0.01的近似值为2.05，故选：D．5．8.0648保留一位小数是()，精确到百分位约是()．【答案】8.18.06【分析】本题考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数．运用“四舍五入”法取近似值：要看精确到哪一位，从它的下一位运用“四舍五入”取值．【详解】解：根据题意保留一位小数，8.0648≈8.1,精确到百分位约8.0648≈8.06，故答案为：8.1；8.06.【题型15】有理数实际应用

例题：出租车司机李师傅某天上午营运时从公司出发，在东西走向的大街上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接八位乘客的行车里程（单位：km）如下：−3,+9,+10,−6,−12,2,8,−10．(1)将最后一位乘客送到目的地时，李师傅在什么位置？(2)若汽车耗油量为每千米0.07升，这天上午李师傅接送乘客，出租车共耗油多少升？(3)若出租车起步价为10元，起步里程为3km（包括3【答案】(1)李师傅在起始的西2km的位置(2)出租车共耗油4.2升(3)李师傅这天上午共得车费154【分析】本题考查了有理数的加法和正负数的意义，有理数四则运算的实际应用，正负数的实际应用是重点又是难点．（1）先将这几个数相加，若和为正，则在出发点的东方；若和为负，则在出发点的西方；（2）将这几个数的绝对值相加，再乘以耗油量，即可得出答案；（3）分别计算八位乘客的费用，相加即可．【详解】（1）解：−3+9+10+答：李师傅在起始的西2km的位置；（2）解：−3=3+9+10+6+12+2+8+10=6060×0.07=4.2（升）答：出租车共耗油4.2升；（3）解：8位乘客中，有2位乘客里程小于或等于3km，车费为2×10=20有6位乘客里程大于3km这6位乘客的车费分别为：10+9−310+10−310+6−310+12−310+8−310+